1312

2．已知向量a，b满足|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x＋|a|x＋a2bx在R上

32有极值，则向量a，b的夹角的取值范围是( )

?π??π?A.?0，? B.?，π?

6???6?

C.?

?π，π? D.?π，2π? ??33??3???

1311312

解析：基本法：设a，b的夹角为θ，则f(x)＝x＋|a|x＋|a|2|b|cos θ2x＝x＋

3232122

|a|2x＋|a|cos θ2x，

2

122

∴f′(x)＝x＋|a|x＋2|a|cos θ，∵函数f(x)有极值，∴f′(x)＝0有2个不等的实根，

2122

∴Δ＝|a|－2|a|cos θ＞0，即1－2cos θ＞0，∴cos θ＜，又0≤θ≤π，

2π

∴＜θ≤π，故选C. 3答案：C

类型三 导数与函数的单调性

1?1?2

[例3] 若函数f(x)＝x＋ax＋在?，＋∞?是增函数，则a的取值范围是( )

x?2?A．[－1,0] B．[－1，＋∞) C．[0,3] D．[3，＋∞)

1?1?解析：基本法：由题意知f′(x)≥0对任意的x∈?，＋∞?恒成立，又f′(x)＝2x＋a－2，

x?2?11?1?所以2x＋a－2≥0对任意的x∈?，＋∞?恒成立，分离参数得a≥2－2x，若满足题意，需

xx?2?

??????a≥?2－2x?max.令h(x)＝2－2x，x∈?，＋∞?.因为h′(x)＝－3－2，所以当x∈?，＋∞?

xx?x??2??2??1??1?时，h′(x)＜0，即h(x)在?，＋∞?上单调递减，所以h(x)＜h??＝3，故a≥3. ?2??2?

速解法：当a＝0时，检验f(x)是否为增函数，当a＝0时，

1

11121

f(x)＝x2＋，f??＝＋2＝，f(1)＝1＋1＝2，

x?2?44f??＞f(1)与增函数矛盾．排除A、B、C.故选D.

答案：D

方略点评：基本法采用分离参数法来研究单调性.速解法采用特值法，结合图象求解集.

?1?1

9

?1??2?

29

(2)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是( ) A．(－∞，－2] B．(－∞，－1] C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)

1

解析：基本法：依题意得f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)

x1

上恒成立，即k≥在(1，＋∞)上恒成立，

x1

∵x＞1，∴0＜＜1，

x∴k≥1，故选D.

1x－1

速解法：若k＝1，则f′(x)＝1－＝在(1，＋∞)上有f′(x)＞0，f(x)＝kx－ln xxx为增函数． 答案：D

方略点评：?1?基本法是采用f′?x?≥0在?1，＋∞?恒成立，直接求解.速解法采用特值验证法排除答案.

?2?①若求单调区间?或证明单调性?，只需在函数f?x?的定义域内解?或证明?不等式f′?x?>0或f′?x?<0即可.

②若已知f?x?的单调性，则转化为不等式f′?x?≥0或f′?x?≤0在单调区间上恒成立问题求解.

1．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足

1－x≤0，则必有( )

f′?x?

A．f(0)＋f(2)＞2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1) C．f(0)＋f(2)＜2f(1) D．f(0)＋f(2)≥2f(1)

解析：基本法：选A.当x＜1时，f′(x)＜0，此时函数f(x)递减，当x＞1时，f′(x)＞0，此时函数f(x)递增，∴当x＝1时，函数f(x)取得极小值同时也取得最小值，所以f(0)＞

f(1)，f(2)＞f(1)，则f(0)＋f(2)＞2f(1)，故选A.

2．(20162高考北京卷)函数f(x)＝

xx－1

(x≥2)的最大值为________．

解析：基本法：先利用导数判断函数的单调性，再进一步求解函数的最大值．

f′(x)＝

?x－1?－x1

2＝－2，

?x－1??x－1?

当x≥2时，f′(x)＜0，所以f(x)在[2，＋∞)上是减函数， 2

故f(x)max＝f(2)＝＝2.

2－1

30

答案：2

[终极提升]——登高博见 选择题、填空题的解法——构造法

用构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型，从而简化推导与运算过程．构造法是建立在观察联想、分析综合的基方法诠释 础之上的，首先应观察题目，观察已知(例如代数式)形式上的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景)，从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速解题的目的. 解题关键 正确分析条件和结构的特殊性，联想常见的数学知识. 31

限时速解训练七 导数及其应用

(建议用时40分钟)

一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．设函数f(x)＝－aln x，若f′(2)＝3，则实数a的值为( )

4A．4 B．－4 C．2 D．－2

x2

xa2a解析：选B.f′(x)＝－，故f′(2)＝－＝3，因此a＝－4.

2x22

2．曲线y＝e在点A处的切线与直线x－y＋3＝0平行，则点A的坐标为( ) A．(－1，e) B．(0,1) C．(1，e) D．(0,2)

解析：选B.设A(x0，ex0)，y′＝e，∴y′|x＝x0＝ex0.由导数的几何意义可知切线的斜率

x－1

xk＝ex0.

由切线与直线x－y＋3＝0平行可得切线的斜率k＝1. ∴ex0＝1，∴x0＝0，∴A(0,1)．故选B.

3．若函数f(x)＝x－2cx＋x有极值点，则实数c的取值范围为 ( ) A.?B.?

3

2

?3?

，＋∞? ?2??3?

，＋∞? ?2?????

3??3??∪?，＋∞? 2??2?3??3??∪?，＋∞? 2??2?

3

2

2

C.?－∞，－D.?－∞，－

解析：选C.若函数f(x)＝x－2cx＋x有极值点，则f′(x)＝3x－4cx＋1＝0有根，故Δ＝(－4c)－12≥0，从而c≥2

33

或c≤－. 22

1f?x1?－f?x2?

4．已知f(x)＝aln x＋x2(a＞0)，若对任意两个不等的正实数x1，x2都有

2x1－x2≥2恒成立，则实数a的取值范围是( ) A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(0,1) D．(0,1]

解析：选A.由条件可知在定义域上函数图象的切线斜率大于等于2，所以函数的导数f′(x)

32