直线F1P的斜率,则直线MF1的斜率=-,

直线MF1的方程为y=-(x+2),

即yy0=-(x0+2)(x+2),

②

①②联立,解得x=-8,

故点M的轨迹方程为x=-8.

(3)证明 依题意及(2),知点M,N的坐标可表示为M(-8,yM),N(-2,yN),

点N在切线MP上,由①式得yN=, 点M在直线MF1上,由②式得yM=,

|NF222

1|=,|MF1|=[(-2)-(-8)]+,

故

=, ③

注意到点P在椭圆C上,即

=1,

于是,代入③式并整理得

,故

的值为定值

20.(1)解 ∵f(x)=ln(1+x)+x2

-x,其定义域为(-1,+∞),∴f'(x)=+ax-1=①当a=0时,f'(x)=-,当x∈(0,+∞)时,f'(x)<0,

则f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,此时,f(x)

②当00,

当x时,f'(x)<0,则f(x)在区间

内单调递减,

此时,f(x)

③当a=1时,f'(x)=,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,

则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意.

④当a>1时,令f'(x)=0,得x1=0,x2=<0,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,

2019年

则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意. 综上所述,a的取值范围为[1,+∞).

(2)证明 由(1)可知,当a=0时,f(x)<0对x∈(0,+∞)都成立,

即ln(1+x)

∴ln

+ln

+…+ln

+…+ln

…

由于n∈N*,则

=1. ∴ln

<1.

由(1)可知,当a=1时,f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立, 即x-x2

+…+

+ln

即

,

得

由于n∈N*

,则

,即

+…+ln

2019年

,