1.(12分)对目标独立射击1000次，设每次命中率为0.001,求至少3次命中目标的概率。
解：设X为1000次射击中的命中次数。则X?B(1000,0.001) （4分） P{X?3}=1-P{X=0}-P{X=1}-P{X=2} （8分） 由泊松定理：取?=1000?0.001=1, （9分）
x2x?3????????????1?e?efU(x)?????0??(x?0)P{X?3}?1-e-e-（12分）
-1-1
(x?0)
2(12分).从某大学到火车站途中有6个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是1/3．设X为途中遇到的红灯次数，求随机变量X的分布律和分布函数；
解 (1)X服从二项分布B(6，1/3)，X的取值分别为0，1，2, 3，4，5，6．
(4分)
即X的分布律为 X P
0 1 2 3 4 5 6 2401606012 7297297297291 729X的分布函数为
?0?64?729?256??729?496?F(x)?P{X?x}??729656??729?716?729?728??729?1x?00?x?11?x?22?x?3 （每数1分）
3?x?44?x?55?x?6x?6
3.（12分）从某大学到火车站途中有6个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是1/3．(1)令Y表示汽车行驶过程中在停止前所经过的路口数，求Y的分布律；(2) 求从该大学到火车站途中至少遇到一次红灯的概率．
解：(1)随机变量Y的取值为0,1,2,3,4,5,6,Y的分布律为 X 0 1 2 3 4 5 6 (6分) P 1248163264 392781243729729 (2) 设X为途中遇到的红灯次数，则X服从二项分布B(6，1/3)
k1k26?kP{X?k}?Cn()(),k?1,2,...,6 （9分）
33P{至少遇到一个红灯}=P{X?1}=1-P{X=0}=1-(2/3)?0.9122 （12分） 4.假设离散型随机变量X的绝对值不大于1；P(X??1)?6
11,P(X?1)?，在事件{-1 （1）X的分布函数F(x)?P(X?x)，（2）X取负值的概率p。 解（1）由条件知，当x<-1时5(x)=0;5(-1)= 1; 8115?? 488（2分） P(?1?X?1)?1?P(X?1)?P(X??1)?1?由已知条件当-1 P{?1?X?x|?1?X?1}?k(x?1) 而 P{?1?X?x|?1?X?1}?1，则 k? 1 2 （4分） 于是，对于-1 P{?1?X?x}?P{?1?X?x,?1?X?1}?P{?1?X?1}?P{?1?X?x|?1?X?1} ?5x?15??(x?1)8216 （6分） 所以 对于 F(x)?P(X??1)?P(?1?X?x}?x≥1，有5（x）=1，从而 15x?55x?7?? 81616（8分） 若x??1?0,?5x?7F(x)??,若?1?x?1 16?若x?1?1, （10分） （2）X取负值的概率 p?P(X?0)?F(0)?P(X?0)?F(0)?7 16 （12分） 5(12分)（1）设随机变量X的分布函数F（x）连续，求Y=F（X）的密度函数；（2）求Y=-2lnF(X) 的密度函数。 解（1）先求Y的分布函数。因0≤5（x）≤1，单调非降，连续，故y=5(x)的反函数存在，记为5（y） 当y<0时，5Y（y）=P(5(X) ≤y)=P(ф)=0 -1 -1 -1 （2分） 当0≤y<1时，5Y（y）=P(5(X) ≤y)=P（X≤5（y））=5[5（y）]=y （4分） 当y≥1时，5Y（y）=P(5(X) ≤y)=P(Ω)=1，于是 y?0?0,?FY(y)??y,0?y?0 ?1,y?1? （6分） 从而Y的密度函数为 ?1,0?y?1 fY(y)??其它?0, （8分） 即Y=5（X）服从[0，1]上的均匀分布。 （2）由（1）得Y~U[0,1]，而Z==2lnY为Y的单调减函数，反函数为y?e为 x?1?2?fZ(z)?fY(e)|(e)?|??2e,当z?0时 ?