第一章 晶体结构

1.试述晶态、非晶态、准晶、多晶和单晶的特征性质。

解：晶态固体材料中的原子有规律的周期性排列，或称为长程有序。非晶态固体材料中的原子不是长程有序地排列，但在几个原子的范围内保持着有序性，或称为短程有序。准晶态是介于晶态和非晶态之间的固体材料，其特点是原子有序排列，但不具有平移周期性。

另外，晶体又分为单晶体和多晶体：整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体；而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。 2.晶格点阵与实际晶体有何区别和联系？

解：晶体点阵是一种数学抽象，其中的格点代表基元中某个原子的位置或基元质心的位置，也可以是基元中任意一个等价的点。当晶格点阵中的格点被具体的基元代替后才形成实际的晶体结构。晶格点阵与实际晶体结构的关系可总结为：

晶格点阵＋基元＝实际晶体结构

3.晶体结构可分为Bravais格子和复式格子吗？

解：晶体结构可以分为Bravais格子和复式格子，当基元只含一个原子时，每个原子的周围情况完全相同，格点就代表该原子，这种晶体结构就称为简单格子或Bravais格子；当基元包含2个或2个以上的原子时，各基元中相应的原子组成与格点相同的网格，这些格子相互错开一定距离套构在一起，这类晶体结构叫做复式格子。

4.图1.34所示的点阵是布喇菲点阵（格子）吗？为什么？如果是，指明它属于那类布喇菲格子？如果不是，请说明这种复式格子的布喇菲格子属哪类？ （a） （b） （c） （d） 图1.34 （a）“面心＋体心”立方；（b）“边心”立方；（c）“边心＋体心”立方；（d）面心四方 解：（a）“面心＋体心”立方不是布喇菲格子。

从“面心＋体心”立方体的任一顶角上的格点看，与它最邻近的有12个格点；从面心任一点看来，与它最邻近的也是12个格点；但是从体心那点来看，与它最邻近的有6个格点，所以顶角、面心的格点与体心的格点所处的几何环境不同，即不满足所有格点完全等价的条件，因此不是布喇菲格子，而是复式格子，此复式格子属于简立方布喇菲格子。

（b）“边心”立方不是布喇菲格子。

从“边心”立方体竖直边心任一点来看，与它最邻近的点子有八个；从“边心”立方体水平边心任一点来看，与它最邻近的点子也有八个。虽然两者最邻近的点数相同，距离相等，但他们各自具有不同的排列。竖直边心点的最邻近的点子处于相互平行、横放的两个平面上，而水平边心点的最邻近的点子处于相互平行、竖放的两个平面上，显然这两种点所处的几何环境不同，即不满足所有格点完全等价的条件，因此不是布喇菲格子，而是复式格子，此复

1

式格子属于简立方布喇菲格子。

（c）“边心+体心”立方不是布喇菲格子。

从“边心+体心”立方任一顶点来看，与它最邻近的点子有6个；从边心任一点来看，与它最邻近的点子有2个；从体心点来看，与它最邻近的点子有12个。显然这三种点所处的几何环境不同，因而也不是布喇菲格子，而是属于复式格子，此复式格子属于简立方布喇菲格子。 （d）“面心四方”

从“面心四方”任一顶点来看，与它最邻近的点子有4个，次最邻近点子有8个；从“面心四方”任一面心点来看，与它最邻近的点子有4个，次最邻近点子有8个，并且在空间的排列位置与顶点的相同，即所有格点完全等价，因此“面心四方”格子是布喇菲格子，它属于体心四方布喇菲格子。

5.以二维有心长方晶格为例，画出固体物理学原胞、结晶学原胞，并说出它们各自的特点。 解：以下给出了了二维有心长方晶格示意图： 由上图，我们可给出其固体物理学原胞如下图（a）所示，结晶学原胞如下图（b）所示： a2a1 ba （a） （b） 从上图（a）和（b）可以看出，在固体物理学原胞中，只能在顶点上存在结点，而在结晶学原胞中，既可在顶点上存在结点，也可在面心位置上存在结点。 6.倒格子的实际意义是什么？一种晶体的正格矢和相应的倒格矢是否有一一对应的关系？ 解：倒格子的实际意义是由倒格子组成的空间实际上是状态空间（波矢K空间），在晶体的X射线衍射照片上的斑点实际上就是倒格子所对应的点子。 设一种晶体的正格基矢为a1、a2、a3，根据倒格子基矢的定义：

2?[a2?a3]???2?[a3?a1]??b2??

??2?[a1?a2]?b3????b1?式中?是晶格原胞的体积，即??a1?[a2?a3]，由此可以唯一地确定相应的倒格子

2

空间。同样，反过来由倒格矢也可唯一地确定正格矢。所以一种晶体的正格矢和相应的倒格矢有一一对应的关系。 7.为什么说晶面指数（

h1h2h3）和Miller指数（hkl）都能反映一个平行晶面族的方向？

解：晶面指数（h1h2h3）是以固体物理学原胞的基矢a1、a2、a3为坐标轴来表示面指数的，而Miller指数（hkl）是以结晶学原胞的基矢a、b、c为坐标轴来表示面指数的，但它们都是以平行晶面族在坐标轴上的截距的倒数来表示的，而这三个截距的倒数之比就等于晶面族的法线与三个基矢的夹角余弦之比，从而反映了一个平行晶面族的方向。 8.试画出体心立方、面心立方的（100），（110）和（111）面上的格点分布。 解：体心立方（100），（110）和（111）面上的格点分布为： 体心立方（100）面 体心立方（110）面 体心立方（111）面 面心立方（100），（110）和（111）面上的格点分布为： 面心立方（100）面 面心立方（110）面 面心立方（111）面 9.一个物体或体系的对称性高低如何判断？有何物理意义？一个正八面体（见图1.35）有哪些对称操作？

解：对于一个物体或体系，我们首先必须对其经过测角和投影以后，才可对它的对称规律，进行分析研究。如果一个物体或体系含有的对称操作元素越多，则其对称性越高；反之，含有的对称操作元素越少，则其对称性越低。

晶体的许多宏观物理性质都与物体的对称性有关，例如六角对称的晶体有双折射现象。 而立方晶体，从光学性质来讲，是各向同性的。

正八面体中有3个4度轴，其中任意2个位于同一个面内，而另一个则垂直于这个面；6个2度轴；6个与2度轴垂直的对称面；3个与4度轴垂直的对称面及一个对称中心。

10.各类晶体的配位数（最近邻原子数）是多少？

解：7种典型的晶体结构的配位数如下表1.1所示：

晶体结构

配位数

晶体结构

配位数

3

面心立方 六角密积 体心立方 简立方

12 8 6

氯化钠型结构 氯化铯型结构 金刚石型结构

6 8 4

11.利用刚球密堆模型，求证球可能占据的最大体积与总体积之比为

3?2??（1）简单立方6；（2）体心立方8；（3）面心立方6 2?3?（4）六角密积6；（5）金刚石16。

解：（1）在简立方的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数a?2R，则简立方的致密度（即球可能占据的最大体积与总体积之比）为：

441??R31??R3???33?33?

