f(x1)－f(x2)＝???xa1＋x???－???xa2＋x??? 12＝(xx2－x1
1－x2)＋??a?x－a??＝(xa1－x2)＋
1x2?
x 1x2
＝(x1－x2)??1－
a?
xx?. 12??
当a≥xa1>x2>0时，x1－x2>0,1－
x<0， 1x2
有f(x1)－f(x2)<0，即f(x1) 此时，函数f(x)＝x＋ax(a>0)在(0，a ]上为减函数； 当x1>x2≥a时，x1－x2>0,1－ ax>0， 1x2 有f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 此时，函数f(x)＝x＋ax(a>0)在[a，＋∞)上为增函数； 综上可知，函数f(x)＝x＋ax(a>0)在(0，a ]上为减函数，在[a，＋∞)上为增函数. 方法二 f′(x)＝1－aax2，令f′(x)>0，则1－x2>0， 解得x>a或x<－a(舍).令f′(x)<0，则1－ax2<0，解得－a 故f(x)在(0，a ]上为减函数，在[a，＋∞)上为增函数. 题型二 函数的最值 例3 已知函数f(x)＝x2＋2x＋ax，x∈[1，＋∞)，a∈(－∞，1]. (1)当a＝1 2 时，求函数f(x)的最小值； (2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围. 解 (1)当a＝12时，f(x)＝x＋17 2x＋2在[1，＋∞)上为增函数，f(x)min＝f(1)＝2. (2)f(x)＝x＋ax＋2，x∈[1，＋∞). ①当a≤0时，f(x)在[1，＋∞)内为增函数. 最小值为f(1)＝a＋3. 5 要使f(x)>0在x∈[1，＋∞)上恒成立，只需a＋3>0，即a>－3，所以－3 综上所述，f(x)在[1，＋∞)上恒大于零时，a的取值范围是(－3,1]. 思维升华 求函数最值的常用方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值； (2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值； (3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值. 1??，x≥1， (1)函数f(x)＝?x??－x2＋2，x<1 的最大值为________. 111?1?(2)已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)，若f(x)在?，2?上的值域为[，2]，则a＝________. ax2?2?2 答案 (1)2 (2) 5 1 解析 (1)当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时， x易知函数f(x)＝－x＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2. 故函数f(x)的最大值为2. 11?1?(2)由反比例函数的性质知函数f(x)＝－(a>0，x>0)在?，2?上单调递增， ax?2?1?1??f??2?＝2， 所以??? ??f2＝2， 题型三 函数单调性的应用 命题点1 比较大小 1例4 已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则( ) 1－xA.f(x1)<0，f(x2)<0 C.f(x1)>0，f(x2)<0 答案 B 解析 ∵函数f(x)＝log2x＋ 1 在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，∴当x1∈(1,2)时，f(x1) 2 11－2＝，??a2即?11??a－2＝2， 2 解得a＝. 5 6 当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)>f(2)＝0， 即f(x1)<0，f(x2)>0. 命题点2 解不等式 ??1??例5 已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f???? ??x?? A.(－1,1) C.(－1,0)∪(0,1) 答案 C B.(0,1) D.(－∞，－1)∪(1，＋∞) ??1??解析 由f(x)为R上的减函数且f???? ??x?? 1?????x?>1， 得?????x≠0， ??|x|<1， 即? ?x≠0.? 2 ∴－1 命题点3 求参数范围 例6 (1)如果函数f(x)＝ax＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是( ) 1 A.a>－ 41 C.－≤a<0 4(2)已知f(x)＝? ?? x1 B.a≥－ 41 D.－≤a≤0 4 2－ax＋1，x<1， ??a，x≥1， 满足对任意x1≠x2，都有 fx1－fx2 >0成立，那么a的取值 x1－x2 范围是________. 3 答案 (1)D (2)[，2) 2 解析 (1)当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增； 1 当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－， a因为f(x)在(－∞，4)上单调递增， 11 所以a<0，且－≥4，解得－≤a<0. a41 综合上述得－≤a≤0. 4 (2)由已知条件得f(x)为增函数， 7 2－a>0，?? ∴?a>1，??2－a×1＋1≤a，3 解得≤a<2， 2 3 ∴a的取值范围是[，2). 2 思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决. (2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数. ①视参数为已知数，依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； ②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值. (1)f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋ f(x－8)≤2时，x的取值范围是( ) A.(8，＋∞) C.[8,9] (2)若f(x)＝－x＋2ax与g(x)＝A.(－1,0)∪(0,1) C.(0,1) 答案 (1)B (2)D 解析 (1)2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数， 2 B.(8,9] D.(0,8) ax＋1 在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( ) B.(－1,0)∪(0,1] D.(0,1] x>0，?? 所以有?x－8>0， ??xx－8≤9， 2 解得8 (2)由f(x)＝－x＋2ax在[1,2]上是减函数可得[1,2]?[a，＋∞)，∴a≤1. ∵y＝ 1 在(－1，＋∞)上为减函数， x＋1