函数的单调性与最值
1.函数的单调性 (1)单调函数的定义
增函数 减函数 在函数f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A 定义 当x1
前提 函数y＝f(x)的定义域为D (1)存在x0∈D，使得f(x0)＝M； (3)存在x0∈D，使得f(x0)＝M； 条件 (2)对于任意x∈D，都有f(x)≤M. (4)对于任意x∈D，都有f(x)≥M. 结论 M为最大值 M为最小值
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两数”改为“存在两数”.( × )
(2)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在D上是增函数.( (3)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).( × ) (4)函数y＝1
x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( × )
(5)所有的单调函数都有最值.( × )
(6)对于函数y＝f(x)，若f(1) ) 1 √ 1.下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是( ) 1 A.y＝－x xB.y＝x－x D.y＝e－x x2 C.y＝ln x－x 答案 A 11 解析 对于A，y1＝在(0，＋∞)内是减函数，y2＝x在(0，＋∞)内是增函数，则y＝－x在(0，＋∞)内 xx是减函数；B，C，D选项中的函数在(0，＋∞)上均不单调. 故选A. 2.若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a的值为( ) A.－2 答案 C 解析 由图像易知函数f(x)＝|2x＋a|的单调增区间是[－，＋∞)，令－＝3，∴a＝－6. 223.若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax＋bx在(0，＋∞)上是( ) A.增函数 C.先增后减 答案 B 解析 由y＝ax在(0，＋∞)上是减函数，知a<0； 由y＝－在(0，＋∞)上是减函数，知b<0. ∴y＝ax＋bx的对称轴x＝－<0， 2a又∵y＝ax＋bx的开口向下， ∴y＝ax＋bx在(0，＋∞)上是减函数.故选B. 4.(教材改编)已知函数f(x)＝2 答案 2 5 解析 可判断函数f(x)＝22在[2,6]上为减函数，所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝. x－15 2 2 22 B.2 C.－6 D.6 aabx2 B.减函数 D.先减后增 bxb2 ，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________. x－1 5.(教材改编)已知函数f(x)＝x－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a的取值范围为________________________________________________________________________. 2 答案 (－∞，1]∪[2，＋∞) 解析 函数f(x)＝x－2ax－3的图像开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示. 2 由图像可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f(x)在区间[1,2]上具有单调性，只需a≤1或a≥2，从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞). 题型一 确定函数的单调性(区间) 命题点1 给出具体解析式的函数的单调性 例1 (1)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A.y＝ln(x＋2) 1xC.y＝() 2 2 B.y＝－x＋1 1 D.y＝x＋ x(2)函数f(x)＝log1(x－4)的单调递增区间是( ) 2A.(0，＋∞) C.(2，＋∞) 2 B.(－∞，0) D.(－∞，－2) (3)y＝－x＋2|x|＋3的单调增区间为____________________________________. 答案 (1)A (2)D (3)(－∞，－1]，[0,1] 解析 (1)因为y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)， 所以在区间(0，＋∞)上为增函数. (2)因为y＝log1t在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x－4的单调递减区 22 间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2). (3)由题意知，当x≥0时，y＝－x＋2x＋3＝－(x－1)＋4；当x<0时，y＝－x－2x＋3＝－(x＋1)＋4， 二次函数的图像如图. 2 2 2 2 由图像可知，函数y＝－x＋2|x|＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数. 3 2 命题点2 解析式含参函数的单调性 例2 试讨论函数f(x)＝解 设－1 ax(a≠0)在(－1,1)上的单调性. x－1 f(x)＝a? ?x－1＋1?＝a?1＋1?， ??? ?x－1??x－1? ? 1? f(x1)－f(x2)＝a?1＋?－a?1＋? ?x1－1??x2－1? ＝ ? 1? ax2－x1 ， x1－1x2－1 由于－1 所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 函数f(x)在(－1,1)上递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1) 综上，当a>0时，f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f(x)在(－1,1)上单调递增. 引申探究 若本题中的函数变为f(x)＝解 设－1 ax2 x－1 (a>0)，则f(x)在(－1,1)上的单调性如何？ ax1ax2 －2 2 x1－1x2－1 x1x2＋1 . x22－1 2 ax1x2ax2－x12－ax1－ax2x1＋ax2＝＝22 x1－1x2－1x21－1 ∵－1 ∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x1－1)(x2－1)>0. 又∵a>0，∴f(x1)－f(x2)>0， ∴函数在(－1,1)上为减函数. 思维升华 确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图像法，图像不连续的单调区间不能用“∪”连接. 已知a>0，函数f(x)＝x＋(x>0)，证明：函数f(x)在(0，a ]上是减函数，在[a，＋∞) 上是增函数. 证明 方法一 任意取x1>x2>0，则 2 2 ax 4