6a(2R)（2）在体心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数a?4R/3，则体心立方的致密度为：

442??R32??R33?3??33?? 38a(4R/3)（3）在面心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数a?22R，则面心立方的致密度为：

444??R32??R33??33??3a(22R)2? 6（4）在六角密积的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数a?2R，

c?(26/3)a?(46/3)R，则六角密积的致密度为：

446??R36??R333????223a3(2R)6?c6?(46/3)R442? 6（5）在金刚石的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数a?(8/3)R，则金刚石的致密度为：

4

448??R38??R33?3??33?? 16a(8/3)3R312.试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。

解：我们知体心立方格子的基矢为：

a?a??12(?i?j?k)?a??a2?(i?j?k)

2??a3?a(i?j?k)?2?根据倒格子基矢的定义，我们很容易可求出体心立方格子的倒格子基矢为：

2?[a2?a3]2??b??(j?k)?1?a?2?[a3?a1]2??b??(i?k) ?2?a??b?2?[a1?a2]?2?(i?j)3??a?由此可知，体心立方格子的倒格子为一面心立方格子。同理可得出面心立方格子的倒

格子为一体心立方格子，所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。 13. 对于六角密积结构，固体物理学原胞基矢为

a1?a3i?aj 22a3a2??i?aj

22a3?ck

试求倒格子基矢。

解：根据倒格子基矢的定义可知：

a3(?i?aj)?(ck)a2?a322b1?2??2? a1?[a2?a3]a3a3(i?aj)?[(?i?aj)?(ck)]22223acaci?j22＝2?(i?2j)

a323ac2?2? 5

a(ck)?(?i?a3?a12b2?2??2?a1?[a2?a3]a3a(i?aj)?[(?i?222??2?3aj)2 3aj)?(ck)]23acaci?j22＝2?(?i?2j)

a323ac2a3a3(i?aj)?(?i?aj)a1?a22222b3?2??2? a1?[a2?a3]a3a3(i?aj)?[(?i?aj)?(ck)]222232ak2?2 ?2?=k c32ac214. 一晶体原胞基矢大小a?4?10?10m，b?6?10?10m，c?8?10?10m，基矢间夹角

??90?，??90?，??120?。试求：

（1） 倒格子基矢的大小； （2） 正、倒格子原胞的体积；

（3） 正格子(210)晶面族的面间距。 解：(1) 由题意可知，该晶体的原胞基矢为：

a1?ai

13a2?b(?i?j)

22a3?ck

由此可知：

b1?2?a2?a3=2?a1?[a2?a3]bc(31i?j)22=2?(i?1j)

a33abc2=

b2?2?a3?a1=2?a1?[a2?a3]acj3abc22?2?j b3 6

3ka1?a22?2 b3?2?=2?=?k a1?[a2?a3]c3abc2ab 所以

b1＝

4?2?1?1.8138?1010m?1 ?12?()2＝

a3a34?2?2?1.2092?1010m?1 ?()2＝

b3b3b2＝b3＝

2?2??12＝?0.7854?1010m?1 cc (2) 正格子原胞的体积为：

133??a1?[a2?a3]＝(ai)?[b(?i?j)?(ck)]＝abc?1.6628?10?28m3

222倒格子原胞的体积为：

16?32?12?22??1.4918?1030m?3 ??b1?[b2?b3]＝(i?j)?[(j)?(k)]＝

abc3abc33?(3)根据倒格子矢量与正格子晶面族的关系可知，正格子(210)晶面族的面间距为：

dh?2?2?2?== Kh2b1?1b2?0b34?4?4?i?(?)ja3a3b =

2??4?11112()2?(?)a3a3b?1.4412?10?10m

15.如图1.36所示，试求：

（1） 晶列ED，FD和OF的晶列指数；

（2） 晶面AGK,FGIH和MNLK的密勒指数； （3） 画出晶面（120），（131）。

7

zzGFLNDCGOIABHa2EyKMa2OyAxx 图1.36 解：（1）根据晶列指数的定义易求得晶列ED的晶列指数为[111]，晶列FD的晶列指数为[110]，晶列OF的晶列指数为[011]。 （2）根据晶面密勒指数的定义 晶面AGK在x，y和z三个坐标轴上的截距依次为1，-1和1，则其倒数之比为

111。 ::?1:1:1，故该晶面的密勒指数为（111）

1?11晶面FGIH在x，y和z三个坐标轴上的截距依次为1/2，∞和1，则其倒数之比为

111。 ::?2:0:1，故该晶面的密勒指数为（201）

1/2?1晶面MNLK在x，y和z三个坐标轴上的截距依次为1/2，-1和∞，则其倒数之比为

111。 ::?2:1:0，故该晶面的密勒指数为（210）1/2?1?（3）晶面（120），（131）分别如下图中晶面AMLk和晶面ABC所示：

zzLBMbCKOAb32OyyxAx 16.矢量a，b，c构成简单正交系。证明晶面族(hkl)的面间距为 8

dhkl?1hkl()2?()2?()2abc

解：由题意可知该简单正交系的物理学原胞的基矢为：

??a1?ai?a2?bj ??a3?ck由此可求得其倒格子基矢为：

??b2?1?[a2?a3]?a?[a?a?2?(bci)?2?i??b21?[a23]abca3?a1]?2?(acj)?2?j?2?a?[a?a]abcb ?21?[a23?1?a2]2?b3?a??(abk)?2?k1?[a2?a3]abcc根据倒格子矢量的性质有：

d2?hkl?K?2?b hklh1?kb2?lb3 ?2?12?