当z?0时?0,?x2?x2?z2,因此Z的密度 （12分） 即Z服从参数为 11的指数分布E()。 226.(12分) 已知随机变量X的概率密度为 ?2?(1?x)?2?x?1f(x)??9 ?其它?0求Y=1-X的概率密度。 解： P{Y?y}=P{1-X?y}=P{X?1-y} (2分) 当y>1时，5Y(y)=1 当y<-3时，5Y(y)=0 (4分) ?1?y2 2 2 当-3?y?0时，FY(y)?P{?2?X??1?Y}??2?2(1?x)dx9 (7分） 当0 ?1?y ??2?2(1?x)dx?911?y?2(1?x)dx9 (10分）1?1(??1)?3?y?0?91?y ?f?2Y(y)?FY'(y)??0?y?1?91?y??0其它? 7．已知随机变量X的概率密度为 ?f(x)??2?9(1?x)?2?x?1 ??0其它求Y=|X|的分布函数与概率密度。 解：随机变量Y的分布函数为 F?0y?0Y(y)?p{Y?y}?p{|X|?y}???p{?y?X?y}y?0当y?0时，p{?y?X?y}?y??2(1?x)dx0?y?1（7分）??y9y??1?f?2X(x)dx???(1?x)dx1?y?2（10分）?y???y9?1y?2（12分）????0y?04y0?y? 故有F??Y(y)??91?1 ?(y?1)21?y?2?9?1y?2??490?y?1 ?f???2Y(y)?FY'(y)(y?1)1?y?2 ?9?0其它??8.(X,Y,Z)的概率密度为 ?Ae?(x?2y?3z)x?0,y?0,z?0f(x,y,z)??试判断 （X,Y,Z)的独立性。?0其它(12分） (3分） ???????(x?2y?3z)解：由归一性?????????f(x,y,z)dxdydz????Ae000dxdydz?1?A=6 求各一维边缘密度函数 ??5X(x)= ??????0????f(x,y,z)dydz??Ae?(x?2y?3z)dydz?e?x??00x?0x?0 ??类似可得 ?2e?2yfY(y)???0y?0 y?0?3e?3yfz(z)???0z?0 z?0?6e?(x?2y?3z)5X(x)5Y(y)5Z(z)=?0?x?0,y?0,z?0=5(x,y,z) 其它故X，Y，Z相互独立。 9.已知(X,Y)的概率密度为 ?212?xyf(x,y)??4??0x2?y?1其它 (1)求条件概率密度5y|x(y|x) (2)求条件概率P{Y>1/3|X=-1/3} ??21?21?x2ydy?1?x?1?x2(1?x4)?1?x?1解:(1)fX(x)?f(x,y)dy??4 ??8????0其它???0其它????由式(3.3.5)当-1 fY|X?2yf(x,y)????1?x4fX(x)?0?x2?y?1其它 10．证明：二元函数 ?1x?y?0 F(x,y)??0x?y?0?对每个变元单调非降，左连续，5（-∞，y）=5(x,-∞)=0,5(+∞,+∞)=1，但不是二元分布函数。 11．设随机变量X与Y独立，且 P(X??1)?P(Y??1)?1 2定义Z=XY，证明：X,Y,Z两两独立，但不相互独立。 12．设随机变量X,Y相互独立，且只取值1,2,3,4,5,6。证明X+Y不服从均匀分布（即不可能P （X+Y=k）= 1，k=2，3，?，12）。 1113．证明：若随机变量X与自己独立，则必有常数c，使P（X=c）=1。 14．设随机变量ξ与η独立，且P（ξ=1）=P（η=1）=p>0，P（ξ=0）=P（η=0）=1-p>0，定义 ????1???为偶数 ?0???为奇数问：p取什么值时，ξ与ζ独立？ 15．设随机向量（ξ,η）具有下列密度函数，判断X与Y的独立性。 f(x,y)?1 ?2(x2?y2?x2y2?1)16．设随机向量（X,Y）在边长为a的正方形内服从均匀分布，该正方形的对角线是坐标轴，求X,Y的边缘分布函数。 17．设在ΔABC中，AB=l，BC=k，∟B=90°，在ΔABC内任取一点M，M到AB的距离为ρ，∟MAB=ψ，求（ρ,ψ）的联合分布函数。 18．设随机向量（ξ,η）的分布密度为 c??f(x,y)??(1?x?y)n?0?x?0,y?0其它(n?2) 求常数c及边际密度函数。 #00001 19．设随机向量（X,Y）具有下列密度函数，判断X与Y的独立性。 (x2?y2)?1?12?f(x,y)???e?0?x?0,y?0或x?0,y?0 其它 20．设随机向量（ξ,η）具有下列密度函数，判断X与Y的独立性。 1,x)?10?x?2,max(0,x?1)?y?min( f(x,y)??0其它?21.设随机变量ξ取值于[0，1]，若P{x≤ξ 0,x?(??,0)??F(x)??P{0???x},x?(0,1) ?1,x?(1,?)?则5(x)是ξ的分布函数，由题设得，对任意2x∈[0,1]有，P{0≤ξ 1xmmmmF(x)?F()。从而对有理数，若x与x都属于[0，1]，则有F(x)?F(x)。nnnnnn因为区间[0，1]与[0，1]的长度相等，由题设得 5(1)=P{0≤ξ<1}=p{0≤ξ≤1}=1。 再由5(x)的左连续性可行，对任意无理数α，若αx与x都属于[0，1]，则5（αx）=α5(x)。 由此及上段证明得，对任意x∈[0,1]有5（x）=x5(1)=x，即5(x)为 x?0?0,?F(x)??x,0?x?1 ?1,x?1?∴ξ服从[0，1]上均分布。 22.试证5(x,y)=ke证：必要性。 (-ax2+2bxy+cy2) 为密度函数的充要条件为a>0,c>0,b-ac<0,k=ac?b2/?。 2 ??f(x,y)dxdy???keb?a(x?y)2a??ac?b2yadxdy 令u?x? bby,v?y,得y?v,x?u?v,J?1。设 aa?????f(x,y)dxdy??ke?audu?2 2???e?ac?b22vadv?1 2 要积分收敛，必须a>0,(ac-b)/a>0，由此得应有ac-b>0以及c>0,利用 ????e?udu??可得 2 ????ke?audu?2???e?ac?b22vadv?k?1a??aac?b2??1 ?k?ac?b2/?从而题中所列条件全部满足。 23.若51(x),52(y)为分布密度，则 为使5(x,y)=51(x)52(y)+h(x,y)成为密度函数，h(x,y)必须而且只需满足什么条件。 解：设5(x,y)=51(x)52(y)+h(x,y)是密度函数，则由5(x,y)≥0得h(x,y)>-51(x)52(y)。又 1???f(x,y)dxdy??f1(x)dx?f2(y)dy???h(x,y)dxdy?1???h(x,y)dxdy 所以应有 ??h(x,y)dxdy?0。 反之，若h(x,y)≥-51(x)52(y)，h(x,y)可积且 ??h(x,y)dxdy?0，显然有5(x,y)≥0且 ????f(x,y)dxdy?1，即5(x,y)是密度函数。 所以为使5(x,y)是密度函数，h(x,y)必须而且只需满足h(x,y) ≥-51(x)52(y)且 h(x,y)dxdy?1。 24.设5(x)(0≤x<∝)是单调非降函数，且5(x)>0，对随变量ξ，若E5(|ξ|)<0，则对任意x>0， P{|?|?x}?1Ef(|?|)。 f(x)证：对任意x>0， P{|?|?x}? |y|?x?dF(y)?1f(|y|)dF(y)f(x)|y?|?x1?1?f(|y|)dF(y)?Ef(|?|)f(x)???f(x) 25.ξ为非负随机变量,若Eea???(a?0)，则对任意x>0。P{ξ≥x}≤e-axEea. ξ 证：对任意x>0， P{??x}? x?y?dF(y)?1eaxy?x?eaydF(y) ?1eaxy?x-1 ?eaydF(y)?e?axEea?26.若h(x) ≥0,ξ为随机变量，且Eh(ξ)<∝，则关于任何c>0，P{h(ξ) ≥c}≤cEh(ξ). 证：h(ξ)为非负随机变量，所以对任意c>0有 P{h(?)?c}? x?c?dFh(x)?1xdFh(x)cx??c?1?1xdF(x)?Eh(?)h?0ccs s 127.{ξk}各以12概率取值k和-k，试证当s<2时，大数定律可用于独立随机变量序列ξ1，?， ξn，?的算术平均值。 n1解：现验证此时满足马尔可夫条件2D(??k)?0nk?1s1sE?k?12k?2k?0, 2s2sD?k?1?1?k2s。