习题1
1． 填空题
(1) 为便于算法在计算机上实现，必须将一个数学问题分解为 的 运算； (2) 在数值计算中为避免损失有效数字，尽量避免两个 数作减法运算；为避免
误差的扩大，也尽量避免分母的绝对值 分子的绝对值； (3) 误差有四大来源,数值分析主要处理其中的 和 ； (4) 有效数字越多,相对误差越 ； 2. 用例1.4的算法计算10,迭代3次,计算结果保留4位有效数字.
3. 推导开平方运算的误差限公式,并说明什么情况下结果误差不大于自变量误差.
4. 以下各数都是对准确值进行四舍五入得到的近似数,指出它们的有效数位、误差限和相对误差限.
x1?0.3040, x2?5.1?109, x3?400, x4?0.003346, x5?0.875?10?5
5. 证明1.2.3之定理1.1.
6. 若钢珠的的直径d的相对误差为1.0%,则它的体积V的相对误差将为多少。（假定钢珠为标准的球形）
7. 若跑道长的测量有0.1%的误差,对400m成绩为60s的运动员的成绩将会带来多大的误差和相对误差.
8. 为使20的近似数相对误差小于0.05%,试问该保留几位有效数字.
9. 一个园柱体的工件,直径d为10.25?0.25mm,高h为40.00?1.00mm,则它的体积V的近似值、误差和相对误差为多少． 10 证明对一元函数运算有
?r(f(x))?k??r(x), 其中k?xf?(x) f(x)并求出f(x)?tanx,x?1.57时的k值，从而说明f(x)?tanx在x?11. 定义多元函数运算
?2时是病态问题．
S??cixi, 其中?ci?1,?(xi)??,
i?1i?1nn求出?(S)的表达式，并说明ci全为正数时，计算是稳定的，ci有正有负时，误差难以控制． 12. 下列各式应如何改进,使计算更准确：
(1) y?11?x?,1?2x1?x(x?1)11?x?,(x?1)xx1-cos2x(3) y?,(x?1)x(2) y?x?(4) y?
p2?q2?p,(p?0,q?0,p?q) 习题2
1. 填空题
(1) Gauss消元法求解线性方程组的的过程中若主元素为零会发生 ;. 主元素
的绝对值太小会发生 ;
(2) Gauss消元法求解线性方程组的计算工作量以乘除法次数计大约为 . 平方
根法求解对称正定线性方程组的计算工作量以乘除法次数计大约为 ;
(3) 直接LU分解法解线性方程组时的计算量以乘除法计为 , 追赶法解对角占优
的三对角方程组时的计算量以乘除法计为 ; (4) A????11??,A1? , A2? , ?(A)? ; ??02??t0???,t?1 ?(A) , cond2(A)? ; 01t??(5) A????a???b(6) A???,c?b?a?0 ?(A) , cond2(A)? ; ?c???2．用Gauss消元法求解下列方程组Ax?b
?11?1???(1)A??12?2?,??211????4??1????3b??0?, (2)A??2?1?????1?321??1????432??1?,b? ???343?1?????1?234????3．用列主元消元法解下列方程组Ax?b．
??326???(1)A??10?70?,?5?15???4. 用Gauss－Jordan消元法求：
01??02?0??????4???2232????2?b??7? (2)A??,b????7? 4?301?6????????61?6?5??6??????11?1????210? ?1?10???5．用直接LU分解方法求1题中两个矩阵的LU分解，并求解此二方程组． 6．用平方根法解方程组Ax?b
?321??4?????A??221?,b??3?
?111??6?????7． 用追赶法解三对角方程组Ax?b
?1?2?1000??1???????12?100??0?A??0?12?10?,b??0?
?????00?12?1??0??000?12??0?????8．证明：
(1)单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵．
(2)两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵． 9．由L?L1L2?Ln?1，(见(2.18)式)，证明:
?1?1?1?1??l211?ll3231?L?????????l?n1ln210．证明向量范数有下列等价性质：
1???1ln3?ln,n?1????? ???1??(1)(2)(3)x2?x1?nxxx??2?x1?nx??
?x2?nx11．求下列矩阵的A1,A2,A?,??A?．
?1??13?A???;?12???2??513???A??1102?.
?326???12．求cond2?A?
?10099?1A?????;?9998?13．证明：
?cos?2A?????sin??sin???. cos??(1)若A是正交矩阵，即ATA?I, 则cond2?A??1;
(2)若A是对称正定阵， ?1是A的最大特征值， ?n是最小特征值，则
cond2?A???1. ?n习题3
1. 填空题:
(1) 当A具有严格对角线优势或具有对角优势且 时，线性方程组Ax=b用
Jacobi迭代法和Gauss－Seidel迭代法均收敛;
(2) 当线性方程组的系数矩阵A对称正定时, 迭代法收敛.