ahi?2??bkj?2?clk(h)2?(k)2?(l)2abc17.设有一简单格子，它的基矢分别为a1?3i，a2?3j，a3?1.5(i?j?k)。试求：（1） 此晶体属于什么晶系，属于哪种类型的布喇菲格子？ （2） 该晶体的倒格子基矢；

（3） 密勒指数为（121）晶面族的面间距； （4） 原子最密集的晶面族的密勒指数是多少？ （5） [111]与[111]晶列之间的夹角余弦为多少？

解：（1）由题意易知该晶体属于立方晶系，并属于体心立方布喇菲格子。 （2）由倒格子基矢的定义可知：

??b1?2?[a2?a3]?2??4.5(i?k)?2?(i?a?[a]13.53?k)??b21?[a2?a33?a1]2??4.5(j?k)2??2?a?[a??(j?k) 1??[a2?a3]13.532?1?a2]2??9k2?b?3?a?[a?a]?13.5?1.5k123（3）根据倒格矢的性质，可求得密勒指数为（121）晶面族的面间距为

d121?2?K?2?1211?b

1?2b2?b3

9

?2?2?(i?2j?5k3?330?30 10（4）由于面密度???d，其中d是面间距，?是体密度。对布喇菲格子，?等于常数。因此，我们可设原子最密集的晶面族的密勒指数为(h1h2h3)，则该晶面族的面间距dh1h2h3应为最大值，所以有

dh1h2h3?2?Kh1h2h3?2?

h1b1?h2b2?h3b3

?2?2?[h1i?h2j?(2h3?h1?h2)k]3?3?max

h1i?h2j?(2h3?h1?h2)k由此可知，对面指数为（100）、（010）、（101）、（011）和（111）有最大面间距3/2，因而这些面即为原子排列最紧密的晶面族。 （5）[111]与[111]晶列之间的夹角余弦为

??arccosR111?R111R111?R111?(a1?a2?a3)?(a1?a2?a3)

a1?a2?a3?a1?a2?a3 ?arccos(4.5i?4.5j?1.5k)?(1.5i?1.5j?1.5k)?48.53?

4.5i?4.5j?1.5k?1.5i?1.5j?1.5k18.已知半导体GaAs具有闪锌矿结构，Ga和As两原子的最近距离d＝2.45×10-10m。试求：

(1) 晶格常数；

(2) 固体物理学原胞基矢和倒格子基矢； (3) 密勒指数为(110)晶面族的面间距；

(4) 密勒指数为(110)和(111)晶面法向方向间的夹角。

解：(1)由题意可知，GaAs的晶格为复式面心立方晶格，其原胞包含一个Ga原子和一个As原子，其中Ga原子处于面心立方位置上，而As原子则处于立方单元体对角线上距离Ga原子1/4体对角线长的位置上，如左图所示： 由此可知：

d?3a 4b2

故 a?43d?43?2.45?10?10m=5.59?10?10m

(2)由于GaAs的空间点阵为面心立方结构，故其固体物理学原胞基矢为：

10

a??10a?(j?k)?2.795?10(j?k)1?2?a?a?(k?i)?2.795?10?10(k?i) ?22??a3?a(i?j)?2.795?10?10(i?j)?2?其倒格子基矢为：

2??b?(?i?j?k)?1.124?1010(?i?j?k)?1a?2?? ?b2?(i?j?k)?1.124?10?10(i?j?k)

a??b?2?(i?j?k)?1.124?10?10(i?j?k)3?a?(3)密勒指数为(110)晶面族的面间距为：

d110?2?2?a???2.795?10?10m K1101?b1?1?b2?0?b32(4)根据倒格子矢的性质可知，密勒指数为(110)和(111)晶面法向方向间的夹角即为倒格子矢K110和K111之间的夹角，设为?，则有：

??arccosK110?K111K110?K111?(1?b1?1?b2?0?b3)?(1?b1?1?b2?1?b3)

1?b1?1?b2?0?b3?1?b1?1?b2?1?b3? ＝arccos(?0.3015)?107.55 19. 如图1.37所示，设二维正三角形晶格相邻原子间距为a，试求： (1) 正格子基矢和倒格子基矢；

(2) 画出第一布里渊区，并求出第一布里渊区的内接圆半径。

解：(1)取该二维正三角形晶格中任意相邻的两边为基矢，并使a1的方向和i的方向相同，于是有：

?a1?ai?a3a那么有： ?a?i?j2?22?a2?k2?1?b?2???(i?j)1??a1?(a2?k)a3 ?k?a14??b2?2???j?a?(a?k)3a12?(2)根据第一布里渊区的定义，可作图如下所示： 图1.37

上图中的阴影部分即为第一布里渊区，且由图中可以求出第一布里渊区的内接圆半径为：

11

r?b22?2?3a

20.试求面心立方结构、体心立方结构和金刚石结构的几何结构因子；并讨论其衍射相消条件。

解：（1）在面心立方结构的原胞中包含有4个原子，其坐标为

000，

由此可知，其几何结构因子为

111111 0，0，0222222Fhkl??fjeji2??S?Rj??fjeji2?n(huj?kvj?lwj)?f1?ei?n(h?k)?ei?n(h?l)?ei?n(k?l)

2?? ∴Fhkl2?f2?1?cos?n(h?k)?cos?n(h?l)?cos?n(k?l)?

2? ??sin?n(h?k)?sin?n(h?l)?sin?n(k?l)? 由于

?h、k、l和n都为整数，所以上式中的正弦项为0。于是有

2 Fhkl?f2?1?cos?n(h?k)?cos?n(h?l)?cos?n(k?l)?

2由此可知，当nh、nk和nl奇偶混杂时，即nh、nk和nl不同为奇数或偶数时，此时

Fhkl2?0，即出现衍射相消。

111

222（2）在体心立方结构的原胞中包含有2个原子，其坐标为

000和

由此可知，其几何结构因子为

Fhkl??fjeji2??S?Rj??fjeji2?n(huj?kvj?lwj)?f1?ei?n(h?k?l)

2?? ∴Fhkl由于

2?f2?1?cos?n(h?k?l)???sin?n(h?k?l)?

2??h、k、l和n都为整数，所以上式中的正弦项为0。于是有

Fhkl2?f2?1?cos?n(h?k?l)?

