2例１4、(2008四川文)不等式x?x?2的解集为( )

（Ａ）??1,2? （Ｂ）??1,1? （Ｃ）??2,1? （Ｄ）??2,2?

?x2?x?2?0解：∵x?x?2 ∴?2?x?x?2 即?2，

?x?x?2?0∴x???1,2? 故选A；

22?x?R， ??1?x?2?点评：此题重点考察绝对值不等式的解法；准确进行不等式的转化去掉绝对值符号为解

题的关键，可用公式法，平方法，特值验证淘汰法；

考点六：不等式的综合应用

【内容解读】用不等式的性质、基本不等式、一元二次不等式等内容解决一些实际问题，如求最值，证明不等式等。

【命题规律】不等式的综合应用多以应用题为主，属解答题，有一定的难度。

例１5、（２００８江苏模拟）如图，某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为x,y(单位:米)的矩形,上部是斜边长为x的等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8平方米.

（Ⅰ）求x,y的关系式，并求x的取值范围； （Ⅱ）问x,y分别为多少时用料最省?

解：（Ⅰ）由题意得：x?y?

1xx??8(x?0,y?0), 22x

4分

8x?y??,

x4

（Ⅱ）设框架用料长度为l，

则l?2x?2y?2x ?(316?2x)? ?46?42?8?42. 2x（?2）x?当且仅当

3216,x?8?42,y?22,满足0?x?42. x答：当 x?8?42米，y?22米时，用料最少.

点评：本题考查利用基本不等式解决实际问题，是面积固定，求周长最省料的模型，解题时，列出一个面积的等式，代入周长所表示的代数式中，消去一个未知数，这是常用的解题方法。

例１6、（２００８江苏模拟）某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．

（1）求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y（万元）；

（2）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水

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处理设备？ 解：（1）y?100?0.5x?(2?4?6???2x)

x100?1.5（x?0）即y?x?； x （2）由均值不等式得：

y?x? 当且仅当x?100100?1.5?2x??1.5?21.5（万元） xx100，即x?10时取到等号． x答：该企业10年后需要重新更换新设备．

点评：本题又是基本不等式的一个应用，第一问求出函数关系式是关键，第二问难度不大。

考点七：不等式的证明

【内容解读】证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．

【命题规律】不等式的证明多以解答题的形式出现，属中等偏难的试题。 例１7、已知a, b都是正数，并且a ? b，求证：a5 + b5 > a2b3 + a3b2 证明：(a5 + b5 ) ? (a2b3 + a3b2) = ( a5 ? a3b2) + (b5 ? a2b3 )

= a3 (a2 ? b2 ) ? b3 (a2 ? b2) = (a2 ? b2 ) (a3 ? b3) = (a + b)(a ? b)2(a2 + ab + b2)

∵a, b都是正数，∴a + b, a2 + ab + b2 > 0

又∵a ? b，∴(a ? b)2 > 0 ∴(a + b)(a ? b)2(a2 + ab + b2) > 0 即：a5 + b5 > a2b3 + a3b2

点评：作差相减法是证明不等式的常用方法之一，通过作差比较差的结果的符号是大于0还是小于0，另外，作商也是经常使用的方法。

例18、已知a?－，b?－且a?b?1，求证2a?1?2b?1?22 证明：只需证：(2a?1)?(2b?1)?22a?12b?1?8

1212?a?b?1?即证：2a?12b?1?2

?2a?12b?1?

(2a?1)?(2b?1)?2成立

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?原不等式成立.

点评：用分析法证明不等式也是常用的证明方法，通过分析法，能够找到证明的思路。 例19、（２００７湖北理科）已知m，n为正整数. （Ⅰ）用数学归纳法证明：当x>-1时，(1+x)m≥1+mx；

1?1m????1?（Ⅱ）对于n≥6，已知?1???，求证?1?????，m=1,1,2…，n；

2?n?3??n?3??2?（Ⅲ）求出满足等式3n+4m+…+(n+2)m=(n+3)n的所有正整数n.