(3) 线性方程组迭代法收敛的充分必要条件是迭代矩阵的 小于1; SOR法收敛
的必要条件是 ;
(4) 用迭代法求解线性方程组,若q = ? (B), q 时不收敛, q接近 时收敛较
快, q接近 时收敛较慢; (5)
?11?A???,BJ? ;BS? ; ??BJ?? ; ??BS?? ．
?12?2．用Jacobi迭代法和Gauss－Seidel迭代法求解方程组
?210??x1??3???????(1) ?121??x2????5?； (2)
?012??x??4????3???1??x1??1???81??????1?51???x2???16? ?1????1?4????x3??7?各分量第三位稳定即可停止．
3．用SOR法解方程组，取??0.9，与取??1 (即Gauss-Seidel法)作比较．
?321??x1???5????????573???x2???13?． ?2?57??x??3????3???4．下面是一些方程组的系数阵，试判断它们对Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法的收敛
性
?521????12?(1)?132?； (2)??32??；
???112???00???21??212??0??1?21??(3)?121?； (4)?； ?01?21??212??????001?2????5???1(5)??1???1?5．方程组
?1?1?1?1??1122?10?1?1??11?1 ； (6)2?． ?2?15?1??111???22???1?110??a11a12??x1??b1????a???x?????b??a?2122??2??2?,a11?0,a22?0
证明用Jacobi迭代法收敛的充要条件是：
r?6．设
a12a21?1． a11a22?1aa???A??a1a?,a为实数；
?aa1???(1)若A正定，a的取值范围；
(2)若Jacobi迭代法收敛，a的取值范围．
习题4
1. 填空题：
(1) 幂法主要用于求一般矩阵的 特征值，Jacobi旋转法用于求对称矩阵
的 特征值；
(2) 古典的Jacobi法是选择 的一对 元素将其消为零;
(3) QR方法用于求 矩阵的全部特征值，反幂法加上原点平移用于一个近似特征值的 和求出对应的 ． 2．用幂法求矩阵．
?621???4140?????⑴?231?， ⑵??5130?
??102??111?????按模最大的特征值和对应的特征向量，精确到小数三位．
??11111???9?2? 3．已知： A??11?1?213???取t =15，作原点平移的幂法，求按模最大特征值．
?414???4． A??1101?
?4110???用反幂法加原点平移求最接近12的特征值与相应的特征向量，迭代三次．
5．若A的特征值为?1,?2,?,?n,t是一实数，证明：?i?t是A?tI的特征值，且特征向量不变．
6．已知x??3,2,1?求平面反射阵H使y?Hx??0,*,0?，即使x的1，3两个分量化零．
TT?132???7． A??331?
?216???试用Jacobi旋转法求作一次旋转，消去最大的非对角元，写出旋转矩阵，求出θ角和结果．
?T1?3?3?0?3?2???8．设 T???0?2?3?T?2?2?? 2??已知?是T1的特征值，相应的特征向量为?a1,a2,a3?，证明?也是T的特征值，相应的特
T征向量为?a1,a2,a3,0,0?．
T9． 证明定理4.5．
10． 证明(4．21)中的As和As?1相似．
习题5
1．填空题
(1) 用二分法求方程x?x?1?0在[0,1]内的根，迭代一次后,根的存在区间
为 ，迭代两次后根的存在区间为 ；
(2) 设f(x)可微，则求方程x?f(x)根的Newton迭代格式为 ；
2(3) ?(x)?x?C(x?5)，若要使迭代格式xk?1??(xk)局部收敛到??35，则C取
值范围为 ；
(4) 用迭代格式xk?1?xk??kf(xk)求解方程f(x)?x?x?x?1?0的根，要使迭
代序列{xk}是二阶收敛，则?k= ；
32(5) 迭代格式xk?1?21此迭代格式是 阶收敛xk?2收敛于根?= ，3xk的．
2．证明Newton迭代格式(5.10)满足
lim32?k?1f??(?) ??k???22f?(?)k3. 方程x?9x?18x?6?0, x?[0,??)的根全正实根，试用逐次扫描法(h=1)，找出它的全部实根的存在区间，并用二分法求出最大实根，精确到0.01．
4．用二分法求下列方程的根，精度??0.001．
(1) x?x?4?0 x?[?2,?1] (2) e?10x?2?0 x?[0,1]