22由此可知，当n(h?k?l)为奇数时，此时有Fhkl?0，即出现衍射相消。

（3）在金刚石结构的原胞中含有8个原子，其坐标为

000，

111111111133331313，，，， 0，0，0444222222444444444由此可知，其几何结构因子为

12

Fhkl??fjeji2??S?Rj??fjeji2?n(huj?kvj?lwj)

????in(h?k?l)in(3h?3k?l)in(3h?k?3l)in(h?3k?3l)??i?n(h?k)i?n(h?l)i?n(k?l)?f?1?e2?e?e?e?e2?e2?e2????in(h?k?l)??i?n(h?k)?f?1?e2?ei?n(h?l)?ei?n(k?l) ?1?e????∴Fhkl222?????????2??f??1?cosn(h?k?l)???sinn(h?k?l)????1?cos?n(h?k)?

22????????22 ?cos?n(h?l)?cos?n(k?l)???sin?n(h?k)?sin?n(h?l)?sin?n(k?l)? 由于

2?h、k、l和n都为整数，所以上式中的正弦项为0。于是有

2Fhkl???2?f2?1?cosn(h?k?l)??1?cos?n(h?k)?cos?n(h?l)?cos?n(k?l)?

2??2由此可知，当nh、nk和nl奇偶混杂时，即nh、nk和nl不同为奇数或偶数时或者当且n(h?k?l)?4(2m?1)（其中m为整数）时，有有Fhklnh、nk和nl全为偶数，即出现衍射相消。 21.用钯靶

?0，

K?X射线投射到NaCl晶体上，测得其一级反射的掠射角为5.9°，已知NaCl晶

胞中Na＋与Cl－的距离为2.82×10-10m，晶体密度为2.16g/cm3。求：

X射线的波长；阿伏加德罗常数。

解：（1）由题意可知NaCl晶胞的晶胞参数a?2?2.82?10?10?5.64?10?10m，又应

为NaCl晶胞为面心立方结构，根据面心立方结构的消光规律可知，其一级反射所对应的晶面族的面指数为（111），而又易求得此晶面族的面间距为

d111?a12?12?12?5.64?10?103?3.26?10?10m

又根据布拉格定律可知：

??2d111sin??2?3.26?10?10sin5.9??6.702?10?9m

（2）由题意有以下式子成立

a3NA???MNaCl

4 ∴ NA?4MNaCl4?58.523??6.038?10 3?1036a?(5.64?10)?2.16?10 13

第二章 晶体的结合

1.试述离子键、共价键、金属键、范德瓦尔斯和氢键的基本特征。

解：（1）离子键：无方向性，键能相当强；（2）共价键：饱和性和方向性，其键能也非常强；（3）金属键：有一定的方向性和饱和性，其价电子不定域于2个原子实之间，而是在整个晶体中巡游，处于非定域状态，为所有原子所“共有”；（4）范德瓦尔斯键：依靠瞬时偶极距或固有偶极距而形成，其结合力一般与r7成反比函数关系，该键结合能较弱；（5）氢键：依靠氢原子与2个电负性较大而原子半径较小的原子（如O，F，N等）相结合形成的。该键也既有方向性，也有饱和性，并且是一种较弱的键，其结合能约为50kJ/mol。 2.有人说“晶体的内能就是晶体的结合能”，对吗？

解：这句话不对，晶体的结合能是指当晶体处于稳定状态时的总能量（动能和势能）与组成这晶体的N个原子在自由时的总能量之差，即Eb?EN?E0。（其中Eb为结合能，EN为组成这晶体的N个原子在自由时的总能量，E0为晶体的总能量）。而晶体的内能是指晶体处于某一状态时（不一定是稳定平衡状态）的，其所有组成粒子的动能和势能的总和。 3.当2个原子由相距很远而逐渐接近时，二原子间的力与势能是如何逐渐变化的？

解：当2个原子由相距很远而逐渐接近时，2个原子间引力和斥力都开始增大，但首先引力大于斥力，总的作用为引力，f(r)?0，而相互作用势能u(r)逐渐减小；当2个原子慢慢接近到平衡距离r0时，此时，引力等于斥力，总的作用为零，f(r)?0，而相互作用势能u(r)达到最小值；当2个原子间距离继续减小时，由于斥力急剧增大，此时，斥力开始大于引力，总的作用为斥力，f(r)?0，而相互作用势能u(r)也开始急剧增大。 4.为什么金属比离子晶体、共价晶体易于进行机械加工并且导电、导热性良好？

解：由于金属晶体中的价电子不像离子晶体、共价晶体那样定域于2个原子实之间，而是在整个晶体中巡游，处于非定域状态，为所有原子所“共有”，因而金属晶体的延展性、导电性和导热性都较好。 5.有一晶体，在平衡时的体积为能由下式给出：

V0U，原子之间总的相互作用能为0，如果原子间相互作用

u(r)???rm??rn，

试证明弹性模量可由U0?mn/(9V0)?给出。

解：根据弹性模量的定义可知

?d2U??dP?? …………………（1） K???VV???2???dV?V0?dV?V0

14

上式中利用了P??dU的关系式。 dVU?设系统包含N个原子，则系统的内能可以写成

NN?? u(r)?(?m?n) ……………（2）

22rr又因为可把N个原子组成的晶体的体积表示成最近邻原子间距r的函数，即

V?Nv?N?r3 ………………（3）

上式中?为与晶体结构有关的因子（如面心立方结构，??又因为

2/2）。

(dU1dUN?m?n??1)?()??? ………………（4）??RdV2?rm?1rn?1?3N?r23?Nr2dr0d2Udrd?1?Nm?n???(2)V0???(? m?1n?1??dVdr?3N?r2?2dVrr???r?r01N?m2?n2?3m?3n???????n?m?n?……………（5） 9V022?r0mr0r0r0?考虑平衡条件(m?n?dU)r0?0，得m?n，那么（5）式可化为

r0r0dVd2U1N?m2?n2??1N?m?n??(2)V0???????m?n???? dV9V022?r0mr0n?9V022?r0mr0n?1N?n?m??mnN????mn???mn?nm???2???m?n??(?U0) …… ?（6） 9V022?r0r0?9V02?r0r0?9V02将（6）式代入（1）式得：