因s<12，这时2s-1<0，利用ξk间的独立性可得 2k2k n11D(?)??kn2n2k?1?k?1nk2sn?n2s??n2s?1?0(n??) 2n所以当s<12时，大数定律可用于独立随机变量序列{ξn}。 28.设随机变量X与Y相互独立，且同服从[0，1]上的均匀分布， 设??U?X?Y,则 （U，V）的联合密度函数； ?V?X?Y,解：（X，Y）的联合密度函数为 ?1,0?x?1,0?y?1 fX,Y(x,y)??其他?0, （2分） u?v?x???u?x?y2， 作变换?，则?u?v?v?x?y?y??2变换的雅可比行列式为 （5分） ?1?J??21??21?2???1 1?2??2? （7分） 因此（U，V）的联合密度函数为 u?v?0??1?1u?vu?v2,),若?f(X,Y)(u?vf(U,V)(u,v)??2220??1?2 ?0,其他??1?,当(u,v)?{(u,v):0?u?v?2,0?u?v?2,}??2?0,其他? 29.若ξ的分布函数为N(5,4)，则 求a使： （1）P{ξ （2）p{|ξ-5|>a}=0.01得P{|ξ-5|>a}=0.005，从而P{（ξ-5）≤ （12分） 1111（ξ-5）<（a-5）}=Φ（（a-5））,令（a-5）2222121a}=0.995，而Φ（2.6）=0.9952所以 1a=2.6，a=5.2。 2230. 假设随机变量X的数学期望为?，方差为?，而且X的四阶矩存在。试证明： E?X????4??? 4 31.设二维随机变量(X,Y)的协方差矩阵为 ?9?4????44?? ??而且E(X)?1,E(Y)?2，试求D(2X?3Y),E(X2?3Y2?6XY?7). 32. 设随机变量X～N(1,4)，Y～N(2,9)，而且X与Y相互独立，令 U?3X?4Y V?6X?2Y试求?U,V?的联合概率密度函数。 33.设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布N(0,0；1,1；?)，即联合概率密度函数为 ?x2?2?xy?y2?f(x,y)?exp??? 222(1??)2?1????1现作旋转变换如下： ?U??cos?sin???X???V??????sin?cos?????Y?? ???????2这里0???。试则 ?0使得当???0时，U与V相互独立。 34.设在第k次试验中，事件A的出现概率等于pk，而Sn是事件A在n次独立试验中的出现次数。则 证：在?pkqk??时(qk?1?pk)，也只在这样的时候，有 k?1n??S???n?k?1??k?1P??x??n2???pq?kk???k?1????xe?z22dz 35.利用契比雪夫不等式证明：能以大于0.97的概率相信， 26. 设X是只取正值的随机变量，证明当a?0时，有 P?X?a??1?E(X) a36．在二项分布中记 ?n?kn?k?b(k;n,p)?P(??k)??p(1?p),k?0,1,2,?,n，求k使b(k;n,p)达到最大值。 ?k???37 设X是一个随机变量， a与b是两个常数，若 a?X?b 求证： a?E(X)?b 证明：不妨假设X具有概率密度函数f(x)，由于a?X?b，容易理解f(x)满足下式： f(x)?0x?[a,b] 于是有 ?babaE(X)? ba???xf(x)dx??xf(x)dx??[(x?a)?a]f(x)dxbaba ??(x?a)f(x)dx??af(x)dx??af(x)dx?a同理可证明: E(X)?b. 38.设随机变量X服从Cauchy分布，即X具有下述形式的概率密度函数： f(x)?则X的数学期望不存在。 1?(1?x2)(???x??) 39．某先生写了N封信，在N个信封上分别写上了通信地址，现在该先生将N封信随机地装入这N个信封，试求平均有多少封信与所在信封上的通信地址吻合？ 解：引入N个随机变量X1,X2,?,XN如下： ?1Xi???0显然，有 P(Xi?1)?于是有： E(Xi)?