解：（Ⅰ）证：当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：

1 当x>-1，且x≠0时，m≥2,(1+x)m>1+mx. ○

(i)当m=2时，左边＝1+2x+x2,右边＝1+2x，因为x≠0,所以x2>0，即左边>右边，不等式①成立； （ii）假设当m=k(k≥2)时，不等式①成立，即（1+x）k>1+kx,则当m=k+1时，因为x>-1,所以1+x>0.又因为x≠0,k≥2,所以kx2>0.

于是在不等式（1+x）k>1+kx两边同乘以1+x得 （1+x）k·(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x,

所以（1+x）k+1>1+(k+1)x,即当m＝k+1时，不等式①也成立. 综上所述，所证不等式成立.

nnm1m1?1m?1(Ⅱ)证：当n?6,m?n时，?（1?）?,??(1?)??()m,

n?32?n?3?2而由（Ⅰ），(1?n1mm)?1? n?3n?3nmn?1m?1?(1?)??(1?)??()m.

n?3n?3?2?（Ⅲ）解：假设存在正整数n0?6使等式3n0?4n0???(n0?2)n0?(n0?3)n0成立，

4n0n?2n030即有（）+()???(0)＝1. ②

n0?3n0?3n0?3又由（Ⅱ）可得

nn4n0n?2n0nn?130（）+()???(0)?(1?0)n0?(1?0)n0??

n0?3n0?3n0?3n0?3n0?3+(1?1n01111)?()n0?()n0?1????1?n0?1,与②式矛盾， n0?32222故当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n. 故只需要讨论n=1,2,3,4,5的情形； 当n=1时，3≠4，等式不成立； 当n=2时，32+42＝52，等式成立； 当n=3时，33+43+53＝63，等式成立；

当n=4时，34+44+54+64为偶数，而74为奇数，故34+44+54+64≠74,等式不成立；

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当n=5时，同n=4的情形可分析出，等式不成立. 综上，所求的n只有n=2,3.

点评：本题考查数学归纳法、不等式的基本、反证法等内容，难度较大。 四、方法总结与2010年高考预测 （一）方法总结

1．熟练掌握不等式的基本性质，常见不等式(如一元二次不等式，绝对值不等式等 )的解法，不等式在实际问题中的应，不等式的常用证明方法

2．数学中有许多相似性，如数式相似，图形相似，命题结论的相似等，利用这些相似性，通过构造辅助模型，促进转化，以期不等式得到证明。可以构造函数、方程、数列、向量、复数和图形等数学模型，针对欲证不等式的构特点，选择恰当的模型，将不等式问题转化为上述数学模型问题，顺利解决不等式的有关问题。

（二）2010年高考预测

在近年的高考中，不等式的考查有选择题、填空题、解答题都有，不仅考查不等式的基础知识，基本技能，基本方法，而且还考查了分析问题、解决问题的能力。解答题以函数、不等式、数列导数相交汇处命题，函数与不等式相结合的题多以导数的处理方式解答，函数不等式相结合的题目，多是先以直觉思维方式定方向，以递推、数学归纳法等方法解决，具有一定的灵活性。

由上述分析，预计不等式的性质，不等式的解法及重要不等知识将以选择题或填空的形式出现；解答题可能出现解不等与证不等式。如果是解不等式含参数的不等式可能性比较大，如果是证明题将是不等式与数列、函数、导数、向量等相结合的综合问题，用导数解答这类问题仍然值得重视。 五、复习建议

１、不等式的证明题题型多变，证明思路多样，技巧性较强，加之又没有一劳永逸、放之四海而皆准的程序可循，所以不等式的证明是本章的难点. 攻克难点的关键是熟练掌握不等式的性质和基本不等式，并深刻理解和领会不等式证明中的数学转化思想.

在复习中应掌握证明不等式的常用思想方法：比较思想；综合思想；分析思想；放缩思想；反证思想；函数思想；换元思想；导数思想.

２、在复习解不等式过程中，注意培养、强化与提高函数与方程、等价转化、分类讨论、数形结合的数学思想和方法，逐步提升数学素养，提高分析解决综合问题的能力. 能根椐各类不等式的特点，变形的特殊性，归纳出各类不等式的解法和思路以及具体解法。.u.c.o.m

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