例５、(2008江西文)不等式2解：原不等式变为2x2?2x?4x2?2x?4?1的解集为 ． 2?2?1，由指数函数的增减性，得：

x2?2x?4??1?(x?3)(x?1)?0?x?[?3,1]，所以填：[?3,1]。

点评：不等式与指数函数交汇、不等式与对数函数交汇、不等式与数列交汇是经常考查的内容，应加强训练。

例6、已知集合A?x|x2?5x?4≤0，B?x|x2?2ax?a?2≤0，若B?A，求实数

????a的取值范围．

解：A?x|x2?5x?4≤0??x|1≤x≤4?．

设f(x)?x2?2ax?a?2，它的图象是一条开口向上的抛物线． （1）若B??，满足条件，此时??0，即4a2?4(a?2)?0， 解得?1?a?2；

（2）若B??，设抛物线与x轴交点的横坐标为x1，x2，

且x1≤x2，欲使B?A，应有?x|x1≤x≤x2???x|1≤x≤4?， ?f(1)≥0，?f(4)≥0，??结合二次函数的图象，得? ?2a1≤?≤4，?2????≥0，?1?2a?a?2≥0，?218?4?8a?a?2≥0，即? 解得2≤a≤．

7?1≤a≤4，?4a2?4(a?2)≥0，??18?综上可知a的取值范围是??1，?．

7????

点评：本题是一元二次不等式与集合结合的综合题，考查含参数一元二次不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，分类时做到不遗漏。

考点三：简单的线性规划

【内容解读】了解二元一次不等式（组）表示的平面区域和线性规划的意义；了解线性

约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题，以提高解决实际问题的能力．

生产实际中有许多问题都可以归纳为线性规划问题．在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样安排，能使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小．

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【命题规律】线性规划问题时多以选择、填空题的形式出现，题型以容易题、中档题为主，考查平面区域的面积、最优解的问题；随着课改的深入，近年来，以解答题的形式来考查的试题也时有出现，考查学生解决实际问题的能力。

?x?0?例7、（2008安徽文）若A为不等式组?y?0表示的平面区域，则当a从－2连续变

?y?x?2?化到1时，动直线x?y?a 扫过A中的那部分区域的面积为 ( )A．

3 4B．1 C．

7 D．5 4解：如图知区域的面积是△OAB去掉一个小直角三角形。 （阴影部分面积比1大，比S?OAB?来）

点评：给出不等式组，画出平面区域，求平面区域的面积的问题是经常考查的试题之一，如果区域是不规节图形，将它分割成规节图形分别求它的面积即可。

1?2?2?2小,故选C,不需要算出2?2x?y?40,?x?2y?50,?例8、(2008广东理)若变量x,y满足?，则z=3x+2y的最大值是 ( )

?x?0,??y?0, A．90 B. 80 C. 70 D. 40

解:做出可行域如图所示.目标函数化为：y＝－令z＝０，画y＝－

3zx?，223x，及其平行线，如右图，当它经过两2直线的交点时，取得取大值。 解方程组??2x?y?40?x?10,得?.

x?2y?50y?20??所以zmax?3?10?2?20?70,故答C.

点评：求最优解，画出可行域，将目标函数化为斜截式，再令z＝０，画它的平行线，看

y轴上的截距的最值，就是最优解。

例9、（2007山东）本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？

解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，

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?x?y≤300，?由题意得?500x?200y≤90000，

?x≥0，y≥0.?

目标函数为z?3000x?2000y．

y 500 400

?x?y≤300，?二元一次不等式组等价于?5x?2y≤900，

?x≥0，y≥0.?作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域． 如图：

作直线l:3000x?2000y?0，

300 l

200 100 M

0 100 200 300 x 即3x?2y?0．

平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值． 联立??x?y?300，解得x?100，y?200．

5x?2y?900.?

200)． ?点M的坐标为(100，?zmax?3000x?2000y?700000（元）

答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最

大收益是70万元．

点评：用线性规划的方法解决实际问题能提高学生分析问题、解决问题的能力，随着课改的深入，这类试题应该是高考的热点题型之一。

考点四：基本不等关系

【内容解读】了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最值问题，理解用综合法、分析法、比较法证明不等式。

利用基本不等式可以求函数或代数式的最值问题：

（1）当a，b都为正数，且ab为定值时，有a?b≥2ab（定值），当且仅当a?b时，等号成立，此时a?b有最小值；

(a?b)2（2）当a，b都为正数，且a?b为定值时，有ab≤（定值），当且仅当a?b时，

4等号成立，此时ab有最大值．

创设基本不等式使用的条件，合理拆分项或配凑因式是经常用的解题技巧，而拆与凑的过程中，一要考虑定理使用的条件（两数都为正）；二要考虑必须使和或积为定值；三要考虑等号成立的条件（当且仅当a=b时，等号成立），它具有一定的灵活性和变形技巧，高考中常

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被设计为一个难点．

【命题规律】高考命题重点考查均值不等式和证明不等式的常用方法，单纯不等式的命题，主要出现在选择题或填空题，一般难度不太大。

例10、（２００７上海理）已知x，y?R+，且x?4y?1，则x?y的最大值是 ． 解： xy?111x?4y21x?4y?()?，当且仅当x=4y=时取等号.

244216 点评：本题考查基本不等式求最值的问题，注意变形后使用基本不等式。

例１1、（2008浙江文）已知a?0,b?0,且a?b?2,则（ ） (A)ab?1 2

(B) ab?1 2(C)a?b?2

22

(D) a?b?3

22解：由a?0,b?0,且a?b?2，∴4?(a?b2)?a2?b2?2ab?2(2a?2b)∴ ，

a2?b2?2。

点评：本小题主要考查不等式的重要不等式知识的运用。

y2例１2、(2008江苏)已知x,y,z?R，x?2y?3z?0，则的最小值 ．

xzx?3z解：由x?2y?3z?0得y?，

2y2x2?9z2?6xz6xz?6xz??3，当且仅当x＝3z 时取“＝”代入得．

xz4xz4xz?点评：本小题考查二元基本不等式的运用．题目有有三个未知数，通过已知代数式，对所求式子消去一个未知数，用基本不等式求解。

考点五：绝对值不等式

【内容解读】掌握绝对值不等式｜x｜＜a，｜x｜＞a（a＞0）的解法，了解绝对值不等式与其它内容的综合。

【命题规律】本节内容多以选择、填空题为主，有时与充分必要条件相结合来考查，难度不大。

例１3、（2008湖南文）“|x－1|＜2”是“x＜3”的（ ） A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件

D.即不充分也不必要条件

解：由|x－1|＜2得－１＜x＜３，在－１＜x＜３的数都有x＜３，但当x＜３时，不一定有－１＜x＜３，如x＝－５，所以选（Ａ）．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，充分条件必要条件的解法，可以用特殊值法来验证，充分性与必要性的成立。

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