第i封信与所在信封上的通信地址吻合第i封信与所在信封上的通信地址不吻合1 N 1N而且P(Xi?0)?1?1N(i?1,2,?,N) 因为与所在信封上的通信地址吻合的信的封数X为： X?X1?X2???XN 所以有： E(X)?E(X1)?E(X2)???E(XN)?111????1 NNN可以看到，不管N多大，平均有1封信与所在信封上的通信地址吻合。 40．有3个相互独立的电子装置，它们的寿命Xk(k?1,2,3)服从同一指数分布，其概率密度为： ?1?x?e?f(x)????0?(x?0)(x?0) 若将这 3 个电子装置串联工作组成整机，求该串联整机的平均寿命； 解：Xk(k?1,2,3)的分布函数为： x????F(x)??1?e??0 (x?0) (x?0)显然，串联整机的寿命U 是3 个电子装置的寿命Xk(k?1,2,3)的最小值： U?min(X1,X2,X3) U的分布函数为： FU(x)?P(U?x)?1?P(U?x)?1?P(X1?x,X2?x,X3?x)?1?P(X1?x)P(X2?x)P(X3?x) ?1?[1?F(x)][1?F(x)][1?F(x)]3x??????1?e?0? (x?0)(x?0)于是U的密度函数为： ?3?3x?e?fU(x)????0?(x?0)(x?0) 所以串联整机的平均寿命为： ??3??E(U)??xfU(x)dx??xedx???xde???0?0??3x3x ??3x???3x???3x???xe???e?dx???e?dx00????0???????e?0333x 41． 设X是一个随机变量，试证明对任意常数c，有 D(X)?E[(X?c)2] 证明：令 g(c)?E[(X?c)2]?E(X2?2cX?c2)?E(X2)?2cE(X)?c2 显然，函数g(c)是一个一元二次函数，而且开口向上，所以有最小值点。求导并令导数为零，得到： g'(c)??2E(X)?2c?0 所以最小值点为 c0?E(X) 于是对任意常数c,有 E[(X?c)2]?g(c)?g(c0)?E[(X?E(X))2]?D(X) 42． 求证：对取值于区间[a,b]内的随机变量X，有 (b?a)2 D(X)?4证明：对取值于区间[a,b]内的随机变量X，显然有 X?a?bb?a ?22所以有 2????b?a?2??b?a?2(b?a)2a?b??D(X)?E??X? ???E????????2??4???????2????2?43． 在自动控制系统或地震勘探等实际应用中，常常用数学期望都为零、方差都为?的独立随机变量X1,X2,?,Xn来代表随机干扰或噪声。为了抑制噪声，一个方法是取它们的算术平 2均值X?解： X1?X2???Xn，试计算E(X)和D(X). n?1n?1nE(X)?E??Xi???E(Xi)?0 ?ni?1?ni?1又由独立性，可得到： ?1n?1D(X)?D??Xi??2?ni?1?n?2?D(Xi)? ni?1n44.一辆飞机场的交通车，送25名乘客到9个站，假设每一位乘客都等可能地在任一站下车，并且他们下车与否相互独立．又知，交通车只在有人下车时才停车．求该交通车停车次数的数学期望． 解 由题设，每一位乘客在第i站下车的概率均为1/9(i＝1,2，?，9)，用Ak表示“第k位乘客在第i站下车”则有 设 则 45．设有n个人每人将自己的帽子扔进屋于中央，把帽子充分混合后，每个人再随机地从中选 取一顶，试求选中自己帽于的人数的数学期望与方差． 解 设X表示配对的人数，将X写成 即平均来说，他们当中仅有一人能选中他自己的帽子 于是 因此 所以 46．按季节出售的某种，应时商品，每售出一件获得纯利润b元，如到季末尚有剩余商品未能售完，则每件将净亏损l元．设在任一季节内，在某特定的百货商店该商品被订购的件数是一随机变量X．(1)设X的分布律为p(i)，i＞0；(2)设X的密度函数为s(x)>0，x＞o，若该商店必须提前储备该种商品。为使商店能获得最大的期望利润，它应储备该商品多少件? 解 (1)设该商店储备s件，其利润记为H(s)．则 故期望利润为 变化． 为要确定s的最优值，先研究当s增加1件时，所获的利润有什么 所以 则储备s十1件将比储备s件更好．因为(1)式的左边是s的递增函数而右边是常数，故不等式(1)对一切s?s成立，其中s为满足式(1)的最大s值．