1.确定抽象函数单调性解函数不等式
典例 (12分)函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1. (1)求证：f(x)在R上是增函数； (2)若f(3)＝4，解不等式f(a＋a－5)<2.
思维点拨 (1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义.应该构造出f(x2)－f(x1)并与0比较大小.(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点.要构造出f(M) (1)证明 设x1，x2∈R，且x1 2 f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，[4分] ∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0?f(x1) ∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1?f(2)＝2f(1)－1，[8分] f(3)＝4?f(2＋1)＝4?f(2)＋f(1)－1＝4?3f(1)－2＝4， ∴f(1)＝2，∴f(a＋a－5)<2＝f(1)，[10分] ∵f(x)在R上为增函数，∴a＋a－5<1?－3 解函数不等式问题的一般步骤： 第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性； 第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M) 第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组； 第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集； 第五步：(反思)反思回顾.查看关键点，易错点及解题规范. 温馨提醒 本题对函数的单调性的判断是一个关键点.不会运用条件x>0时，f(x)>1，构造不出f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1的形式，便找不到问题的突破口.第二个关键应该是将不等式化为f(M) 9 2 2 [方法与技巧] 1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤 (1)取值；(2)作差；(3)定量；(4)判断. 2.确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图像法，也可利用单调函数的和差确定单调性. 3.求函数最值的常用求法：单调性法、图像法、换元法. [失误与防范] 1.分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性，还要注意衔接点. 2.函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”. A组 专项基础训练 (时间：35分钟) 1.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) 1A.y＝ xB.y＝e D.y＝lg|x| －xC.y＝－x＋1 答案 C 2 1－x解析 y＝是奇函数，选项A错；y＝e是指数函数，非奇非偶，选项B错；y＝lg|x|是偶函数，但在(0， x＋∞)上单调递增，选项D错；只有选项C是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减. 2.已知函数y＝log2(ax－1)在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是( ) A.(0,1] C.[1，＋∞) 答案 C 解析 要使y＝log2(ax－1)在(1,2)上单调递增，则a>0且a－1≥0，∴a≥1. B.[1,2] D.[2，＋∞) ?1?3.已知函数y＝f(x)的图像关于x＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a＝f?－?，b＝f(2)，c＝f(3)，?2? 则a，b，c的大小关系为( ) A.c B.b 10 ?1??5?解析 ∵函数图像关于x＝1对称，∴a＝f?－?＝f??，又y＝f(x)在(1，＋∞)上单调递增， ?2??2??5?∴f(2) 4.若函数f(x)＝x－2x＋m在 [3，＋∞)上的最小值为1，则实数m的值为( ) A.－3 答案 B 解析 ∵f(x)＝(x－1)＋m－1在[3，＋∞)上为单调增函数，且f(x)在[3，＋∞)上的最小值为1， ∴f(3)＝1，即2＋m－1＝1，m＝－2. 5.已知函数f(x)＝2ax＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是( ) 3A.(0，) 43C.[0，) 4答案 D 解析 当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上是减函数， 3B.(0，] 43D.[0，] 4 2 2 2 2 B.－2 C.－1 D.1 a>0，?? 当a≠0时，由?4a－3 －≥3，?4a? 3 综上a的取值范围是0≤a≤. 4 3 得0 4 ??log1x，x≥1， 26.函数f(x)＝???2x，x<1 答案 (－∞，2) 的值域为________. 解析 当x≥1时，f(x)＝log1x是单调递减的， 2此时，函数的值域为(－∞，0]； 当x<1时，f(x)＝2是单调递增的， 此时，函数的值域为(0,2). 综上，f(x)的值域是(－∞，2). 1??x2＋a－2，x≤1， 27.已知函数f(x)＝???ax－a，x>1，________. 答案 (1,2] x 若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为 11 12x解析 由题意，得1＋a－2≤0，则a≤2，又a－a是增函数，故a>1，所以a的取值范围为1 2 ?1?x8.函数f(x)＝??－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________. ?3? 答案 3 ?1?x解析 由于y＝??在R上递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上递增，所以f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x) ?3? 在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3. 9.已知f(x)＝ xx－a(x≠a). (1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围. (1)证明 任设x1 － x1＋2x2＋2 x1x2 2x1－x2 . x1＋2x2＋2 ∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0， ∴f(x1) ∴f(x)在(－∞，－2)上单调递增. (2)解 任设1 x1x2 f(x1)－f(x2)＝－ x1－ax2－a＝ ax2－x1 . x1－ax2－a∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0， 只需(x1－a)(x2－a)>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤1. 综上所述，a的取值范围是(0,1]. 10.设函数y＝f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)；②当x>1时，f(x)<0；③f(3)＝－1. 1 (1)求f(1)，f()的值； 9 (2)如果不等式f(x)＋f(2－x)<2成立，求x的取值范围. 解 (1)令x＝y＝1易得f(1)＝0. 而f(9)＝f(3)＋f(3)＝－1－1＝－2， ?1?且f(9)＋f??＝f(1)＝0， ?9? 12