三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知点，分别是椭圆椭圆于，两点，
，求
的左、右焦点，离心率
，过点的直线交上的不同两点，若
的周长为8.求椭圆的标准方程；设，是直线
的最小值.
x2y21??1(a?b?0)2FFb218．（12分）已知椭圆C：a的左、右焦点分别为1，2，离心率为2，点P是椭
圆C上的一个动点，且
?PF1F2PF面积的最大值为3.求椭圆C的方程；设斜率不为零的直线2与椭圆C1T(0,)8，求直线PQ的斜率. 的另一个交点为Q，且PQ的垂直平分线交y轴于点
y2x21??1(a?b?0)2b219．（12分）已知椭圆C：a的离心率为2，短轴长为23.求椭圆C的方程；设过
点A(0,4)的直线l与椭圆C交于M、N两点，F是椭圆C的上焦点.问：是否存在直线l，使得
S?MAF?S?MNF？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
1?x?1?t?2???x?cos??y?3tC1:??2(t为参数), 曲线?y?sin?(?为参数)．设l与C1相交于AB两20．（12分）已知直线l：?31C点,求|AB|；若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的2倍,纵坐标压缩为原来的2倍,得到曲线2,设点
P是曲线
C2上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值．
21．（12分）已知函数
f?x??x2??a?2?x?alnx?a?R?． 求函数
y?f?x?的单调区间；当a?1时，
x2f(x)?e?x?x?2． x?0证明：对任意的,
22．（10分）为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏， 从中部选择河北. 湖北，从西部选择宁夏， 从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区．在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记． 由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验． 在某普查小区，共有 50 家企事业单位，150 家个体经营户，普查情况如下表所示： 普查对象类别 企事业单位 个体经营户 顺利 40 100 不顺利 10 50 合计 50 150 合计 140 60 200 （1）写出选择 5 个国家综合试点地区采用的抽样方法；根据列联表判断是否有 90%的把握认为“此普查 某普查小组从该小区随机选择 1 家小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”；以频率作为概率，3 家个体经营户作为普查对象， 写出 企事业单位，入户登记顺利的对象数记为 并求 X，X的分布列，X的期望值．
n(ad?bc)2 附：k?(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2P(K2?k0) 0.10 0.010 0.001 k0 2.706 6.635 10.828 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 2、B 3、B 4、D 5、C 6、B 7、B 8、B 9、C 10、D 11、D 12、B
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、24 14、-1 15、143 16、4
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）【解析】 【分析】
；（2）
.
（1）由题得关于a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；（2）由题得再利用基本不等式求【详解】 （1）由题意得所以
，
，
.
，
， ，
，
，
， .
的最小值.
，即，
所以椭圆的标准方程为（2）由（1）知设直线则由故不妨设则
，即所以
， ，
，
的坐标分别为
上不同两点，的坐标分别为
，，得
，
，
，当且仅当
时等号成立，此时
.
，
的最小值为
【点睛】
本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查平面向量的数量积的坐标表示和基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
13x2y218、（1）??1（2）或
2243【解析】 【分析】
（1）由题得到关于a,b,c的方程，解方程组即得椭圆的标准方程；（2）设直线PQ的方程为y?k?x?1?，
线段PQ的中点为N?x0,y0?，根据kTN?kPQ?3k1?24k?38?k??1??1，得，解方程即得直线PQ的斜率.
4k24k2?3【详解】
(1)因为椭圆离心率为
1，当P为C的短轴顶点时，△PF1F2的面积有最大值3. 2?c1?a?2?a?2?2?x2y222所以?a?b?c，所以?b?3，故椭圆C的方程为:??1.
43?1?c?1???2c?b?3?2（2）设直线PQ的方程为y?k?x?1?，
x2y2当k?0时，y?k?x?1?代入??1，
432222得:3?4kx?8kx?4k?12?0.
??设P?x1,y1?,Q?x2,y2?，线段PQ的中点为N?x0,y0?，
y1?y2?3kx1?x24k2y??kx?1? ，x0????002223?4k23?4k?4k2?3k?N,即?22?
3?4k3?4k???3k1?24k?38?k??1，
因为TN?PQ，则kTN?kPQ??1，所以
4k24k2?313化简得4k2?8k?3?0，解得k?或k=，
2213即直线PQ的斜率为或.
22【点睛】
本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
y2x219、（1）??1
43（2）存在直线l：6x?5y?45?0或6x?5y?45?0合题意. 【解析】 【分析】
（1）由短轴长为23求出b，再由离心率为
1及a2?b2?c2解得：a2?4，b2?3，从而得解。 2（2）由S?MAF?S?MNF可得：M为线段AN的中点，设直线方程：y?kx?4，联立直线方程与椭圆方程，表示出x1?x2，x1x2，再利用中点坐标公式列方程即可求解。 【详解】 解：（1）∵
c1?，b?3，且有a2?b2?c2， a2