K?V0?mn?U0?U0?mn/(9V0)? 29V06.上题表示的相互作用能公式中，若m?2，n?10，且两原子构成稳定分子时间距为

3?10?10m，离解能为4eV，试计算?和?之值。

解：在平衡位置时有

u(r)???r20??r100??EK …………（1）

du(r)2?10??3?11?0 …………（2） drr0r0 15

将离解能Ek?4eV和r0?3?10?10m?3A0代入（1）和（2）式可得：

??4.5?10?19eV·m2，??5.9?10?96eV·m10。

AB?9r0?2.8?10?10mrr7. 设某晶体每对原子的势能具的形式，平衡时，结合能为U?8?10?19J，试计算A和B以及晶体的有效弹性模量。

解：由题意有以下方程成立：

?AB???U??r09r0 ?du9AB?()r??10?2?00?r0r0?dr把r0，U的具体数值代入上述方程组，即得：

AB????8?10?19?109?10??(2.8?10)2.8?10 ?9AB????0?1010?102?(2.8?10)?(2.8?10)由此可得：A?1.0578?10?105J?m9，B?2.52?10?28J?m

该晶体的有效弹性模量为：

d2uK?V0(2)V0又∵ V?Nv?N?r3

dV（上式中N表示晶体中所含的原子个数，?表示与晶体结构有关的因子）

190A2B11d2u(11?3)＝?3.2797?1011 故 K?(2)r0＝

9?Nr0r0r09?N9?Nr0dr8.KCl晶体的体弹性模量为1.74×1010Pa，若要使晶体中相邻离子间距缩小0.5%，问需要施

加多大的力。

解：设KCl晶体内包含N个原胞，综合考虑到库仑吸引能和重叠排斥能，则系统的内能可以写成

?AB?U?N???n? ………………（1）

?rr?此外，由于KCl每个原胞体积为2r，则晶体的总体积为

V?2Nr ………………（2）

33 16

其中（1）和（2）式中的r都指KCl晶体中相邻K和Cl之间的距离。 根据体弹性模量的定义有：

＋－

?d2U??dP?? …………………（3） K???VV???2???dV?V0?dV?V03设平衡时晶体内相邻离子间的距离为r0，则平衡体积V0?2Nr0，那么平衡时的体弹性

?d2U?dU?V模量为K??。又根据KCl晶体内能表达式（1）式及平衡条件()V0?0，可?dV2?dV??V0得

AnBB1n?1??0或?r0。 r02r0n?1An将（1）和（2）式代入（3）式，并利用平衡条件可得

r03 K?2?d?d??AB???dr3?dr3???r?rn??

?????r?r0?r0?d1?d?AB?1d2?AB?????n? ???n??2?2?18?drr?r0dr?rr?r?r018r0dr?rr?r?r0 上式中的前一项由于平衡条件而等于0，后一项求微商后利用平衡条件化简得 K?118r0?2An(n?1)B?(n?1)A ??3???n?24r018r0?r0?18Kr04 由此知A?

n?1 当使晶体中相邻离子间距缩小0.5%时，即使相邻离子间距变为

r1?r0(1?0.5%)?0.95r0，此时需施加的外力为

F??dudr??r?r1AnBA1??(?1) r12r1n?10.952r020.95n?118Kr021 ?(?1) 2n?10.95(n?1)0.95?10 查书中表2.2及表2.5可知，n?9.0，r0?3.14?10m，代入上式可得

F?2.17?10N

3V?Nv?N?rN9.由个原子（离子）所组成的晶体的体积可写成。式中v为每个原子（离

?9子）平均所占据的体积；r为粒子间的最短距离；?为与结构有关的常数。试求下列各种结

17

构的?值：求：简单立方点阵；面心立方点阵；体心立方点阵；金刚石点阵； NaCl点阵；

解：（1）在简单立方点阵中，每个原子平均所占据的体积v?a?r，故??1；

33（2）在面心立方点阵中，每个原子平均所占据的体积v?a?(2r)?143143232r，故??； 22（3）在体心立方点阵，每个原子平均所占据的体积v?a3?(1243123433； r)?r，故??923983143833； r)?r，故??9839（4）在金刚石点阵中，每个原子平均所占据的体积v?a3?(（5）在NaCl点阵中，每个原子平均所占据的体积v?18131a?(2r)3?r3；故??1。 8810.对于由N个惰性气体原子组成的一维单原子链，设平均每2个原子势为：

????u(x)?u0?()12?2()6?。

x??x求：（1）原子间的平均距离x0； （2）每个原子的平均晶格能； （3）压缩系数k。

解：（1）在平衡时，有下式成立

du(x)

dx 由上式可得x0??

x?x0??12?122?6?6?（1） ?u0????0 ……………137xx00??（2）设该N个惰性气体原子组成的一维单原子链的总的相互作用势能为U(x)，那么有

N U(x)?2??12?6?u0?()?2()? ………………（2） ?xxj??1j?1j?设X为2个原子间的最短距离，则有x1i?ajX，那么（2）式可化为 U(X)?Nu02?6???12A()?B()? ………………（3） ?X??X其中（3）式中A?111?2?(1????)?2.00048， ?12121223jaj111?2?2?(1????)?4.07809。 66a623jB?2?j 18

那么每个原子的平均晶格能为 ???U(x0)u??0N2?12?6??2.00048()?4.07809()??u0 ?????（3）根据压缩系数的定义可知 k??1dV111????? ……（4） 2ddUVdPdU?dP?()V??V(2)Nx2dXNdXdV?dV?将（3）式代入（4）式得：

????1??? k????12670u??Nu?4.07809?6?7??002.00048?12?13?NX??????N22?X14X8??X???11.若NaCl晶体的马德隆常数Μ=1.75，晶格常数a=5.64A，幂指数n=9。晶体拉伸而达到稳定极限时，求：离子间距增加多少？负压强的理论值是多大？

解：（1）设该NaCl晶体的含有N个离子，则其相互作用势能为

0N?Mq2B?? U(r)? ………………（1） ??n??2?4??0rr??上式中的r指NaCl晶体中相邻两离子间的距离。

又设NaCl晶体处于平衡状态时，相邻两离子间的距离为r0，则有r0?由平衡条件可知

1a。 2dU(r)drr?r0N?2?Mq2nB???0 ……………（2） ?2n?1?4??rr0??r?r0Mq2n?1由（2）式可得：B?r0。

4??0n当晶体拉伸而达到稳定极限时，此时相邻离子间的引力达到最大值，即有

d2U(r)

dr2r?r1N?2?2Mq2n(n?1)B???0 ……（3） ???3n?2r?4??0r?r?r1Mq2n?1将B?r0代入（3）式可得

4??0n?n?1? r1???2??1n?1?9?1?r0???2??19?105.64??3.45A

2因而离子间距增加了?r?r1?r0?3.45?2.82?0.63A

0 19

（2）由（1）问可求出晶体拉伸稳定时负压强的理论值为

1?Mq21Mq2n?1?1?dU? ?n?1?r0?P???????2??2?4??0r1r14??0N?dr?r?r1?