由于 因而，储备s十1件商品可使期望利润达到最大值． (2)因X的密度函数为s(x)＞0，x＞0，因此 *** 为使E[H(s)]最大，式(2)两边对s求导数 令上式右方等于零，可知当选取s满足 时，即可获得最大的期望利润，这里 是销售量x的分布函数． ?x47*.设样本(X1,?,Xn)取自指数分布总体,其分布函数为F(x)?1?e?(??0),试求未知参数 θ的置信度为1-α的置信区间. #00001 48*.某晶体管80只在高温下进行寿命试验,失效情况如下: 32 76 144 236 452 973 1960 失效时间 失效个数 2 2 1 2 3 1 4 到1960小时后尚有65个未失效.假定此晶体管在高温下的寿命分布为单参数指数分布,试求平均寿命θ的置信度为90％的置信区间. #00001 49*.电视机的寿命T服从单参数指数分布,今抽20台进行寿命试验,有10台发生故障时试验停止,这10台故障时间为500,920,1380,1510,1650,1760,2100,2320,2350,2900,求θ的区间估计(置信度为0.90). #00001 50*.某台电子计算机在总工作时间1556小时中发生4次故障,而计算机无故障工作时间是服从指数分布的,求该计算机平均无故障工作时间(平均寿命)θ的置信度为90％的置信区间. 51．设随机变量的分布律如下 P(X=k)=1/5，k=1,2,3,4,5 求E(X)， E(X)， E(X+2)2． ２ 52．用天平称某种物品的重量（砝码只许放在天平的一个称盘上），物品的重量是１克，２可，，10克的可能性是相同的．现在有三组砝码：(甲)1,2,2,5,10克；（乙）1,2,3,4,10克；（丙）1,1,2,5,10克．称重时只能使用一组砝码．问：用哪一组砝码称重所用的平均砝码数最少？ 53．某边长为500米的正方形场地，用航空测量法测得边长的误差为：0米的概率是0.42，?10米的概率各是0.16，?20米的概率各是0.08，?20米的概率各是0.05，求测得场地面积的数学期望． 54．有n把钥匙，其中恰有一把能打开某扇门．现一把一把地用钥匙开门，不能开的除去，打开门时除去的钥匙有X把，求X的期望与方差． 55．用切比雪夫不等式证明：能以大于97%的概率相信，掷1000次均匀硬币时，正面出现的次数在400到600之间． 56．已知连续型随机变量X的分布函数为， 0??F(x)??A?Barcsinx?1?x?-1?1?x?1 x?1求常数A、B，及X的期望与方差． 57．设随机变量X的密度函数为 ?6x(1-x)0?x?1f(x)?? 0其他?求P(X?E(X)?2D(X)) 58．设随机变量X?N(?,?2)，令 μ2?2μXY?exp() 2σ2求E(Y)． 59．在圆心为O、半径为R的圆内任取一点P，证明：O P的数学期望为2R/3． 60．在?ABC 内任取一点P，试证：?ABP的面积的数学期望为S/3．其中，S为?ABC的面积． 61．设随机变量X服从参数为?的指数分布，求各阶矩E(X k)，k=1,2,3?． 62．在长为l的线段中任取两点，设两点见的距离为X，求E(X k)，k=1,2,3?． 63．已知随机变量的概率密度为 f(x)?exp(?x)/2???x??? 求Z=X(1-2X)的数学期望． 64．在等腰直角三角形ABC的斜边BC上任取一点M，设AM与AB的夹角?在(0, ?/2)上均匀分布，设斜边长为2m，AM长为X，求X数学期望． 65．设随机变量Ｘ具有密度函数，且密度函数是偶函数，EX??，试证Ｘ与Y=X2不相关，但不独立． 66．设随机变量X,Y相互独立，且各自的概率密度为 2??3(1?x)/4fX(x)??0??3x?1 x?1?3y(2?y)/40?y?2fY(x)?? 0其他?求D(X+Y)． 67．设（X,Y）的概率密度为 ?4/π2f(x,y)???00?x?π/2,0?y?π/2, 其他求E(XY), D(XY)． 68．设（X,Y）的概率密度为 ?2exp(?x?y)0?x?y??,f(x,y)?? 0其他?求E(XY), D(XY)． 69．在三角形ABC中任取一点Ｍ，求三角型ＡＢＭ的面积的数学期望． 70．随机变量（X,Y）服从区域G={(x,y) ?0 71．