必考点三 导数及其应用
[高考预测]——运筹帷幄
1．利用导数研究函数的单调性或求单调区间或求参数． 2．利用导数求函数的极值、最值，由函数极值求参数． 3．利用导数研究函数切线问题． [速解必备]——决胜千里
1．闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值．
2．若f(x)＝ax＋bx＋cx＋d有两个极值点，且x1
3
2
当a<0时，f(x)图象如图，x1为极小值点，x2为极大值点．
3．若函数y＝f(x)为偶函数，则f′(x)为奇函数， 若函数y＝f(x)为奇函数，则f′(x)为偶函数， 4．y＝e在(0,1)处的切线方程为y＝x＋1. [速解方略]——不拘一格
类型一 导数的几何意义及应用
[例1] (1)已知函数f(x)＝ax＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.
解析：基本法：由题意可得f′(x)＝3ax＋1， ∴f′(1)＝3a＋1，
又f(1)＝a＋2，∴f(x)＝ax＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)，又此切线过点(2,7)， ∴7－(a＋2)＝(3a＋1)(2－1)，解得a＝1.
5－a2
速解法：∵f(1)＝2＋a，由(1，f(1))和(2,7)连线斜率k＝＝5－a，f′(x)＝3ax＋1，
1∴5－a＝3a＋1，∴a＝1. 答案：1
25
3
2
3
x方略点评：基本法是先由切点求切线方程再代入?2，7?，求a.速解法是利用斜率的求法建立a的方程.
(2)已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.
1
解析：基本法：令f(x)＝x＋ln x，求导得f′(x)＝1＋，f′(1)＝2，又f(1)＝1，所以
2
x曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.设直线y＝2x－1与曲线y＝ax＋(a＋2)x＋1的切点为P(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2ax0＋a＋2＝2，得a(2x0＋1)＝0，
122
∴a＝0或x0＝－，又ax0＋(a＋2)x0＋1＝2x0－1，即ax0＋ax0＋2＝0，当a＝0时，显然不
2满足此方程， 1
∴x0＝－，此时a＝8.
2
速解法：求出y＝x＋ln x在(1,1)处的切线为y＝2x－1
??y＝2x－1由?2
??y＝ax＋?a＋2?x＋1
2
得ax＋ax＋2＝0，
2
∴Δ＝a－8a＝0，
∴a＝8或a＝0(显然不成立)． 答案：8
方略点评：?1?基本法是用导数的方法，速解法利用了判别式法，也较简单.
?2?曲线y＝f?x?在点P?x0，y0?处的切线，P?x0，y0?为切点，其切线斜率为f′?x0?，其切线方程为y－y0＝f′?x0??x－x0?.如果f′?x0?不存在，则切线为x＝x0.
1．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( ) A．0 B．1 C．2 D．3
解析：基本法：y′＝a－∴a＝3，故选D. 答案：D
2．(20162高考全国丙卷)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e在点(1,2)处的切线方程是________．
解析：首先求出x>0时函数的解析式，再由导数的几何意义求出切线的斜率，最后由点斜式得切线方程．
26
－x－1
2
1
，当x＝0时，y′＝a－1＝2， x＋1
－x，则曲线y＝f(x)
设x>0，则－x<0，f(－x)＝e
x－1
＋x.
∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)， ∴f(x)＝e
x－1
＋x.
xe
∴当x＞0时，f(x)＝＋x，
ee2ex－1
∴f′(x)＝2＋1＝e＋1，
e
∴f′(1)＝2，所以所求切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x. 答案：y＝2x
类型二 导数与函数的极值、最值
[例2] (1)已知函数f(x)＝ax－3x＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－∞，－1) 解析：基本法：a＝0时，不符合题意．
3
2
xa≠0时，f′(x)＝3ax2－6x，令f′(x)＝0，
2
得x1＝0，x2＝. a若a＞0，则由图象知f(x)有负数零点，不符合题意．
2?84?则a＜0，由图象结合f(0)＝1＞0知，此时必有f??＞0，即a33－332＋1＞0，化简得
aa?a?
a2＞4，又a＜0，所以a＜－2，故选C.
速解法：若a＞0，又∵f(0)＝1，f(－1)＝－a－2＜0， 在(－1,0)处有零点，不符合题意．
4432
∴a＜0，若a＝－，则f(x)＝－x－3x＋1
33
f′(x)＝－4x2－6x＝0，∴x＝0，或x＝－.
3
2
?3??3?此时f?－?为极小值且f?－?＜0，有三个零点，排除D. ?2??2?
答案：C
?2?方略点评：基本法是直接求解a，并使极小值f??＞0.速解法是用特值检验排除.
?a?
(2)已知函数f(x)＝x＋ax＋bx＋c，下列结论中错误的是( ) A．?x0∈R，f(x0)＝0
B．函数y＝f(x)的图象是中心对称图形
27
3
2
C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减 D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0
解析：基本法：由三次函数的值域为R知，f(x)＝0必有解，A项正确；因为f(x)＝x＋ax3
3
2
＋bx＋c的图象可由y＝x平移得到，所以y＝f(x)的图象是中心对称图形，B项正确；若y＝f(x)有极值点，则其导数y＝f′(x)必有2个零点，设为x1，x2(x1＜x2)，则有f′(x)＝3x＋2ax＋b＝3(x－x1)(x－x2)，所以f(x)在(－∞，x1)上递增，在(x1，x2)上递减，在(x2，＋∞)上递增，则x2为极小值点，所以C项错误，D项正确．选C.
2
速解法：联想f(x)的图象模型如图显然C错． 答案：C
方略点评：1.函数图象是研究函数单调性、极值、最值最有利的工具．
2．可导函数极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点，如函数f(x)＝x，当x＝0时就不是极值点，但f′(0)＝0.
3．极值点不是一个点，而是一个数x0，当x＝x0时，函数取得极值；在x0处有f′(x0)＝0是函数f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件．
4．f′(x)在f′(x)＝0的根的左右两侧的值的符号，如果“左正右负”，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果“左负右正”，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值．
1．函数f(x)＝ax＋bx＋cx－34(a，b，c∈R)的导函数为f′(x)，若不等式f′(x)≤0的解集为{x|－2≤x≤3}，且f(x)的极小值等于－115，则a的值是( ) 811A．－ B. 223C．2 D．5
解析：基本法：由已知可知f′(x)＝3ax＋2bx＋c，由3ax＋2bx＋c≤0的解集为{x|－2b2
2≤x≤3}可知a＞0，且－2,3是方程3ax＋2bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系知－＝
3a2
2
3
2
3
c－3a3a23
(－2)＋3，＝－233，∴b＝，c＝－18a，此时f(x)＝ax－x－18ax－34，当x∈(－
3a22
∞，－2)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数；当x∈(－2,3)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数；当x∈(3，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，
27a∴f(3)为f(x)的极小值，∵f(3)＝27a－－54a－34＝－115，∴a＝2，故选C.
2答案：C
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