1?1.75?(1.9?10?19)21.75?(1.9?10?19)2?(2.82?10?10)9?1???????12?102?12?109?1??2?4?3.14?8.854?10?(3.45?10)4?3.14?8.854?10?(3.45?10)???1.91?10?9Pa

N?e2?U(r)??(?n)24??0rr。

12.已知有N个离子组成的NaCl晶体，其结合能为：

?若排斥项r由cen?r?来代替，且当晶体处于平衡时，这两者对相互作用势能的贡献相同。试

求出n和?的关系。

dU(r)N?e2n?解：由平衡条件可知 ??(??)?0………（1） 2n?1drr024??0r0r0由（1）式可求得r0???4??0n???2?e??1n?1…………………（2）

又由题意有

?rn0?ce?r0? …………………（3）

将（2）式代入（3）式可得：

?4??0n????2r0??e???? ??ln??lnC?nlnr0n?4??0n??ln??lnC?ln??n?1??e2?13.假定在某个离子晶体中，某离子间的空间能够被一种介电常数为?的均匀流体渗满而不

至于影响离子间的排斥作用，但库仑相互作用减少为原来的1/?。计算这种情况下NaCl的点阵常数和结合能。

解：由题意可知，当NaCl晶体被介电常数为?的均匀流体渗满时，其相互作用势能为：

1n?1NMq2B U(r)??(（1） ?n) …………………

24??0?rrdU(r)NMq2nB由平衡条件可知有 ??(??)?0………（2）

drr024??0?r02r0n?1 20

由（2）式可求得NaCl晶体处于平衡状态时，相邻两个离子间的距离为

?4??0?nB?r0???Mq2????1n?1那么NaCl的点阵常数为：a?2r0?2???4??0?nB??2??Mq?1n?1

N结合能为Eb??U(r0)?21n?12???Mq2nn?Mq2n?1?1n?1n?1)?(nB)?()?(nB)??(? 4???4???00??An14.考察一条直线，其上载有?q交错的2N个离子，最近邻之间的排斥能为R。

（1）试证明在平衡时，

2Nq2ln21U(R0)??(1?)4??0R0n

（2）令晶体被压缩，使

R0?R0(1??)。试证明在晶体被压缩过程中，外力做功的主项对

12C?2(n?1)qln2每离子平均为2。其中， C?

4??0R0解：（1）线型离子晶体的结合能为

?q211U(R)??N?(?)?n?ajR??4??0Rj其中（1）式中的M?A?Mq2A'??N(?)……………（1） ??nn4??0RRjaj???(?aj1j)，即为线型离子晶体的马德隆常数，等于2ln2；

A'??jA anjMq2nA' ??N(??)?0 …………（2）2n?14??0R0R0当晶体处于平衡时，有平衡条件：

dU(R)

dR由（2）式可得

R0Mq2n?1 A'?（3） R0 ………………………

4??0n将（3）式代入（1），并将M?2ln2也代入（1）可得：

2Nq2ln21 U(R0)??(1?)

4??0R0n（2）使R0?R0(1??)，当?很小时，在R?R0附近把U(R)展开为泰勒级数为

21

dU(R) U[R0(1??)]?U(R0)?dR上式中根据平衡条件有

1d2U(R)R0??2dR2R?R0(R0?)2?? （4）

R?R0dU(R)dR?0，另有

R?R0d2U(R)

dR2R?R0d??Mq2nA'????n?1??N?2???dR?4??RR0?????R?R0Mq2?N(n?1) 34??0R0离子晶体被压缩?l?2NR0?，外力所作的功的主项（略去二级以上微量）得

1Mq2F??l?U[R0(1??)]?U(R0)?N(n?1)?(R0?)2 324??0R012Nq2ln212Nq2ln222??(n?1)??C'? 上式中，C'?(n?1) 24??0R024??0R0压缩量?l?2NR0?是属于2N个离子所共有的，即2N个长度为R0的线段的总压缩量为?l。因此，外力对一个离子所做的功W平均为

F??l1C'21C'q2ln22W????C? 上式中，C??(n?1)。

2N22N22N4??0R0 22

第三章 晶格振动与晶体的热学性质

1.什么是简谐近似？

解：当原子在平衡位置附近作微小振动时，原子间的相互作用可以视为与位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近做简谐振动。这个近似即称为简谐近似。

2.试定性给出一维单原子链中振动格波的相速度和群速度对波矢的关系曲线，并简要说明其意义。

??2解：由一维单原子链的色散关系的相速度为

?msinqa2 ，可求得一维单原子链中振动格波

qa2qa2 ………………（1）

vp? 而其群速度为

?q?a?msinvg? d??qa?acosdqm2 ………………（2）

由（1）式和（2）式可做出一维单原子链中振动格波的相速度和群速度对波矢的关系曲线如下图3.1所示： vA2-4B-3B-2B-BB2B3B4B1q 图3.1 A?a上图中?m，B??a。曲线1代表vp??q?a?msinqa2qa2，曲线2代表

vg?d??qa?acosdqm2。

由（1）式及结合上图3.1中可以看出，由于原子的不连续性，相速度不再是常数。但

23

当q?0时，

vp?a?m为一常数。这是因为当波长很长时，一个波长范围含有若干个原

子，相邻原子的位相差很小，原子的不连续效应很小，格波接近与连续媒质中的弹性波。

由（2）式及结合上图3.1中可以看出，格波的群速度也不等于相速度。但当q?0，

vg?vp?a2a?m，体现出弹性波的特征，当q处于第一布区边界上，即

q??a时，vg?0，

而

vp??m，这表明波矢位于第一布里渊区边界上的格波不能在晶体中传播，实际上

?它是一种驻波。

3.周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果？如果晶体是无限大，

q的取值将会怎样？

解：由于实际晶体的大小总是有限的，总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。考虑到边界对内部原子振动状态的影响，波恩和卡门引入了周期性边界条件。其具体含义是设想在一长为