随机变量（X,Y）的概率密度为 0?y?1,?x?y0?x?1,f(x,y)?? 其他?0求相关系数?XY． 72．随机变量（X,Y）的概率密度为 ?60?x?1,x2?y?x,f(x,y)?? 其他?0求相关系数?XY． 73．设（X,Y）是二维正态随机变量，它的均值矢量和协方差矩阵分别为????和??Y的联合概率密度． 74．已知随机变量（X,Y）的协方差矩阵为??CVW． 1?2??9??75．已知随机变量（X,Y,Z）的协方差矩阵为?1203?，求V=2X+3Y+Z，W=Y-Z的协方 ??2312????3?1???，求V=4X+3Y，W=-2X+4Y的协方差矩阵?11???0??1??42???，求X，29??差矩阵CVW． 76．已知随机变量独立，且X?N(a, ?12)，Y? N(b, ?22)．U=X+Y，V=X-Y+1，求（U，V）的协方差矩阵． 77．X，Y的相关系数为?，设U=aX+bY，V=cX+dY，a, b, c, d均为常数，求 U，V的相关系 数?UV． 78．设随机变量X与Y独立，都服从几何分布： P(X=k)=P(Y=k)=p(1-p)k-1，k=1、2、3? 求E(max(X,Y))． 79．随机变量X与Y的均值、方差存在，求常数A、B，使得E(Y-(A+BX))2最小． #00001 ?x90*.考虑某种离散分布P(X?x)?ax,x?0,1,2,?其中对某些x可能ax?0,f(?)有连 f(?)续导数,设X1,?,Xn是来自此种分布的一个样本.证明θ的极大似然估计是方程 X??f(?)?EX的一个根. f(?)#00001 81*.设(X1,?,Xn)是取自正态总体N(?,?)的样本,其中?,?未知, (1) 求?的置信度为1-α的置信上限; (2) 如何构造log?的具有固定长度L的1-α置信度的置信区间. #00001 82*.设(X1,?,Xn)是取自正态总体N(?,?2)的样本,其中?(X???1度为最短. #00001 83*.假定对某合金的破坏强度作25次测的x?11.1和s*?3.4,假定这个样本来自正态总体 22222已知.试证明在形如 ?n,X???2?n,)的1-(?1??2)置信度的置信区间中,当?1??2??2时,区间长 N(?,?2),求(1)μ+σ的一个置信度为0.9的置信区间.(2)μ+σ的一个置信度为0.9的置信区间. #00001 84*.设(X1,?,Xn)是取自二点分布b(1,p)总体,其中θ为未知参数,S=∑Xi,试证θ的一个置信度为 1-α 的 渐 进 置 信 区 间 的 上 下 限 分 别 为 22??uuS(n?S)?2?/2?/2???L??S??u?/2??/(n?u?/2) 2n4????22?uuS(n?S)????S??/2?u ???/2U?/22n4????2?/(n?u?/2) ??#00001 85*.设样本(X1,?,Xn)取自正态总体N(?,?2),其中?,?2未知,设随机变量L是关于μ的置信度为r的置信区间的长度,对下列不同的置信度r和不同类型n,求E(L2).(1)n=5,r=0.95;(2)n=10,r=0.95; (3) n=30,r=0.95;(4)n=8,r=0.90;(5)n=8,r=0.95;(6)n=8,r=0.99. #00001 86*.每台汽轮机有60个叶片,设计上需要掌握叶片的频率分布情况.测量了7台汽轮机,其叶片频率分布情况列表如下: 台号 频 率 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 1 1 7 14 18 13 4 3 2 2 10 17 14 8 6 3 3 2 3 4 9 18 14 6 2 2 4 2 7 12 18 6 4 6 5 5 5 11 13 14 10 5 2 6 6 11 20 10 6 0 3 3 1 7 2 4 18 25 10 1 试检验这些汽轮机叶片频率的方差是否有显著差异(α=0.05)?并对防病相同的一批汽轮机求方差置信度为0.95的区间估计. 87.在产品检验时，原假设H0：产品合格.为了使“次品混入正品”的可能性很小,在样本容量n固定的条件下,显著水平α应取大些还是小些?