5．用迭代法求x?2x?5?0的正根，简略判断以下三种迭代格式：
3xk?55(1) xk?1?； (2) xk?1?2 ； (3) xk?1?32xk?5
xk?22x33在x0?2附近的收敛情况，并选择收敛的方法求此根．精度??10． 6. 方程x?4?e?x
?xk(1) 证明它在(0,1)区间有且只有一个实根； (2) 证明xk?1?e,k?0,1,?，在(0,1)区间内收敛；
(3) 用Newton迭代法求出此根,精确到5位有效数字． 7．对方程x?3x?1?0，分别用
(1) Newton法(x0?2)；(2) 割线法(x0?2,x1?1.9)求其根．精度??10． 8．用迭代法求下列方程的最小正根
(1) x?4x?2?0； (2) 2tanx?x?0； (3) x?2sinx 9．设有方程 3x?e?0
(1) 以h?1，找出根的全部存在区间；
(2) 验证在区间[0,1]上Newton法的区间收敛定理条件不成立； (3) 验证取x0?0.21, 用Newton法不收敛；
(4) 用Newton下山法，取x0?0.21求出根的近似值，精度??10．
?42x53?410．分别用Jacobi法，Gauss—Seidel法求解非线性方程组
??x?2y?3?0?2x?y?5?022
在(1.5,0.7)附近的根,精确到10．
11．分别用Newton法，简化Newton法求解非线性方程组
??4x?coys?0?sin
?x?y?1?4在(0,1)附近的根,精确到10．
习题6
1．填空题
(1) 设f(x)?x?x?x?1，则f[0,1] ，f[0,1,2]= ，53f[0,1,2,3,4,5]= ；f[0,1,2,3,4,5,6]? ．
(2) 设l0(x),l1(x),?,ln(x)是以节点0,1,2,…,n的Lagrange插值基函数，则
?jl(x)? ；?jl(k)? ．
jjj?0j?0nn(3) 设f(0)?0,f(1)?16,f(2)?46,则f[0,1]? ，f[0,1,2]? ，
f(x)的二次Newton插值多项式为 ．
2．已知函数f(x)?e?x2的数据如下 -0.4 0.852114 -0.2 0.960789 0 1 0.2 0.960789 0.4 0.852114 0.6 0.697676 xi -0.6 f(xi) 0.697676 试用二次，三次插值计算x=0.35，x=0.55的近似函数值，使其精度尽量地高． 3．利用sinx在x?0,4．利用数据 ???6430.2 ,,及
??处的值，求sin的近似值，并估计误差．
520.4 0.6 0.8 1.0 xi 0 f(xi) 0 0.19956 0.39646 0.58813 0.77210 0.94608 计算积分f(x)??x0sintdt, 当f(x)=0.45时的x的取值． t5．试用Newton插值求经过点(-3,-1),(0,2),(3,-2),(6,10)的三次插值多项式．
6．求满足P(x0)?f(x0),P(x1)?f(x1)及P?(x0)?f?(x0)的次数不超过2次的插值多项式P(x)，并给出其误差表达式．
7．设xi是互异节点，lj(x)是Lagrange插值基函数(j?0,1,2,?,n)，证明
(1)
?lj?0nnj(x)?1；
(2)
?xj?0nkjjl(x)?xk (k?0,1,2,?,n)；
(3)
?(xj?0j?x)klj(x)?0 (k?0,1,2,?,n)．
8．设有如下数据
xi f(xi) 0 3 1 6 2 11 3 18 4 27 试计算此表中函数的差分表，并分别利用Newton向前，向后插值公式求出它的插值多项式． 9．试构造一个三次Hermite插值多项式使其满足
f(0)?1, f?(0)?0.5, f(1)?2, f?(1)?0.5
10．已知函数f(x)的数据表
xi 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 f(xi) 1.0000 1.22140 1.49182 1.82212 2.22554 分别用Newton向前插值公式和向后插值公式求x=0.05，x=0.42，x=0.75的近似值． 11．对函数f(x)?sinx进行分段线性插值，要求误差不超过0.5?10?5，问步长h应如何选取．
12．设有数据 xi 0.25 0.30 0.5477 0.39 0.6245 0.45 0.6708 0.53 0.7280 f(xi) 0.5000 用三转角插值法求满足下述条件的三次样条插值函数
(1) S?(0.25)?1.0000 ，S?(0.53)?0.6868 (2) S??(0.25)??2 ， S??(0.53)?0.6479 13. 证明定理6.6.