Na的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运

动情况一样，即第j个原子和第tN?j个原子的运动情况一样，其中t＝1，2，3…。

引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢q只能取一些分立的不同值。 如果晶体是无限大，波矢q的取值将趋于连续。

4.什么叫声子？对于一给定的晶体，它是否拥有一定种类和一定数目的声子？

解：声子就是晶格振动中的简谐振子的能量量子，它是一种玻色子，服从玻色－爱因斯坦统计，即具有能量为

?wj(q)的声子平均数为

nj(q)?1e?wj(q)/(kBT)?1

对于一给定的晶体，它所对应的声子种类和数目不是固定不变的，而是在一定的条件下发生变化。

5.试比较格波的量子声子与黑体辐射的量子光子；“声子气体”与真实理想气体有何相同之处和不同之处？

解：格波的量子声子与黑体辐射的量子光子都是能量量子，都具有一定的能量和动量，但是声子在与其它粒子相互作用时，总能量守恒，但总动量却不一定守恒；而光子与其它粒子相互作用时，总能量和总动量却都是守恒的。“声子气体”与真实理想气体的相同之处是粒子之间都无相互作用，而不同之处是“声子气体”的粒子数目不守恒，但真实理想气体的粒子数目却是守恒的。

6.晶格比热容的爱因斯坦模型和德拜模型采用了什么简化假设？各取得了什么成就？各有

24

什么局限性？为什么德拜模型在极低温度下能给出精确结果？

解：我们知道晶体比热容的一般公式为

m?E??2e??/(kBT)?(?)d?cV?()V??kB()?TkBT(e??/(kBT)?1)20?

由上式可以看出，在用量子理论求晶体比热容时，问题的关键在于如何求角频率的分布函数?(?)。但是对于具体的晶体来讲，?(?)的计算非常复杂。为此，在爱因斯坦模型中，假设晶体中所有的原子都以相同的频率振动，而在德拜模型中，则以连续介质的弹性波来代表格波以求出?(?)的表达式。

爱因斯坦模型取得的最大成就在于给出了当温度趋近于零时，比热容

cV亦趋近于零的

结果，这是经典理论所不能得到的结果。其局限性在于模型给出的是比热容

3

cV以指数形式

趋近于零，快于实验给出的以T趋近于零的结果。德拜模型取得的最大成就在于它给出了在极低温度下，比热和温度T成比例，与实验结果相吻合。其局限性在于模型给出的德拜温度?D应视为恒定值，适用于全部温度区间，但实际上在不同温度下，德拜温度?D是不同的。

在极低温度下，并不是所有的格波都能被激发，而只有长声学波被激发，对比热容产生影响。而对于长声学波，晶格可以视为连续介质，长声学波具有弹性波的性质，因而德拜的模型的假设基本符合事实，所以能得出精确结果。

7.声子碰撞时的准动量守恒为什么不同于普通粒子碰撞时的动量守恒？U过程物理图像是什么？它违背了普遍的动量守恒定律吗？

解：声子碰撞时，其前后的总动量不一定守恒，而是满足以下的关系式

3

?q1??q2??q3??Gn其中上式中的量。

对于

q2q1Gn

表示一倒格子矢

Gn?0的情况，即有

q1+q2?q1??q2??q3，在碰撞过程中声子的

q1+q2+Gn动量没有发生变化，这种情况称为正规过程，或N过程，N过程只是改变了动量的分布，而不影响热流的方向，它对热阻是没有贡献的。对于述：

Gn?0的情况，称为翻转过程或U过程，其物理图像可由下图3.2来描

25

图3.2 U过程物理示意图

q在上图3.2中，q1?q2是向“右”的，碰撞后3是向“左”的，从而破坏了热流的方

向，所以U过程对热阻是有贡献的。U过程没有违背普遍的动量守恒定律，因为声子不是实物量子，所以其满足的是准动量守恒关系。

8.简要说明简谐近似下晶体不会发生热膨胀的物理原因；势能的非简谐项起了哪些作用？

解：由于在简谐近似下，原子间相互作用能在平衡位置附近是对称的，随着温度升高，原子的总能量增高，但原子间的距离的平均值不会增大，因此，简谐近似不能解释热膨胀现象。

势能的非简谐项在晶体的热传导和热膨胀中起了至关重要的作用。 9.已知由N个相同原子组成的一维单原子晶格格波的态密度可表示为

?(?)?式中

2N?(???)2m2?12。

?m是格波的最高频率。求证它的振动模总数恰好等于N。

?12解：由题意可知该晶格的振动模总数为

?m?mN???(?)d??0?02N(???)2m2??2Nd?

?arcsin??m?m?02N?(?0)?N?2

2???0?cq2??cq10.若格波的色散关系为和，试导出它们的状态密度表达式。

解：根据状态密度的定义式可知

?(?)?lim?n???0?? ……………………（1）

其中?n表示在??????间隔内晶格振动模式的数目。

如果在q空间中，根据?(q)?const作出等频率面，那么在等频率面?和????之

3V/(2?)q?n间的振动模式的数目就是。由于晶格振动模在空间分布是均匀的，密度为（V为晶体体积），因此有

?n?

V?（频率为?和?＋??的等频率面间的体积）3(2?)

V?(2?)3????dSdq?? ……………………（2）

将（2）式代入（1）式可得到状态密度的一般表达式为

26

?(?)? （3）式中

V(2?)3?dS?q?(q) ……………………（3）

?q?(q)表示沿法线方向频率的改变率。

2??cq当时，将之代入（3）式可得

?(?)? 当

V1V1V11/22?dS??4?q???3323/2?(2?)?q?(q)(2?)2cq(2?)c，将之代入（3）式可得

???0?cq2?(?)?

