2017届高考数学二轮复习第1部分专题二函数与导数必考点文 下载本文

=+x≥2.可得x=a时,f′(x)有最小值2.∴a≥1.

5.已知x=2是函数f(x)=x-3ax+2的极小值点,那么函数f(x)的极大值为( ) A.15 B.16 C.17 D.18

解析:选D.x=2是函数f(x)=x-3ax+2的极小值点,即x=2是f′(x)=3x-3a=0的根,将x=2代入得a=4,所以函数解析式为f(x)=x-12x+2,令f′(x)=3x-12=0,得x=±2,故函数在(-2,2)上是减函数,在(-∞,-2),(2,+∞)上是增函数,由此可知当x=-2时函数f(x)取得极大值f(-2)=18,故选D. 6.若幂函数f(x)的图象过点?

3

2

3

2

3

ax?21?x,?,则函数g(x)=ef(x)的单调递减区间为( ) ?22?

A.(-∞,0) B.(-∞,-2) C.(-2,-1) D.(-2,0)

解析:选D.设幂函数f(x)=x,因为图象过点?

2

α

1?2?α?21?

,?,所以=??,α=2,所以f(x)

2?2??22?

x2

=x,故g(x)=ex,令g′(x)=ex+2ex=e(x+2x)<0,得-2<x<0,故函数单调减区间为(-2,0)故选D.

7.若函数f(x)=2x-ln x在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是( ) A.[1,+∞) B.[1,2)

2

x2x2x?3??3?C.?1,? D.?,2?

?2??2?

1?2x-1??2x+1?解析:选C.f′(x)=4x-=,

xx1∵x>0,由f′(x)=0得x=. 2

11

∴令f′(x)>0,得x>;令f′(x)<0,得0<x<. 22

k-1≥0,??

由题意得?1

k-1<<k+1?2?

3

?1≤k<.故C正确.

2

8.如果函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下列判断:

33

1??①函数y=f(x)在区间?-3,-?内单调递增; 2??

?1?②函数y=f(x)在区间?-,3?内单调递减;

?2?

③函数y=f(x)在区间(4,5)内单调递增; ④当x=2时,函数y=f(x)有极小值; 1

⑤当x=-时,函数y=f(x)有极大值.

2则上述判断中正确的是( ) A.①② B.②③ C.③④⑤ D.③

?1?f′(x)

解析:选D.当x∈(-3,-2)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,①错;当x∈?-,2?时,

?2?

>0,f(x)单调递增,当x∈(2,3)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,②错;当x=2时,函数

12

y=f(x)有极大值,④错;当x=-时,函数y=f(x)无极值,⑤错.故选D.

9.函数f(x)=3x-x在区间(a-12,a)上有最小值,则实数a的取值范围是( ) A.(-1,3) B.(-1,2) C.(-1,3] D.(-1,2]

解析:选D.由题知f′(x)=3-3x,令f′(x)>0,解得-1<x<1;令f′(x)<0,解得x<-1或x>1,由此得函数在(-∞,-1)上是减函数,在(-1,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数,故函数在x=-1处取到极小值-2,判断知此极小值必是区间(a-12,a)上的最小值,

∴a-12<-1<a,解得-1<a<11,又当x=2时,f(2)=-2,故有a≤2.综上知a∈(-1,2],故选D.

1x1

10.已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1,且f(x)的导函数f′(x)<,则f(x)<+的解222集为( )

A.{x|-1<x<1} B.{x|x<-1} C.{x|x<-1,或x>1} D.{x|x>1}

2

2

2

3

2

?x1??11?解析:选D.设F(x)=f(x)-?+?,则F(1)=f(1)-?+?=1-1=0,F′(x)=f′(x)

?22??22?

11

-,对任意x∈R,有F′(x)=f′(x)-<0,即函数F(x)在R上单调递减,则F(x)<022

x1

的解集为(1,+∞),即f(x)<+的解集为(1,+∞),故选D.

22

34

11.已知函数f(x)(x∈R)满足f′(x)>f(x),则( ) A.f(2)<ef(0) B.f(2)≤ef(0) C.f(2)=ef(0) D.f(2)>ef(0) 解析:选D.由题意构造函数g(x)=

2

2

2

2

f?x?

e

x,则g′(x)=

2

f′?x?-f?x?

e

x>0,则g(x)=

f?x?

e

x在R上单调递增,则有g(2)>g(0),故f(2)>ef(0).

12.直线y=a分别与直线y=2(x+1),曲线y=x+ln x交于点A,B,则|AB|的最小值为( ) A.3 B.2 323C. D. 42

解析:选D. 解方程2(x+1)=a,得x=-1.

2设方程x+ln x=a的根为t(t>0),则t+ln t=a, 则|AB|=?t-+1?=?t-

?2??

a?

a??

t+ln t2

+1??

?

?tln t+1?.

=?-?2?2?

tln t设g(t)=-+1(t>0),

22

11t-1

则g′(t)=-=(t>0),

22t2t令g′(t)=0,得t=1.当t∈(0,1)时,g′(t)<0; 3

当t∈(1,+∞)时,g′(t)>0,所以g(t)min=g(1)=,

233

所以|AB|≥,所以|AB|的最小值为.

22二、填空题(把答案填在题中横线上)

13.已知函数f(x)=x+3x-2ln x,则函数f(x)的单调递减区间为________.

222

解析:函数f(x)=x+3x-2ln x的定义域为(0,+∞).f′(x)=2x+3-,令2x+3-<2

xx1???1?2

0,即2x+3x-2<0,解得x∈?-2,?.又x∈(0,+∞),所以x∈?0,?.所以函数f(x)

2???2?

?1?的单调递减区间为?0,?.

?2?

1312?2?14.若函数f(x)=-x+x+2ax在?,+∞?上存在单调递增区间,则a的取值范围是32?3?________.

35

解析:对f(x)求导,得f′(x)=-x+x+2a

2

?1?21

=-?x-?++2a.

?2?4

?2??2?2

当x∈?,+∞?时,f′(x)的最大值为f′??=+2a.

?3??3?9

21令+2a>0,解得a>-. 99

?1?所以a的取值范围是?-,+∞?.

?9?

15.若方程kx-ln x=0有两个实数根,则k的取值范围是________. 解析:令y=kx,y=ln x.

若方程kx-ln x=0有两个实数根,

则直线y=kx与曲线y=ln x有两个不同交点.

故直线y=kx应介于x轴和曲线y=ln x过原点的切线之间. 设曲线y=ln x过原点的切线的切点为(x0,ln x0),

11

又y′|x=x0=,故切线方程为y-ln x0=(x-x0),将原点代入得,x0=e,此时y′|xx0x0

11?1?=x0==,故所求k的取值范围是?0,?. x0e?e?1??0,答案:?? ?e?

16.设定义在R上的函数y=f(x)的导函数为f′(x).如果存在x0∈[a,b],使得f(b)-

f(a)=f′(x0)(b-a)成立,则称x0为函数f(x)在区间[a,b]上的“中值点”.那么函数f(x)

=x-3x在区间[-2,2]上的“中值点”为________.

解析:由f(x)=x-3x求导可得f′(x)=3x-3,设x0为函数f(x)在区间[-2,2]上的“中值点”,则f′(x0)=23答案:±

3

专题二 综合提升训练(二) (用时40分钟,满分80分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1

1.函数y=的定义域是( )

log2?x-2?A.(-∞,2) B.(2,+∞)

36

3

2

3

f?2?-f?-2?

2-?-2?

=1,即3x0-3=1,解得x0=±

2

23

. 3