习题8
1．填空题
(1) n?1个点的插值型数值积分公式
bn?af(x)dx??Ajf(xj)的代数精度至少
j?0是 ，最高不超过 ．
(2) 梯形公式有 次代数精度，Simpson公式有 次代数精度． (3) 求积公式
?h0f(x)d?xh[f(?0)2f?(h?)2]?h?[f?(0)中f的h(参)数]?＝
时，才能保证该求积公式的代数精度达到最高，最高代数精度为 ．
2．确定下列求积公式的求积系数和求积节点，使其代数精度尽量高，并指出其最高代数精度． (1) (2)
??2h01f(x)dx?A0f(0)?A1f(h)?A2f(2h) f(x)dx?A[f(?1)?2f(x1)?3f(x2)]
?1??? ?3??1(3)
?1?f(x)dx?Af(?1)?Af12????A3f??1?3?1(4) (5)
??1?12f(x)dx?A1f(x1)?A2f(0)?A3f(1) f(x)dx?f(x1)?f(x2)
03．分别利用复化梯形公式，复化Simpson公式，复化Cotes公式计算下列积分 (1) (2) (3) (4) (5)
x?04?x2dx (n=8)
1???101xdx (n=10)
?x2?e0dx (n=10)
?604?sin2xdx (n=6) sinxdx (n=8) x?204．用Romberg公式计算积分
(1)
2??10e?xdx (精度要求??10?5)
2(2)
?401?cos4xdx (精度要求??10?5)
45．分别取节点数为2，3，4利用Gauss－Legendre求积公式计算积分
1(1) ?dx， (2)
?41?x2(1)
?10edx， (3)
?x?311dx x6．利用Gauss型求积公式，分别取节点数2，3，4计算积分
???0e?xxdx， (2)
?????e?x21?x2dx
7．用节点数为4的Gauss－Laguerre求积公式和Gauss－Hermite求积公式计算积分
I??e?xdx
0??2的近似值，并与准确值I??2作比较．
8．分别用两点公式与三点公式求f(x)?1在x=1.0，x=1.2的导数值，并估计误差，2(1?x)其中f(x)的数据由下表给出
xi 1.0 1.1 1.2 1.3 f(xi) 0.2500 0.2268 0.2066 0.1890 9．已知f(x)?e?x的数据如下
xi f(xi) 2.5 12.1825 2.6 13.4637 2.7 14.8797 2.8 2.9 16.4446 18.1741 取h=0.1，h=0.2，分别用二点、三点公式计算x=2.7处的一阶和二阶导数值．
习题9
1．填空题
(1) 解初值问题的Euler法是 阶方法，梯形方法是 阶方法，标准R－K方法是 阶方法．
(2) 解初值问题y?(x)?20(x?y),y(0)?1时，为保证计算的稳定性，若用经典的四阶R－K方法，步长0?h? ．采用Euler方法，步长h的取值范围为 ，若采用Euler梯形方法，步长h的取值范围为 若采用Adams外推法，步长h的范围为 ，若采用Adams内插法，步长h的取值范围为 ．
(3) 求解初值问题Euler方法的局部截断误差为 Euler梯形方法的局部截断误差为 ， Adams外推法的局部截断误差为 Adams内插法的局部截断误差为 . 2．对初值问题
?1?2y2?y??2 ?1?x?y(0)?0?0?x?1
试用Euler法取步长h=0.1和h=0.2计算其近似解，并与准确解y?x进行比较． 21?x3．利用Euler预测－校正法和四阶经典R－K方法，取步长h=0.1，求解方程
?y??x?y????y(0)?1x0?x?1
并与准确解y(x)??x?1?2e进行比较． 4．用待定系数法推导二步法公式 yi?1?yi?h(5fi?1?8fi?fi?1) 12并证明它是三阶公式，求出它的局部截断误差． 5．用Adams预测－校正法求解
?2?y???y??y(0)?1?并与准确解y(x)?0?x?1
1进行比较． 1?x?y???y?y(0)?1?x6．用Euler中点公式计算 ?0?x?2.5
取步长h=0.25，与准确解y?e比较，并说明中点公式是不稳定的．
7．写出用经典的R－K方法及Adams预测－校正法解初值问题
?y???8y?7z? ?z??x2?yz
?y(0)?1,z(0)?0?的计算公式．
8．写出用Euler方法及Euler预测－校正法解二阶常微分方程初值问题 ??y???siny?0
??y(0)?1,y(0)?0的计算公式． 9．证明用单步法
yi?1?yi?hf?xi???hh?,yi?f(xi,yi)? 22?解方程y???2ax的初值问题，可以给出准确解．