V1V1V12?dS??4?q??(?0??)1/23323/2?(2?)?q?(q)(2?)2cq(2?)c

11.试求质量为m，原子间距为a/2，力常数交错为?1，?2的一维原子链振动的色散关系。

当?2?10?1时，求在q?0和

q??a处的?(q)，并粗略画出色散关系。

解：下图3.3给出了该一维原子链的示意图

m ?2 β1 ?2 β1 ?2

a 2 x2n-2 x2n+1 x2n x2n+1 x2n+2 x2n+3

图3.3

在最近邻近似和简谐近似下，第2n和第（2n+1）个原子的运动方程为

?d2x2nm??2(x2n?1?x2n)??1(x2n?x2n?1)??dt2?2d?mx2n?1??(x12n?2?x2n?1)??2(x2n?1?x2n)2?dt? ……………（1）

当?2?10?1时，上述方程组（1）可变为

?d2x2nm?10?1(x2n?1?x2n)??1(x2n?x2n?1)??dt2?2d?mx2n?1??(x12n?2?x2n?1)?10?1(x2n?1?x2n)2?dt ? ……………（2）

为求格波解，令

27

qai[(2n)??t]?2?x2n?Ae?qai[(2n?1)??t]2?x?2n?1?Be ……………（3）

将（3）式代入（2）式，可导出线性方程组为

?1?11?12iqa/2?iqa/2(??)A?(10e?e)B?0?mm??11?1??1(eiqa/2?10e?iqa/2)A?(??2)B?0m ?m ……………（4）

?1令m2??0，从A，B有非零解的系数行列式等于零的条件可得

24(11?0??2)2??0(10eiqa/2?e?iqa/2)(eiqa/2?10e?iqa/2)?0 ……（5）

22???(11?20cosqa?101) 0由（5）式可解出

??当q?0时，cosqa?1，?q?当22?0，???0

?a时，cosqa??1，???20?0，???2?0 ω 其色散关系曲线如下图3.4所示： 22?0 ?? 20?0 2?0 ?? ππOaa图3.4 原子间的力常数不相等的双原子链的晶格振动色散关系曲线 q 12.如有一维布喇菲格子，第2n个原子与第2n?1个原子之间的力常数为?；而第2n个原子与第2n?1个原子的力常数为?'。

28

（1） 写出这个格子振动的动力学方程； （2） 说明这种情况也有声学波和光学波； （3） 求q?0时，声学波和光学波的频率；

q??（4） 求

?2a（a为晶格常数）时，声学波和光学波的频率。

解：（1）此题与（11）题基本相似，在最近邻近似和简谐近似下，同样可以写出第2n和第2n?1个原子的动力学方程为

?d2x2nm??(x2n?1?x2n)??'(x2n?x2n?1)??dt2?2d?mx2n?1??'(x2n?2?x2n?1)??(x2n?1?x2n)2?dt? ……………（1）

（2）为求出方程组（1）的格波解，可令

?x2n?Aei[(2n)qa??t]?x2n?1?Bei[(2n?1)qa??t]? ……………（2）

于是将（2）式代入（1）式，可导出线性方程组为

?iqa?'?iqa????'2(??)A?(e?e)B?0?mmm??'????'??(eiqa?e?iqa)A?(??2)B?0mm ?m ……………（3）

???'令得

242(?0??2)2?(?14??2?2?12?2cos2qa)?0m2??0?，m??12?'，m2??2从A、B有非零解的系数行列式等于零的条件可

……………（4）

由（4）式可解出

224422????????2??2cos2qa ……………0121 （5）

由此可知，?的取值也有??和??之分，即存在声学波和光学波 （3）由（5）式可知

当q?0时，cos2qa?1，有 声学波频率

22????0?(?12??2)，光学波频率

2????02?(?12??2)

（4）同样由（5）式可知

29

q??当

?2a时，cos2qa??1，有

2????02??12??2声学波频率，光学波频率

2????02??12??2

13.在一维双原子链中，如M/m??1，

（1）求证：

?1?2?sinqa?2?M； 2?m(1?cos2qa)2mM。

1（2）画出?与q的关系图（设M/m?10）。

解：（1）在一维双原子链中，其第2n个原子与第2n?1个原子的运动方程为

?d2x2nm??(x2n?1?x2n?1?2x2n)??dt2?2d?Mx2n?1??(x?x2n2n?2?2x2n?1)2?dt? …………………（1）

?x2n?Aei[(2n)qa??t]?x2n?1?Bei[(2n?1)qa??t]?为解方程组（1）可令 ………………（2） 2??2?2(??)A?(cosqa)B?0?mm?2?2???(cosqa)A?(??2)B?0M将（2）式代入（1）式可得出?M………（3）

从A、B有非零解，方程组（3）的系数行列式等于零的条件出发，可得

?4?2(

?M??m)?2?4???Mm?sin2qa?0

?2?(可解出得

?M??m)?(?M?m)2?4??Mm?sin2qa ……………（4）

当（4）式中取“－”号时，有

?12?

?(M?m)?mM1?4Mm22sinqa)??1?(1?2(M?m)?? ……………（5）

∵M/m??1，∴（5）式中有

?(M?m)Mm4Mm4Mm4m222sinqa?sinqa?sinqa??1??22MMMmm，(M?m)

?M?那么（5）式可简化为

30

1???4m214m2?2????1?(1?sinqa)2???1?(1??sinqa)??sin2qam?M2M?M?m?21??

∴

?1?2?sinqaM

当（4）式中取“＋”号时，有

2?2??(M?m)Mm??(M?m)?Mm

?4Mm21?cosqa??2(M?m)?? ……………

12（6）∵M/m??1，∴（6）式中有

?(M?m)Mm??MMm??m，

?(M?m)Mm??MMm??m

4Mm4Mm4m222cosqa?cosqa?cosqa??122M(M?m)M

那么（6）式可简化为

4m??14m2?m222???(1?cosqa)2??(1??cosqa)?(1?cosqa)mmMmm2MmM

22??1 ∴

?2?2?m(1?cos2qa)2mM

2111?121?22?22????sinqa2210m100m5m （2）当M/m?10时，则（4）式可化为

此时，?与q的关系图，即色散关系图如下图3.5所示：

图3.5 一维双原子链振动的色散关系曲线

?24m?5?1.67?10g，M/m?4，??1.5N/m。求： 14.在一维复式格子中，如果

31

(1) 光学波频率的最大值、最小值及声学波频率的最大值； (2) 相应的声子能量是多少eV?

(3) 这3种声子在300K时各有多少个？

(4) 如果用电磁波激发光频振动，要激发最大光学频率的声子所用的电磁波长在什么波段？

解：(1)由于光学波频率的最大值和最小值的计算公式分别为：

?2??max??

mMm5?1.67?10?24?????6.68?10?24上式中m?Mm/M?11/4?1g为约化质量

?2??min?m

所以有：

?2?1.5?max?6.68?10?24?10?3?2.12?1013Hz ?2?1.5?min?5?1.67?10?24?10?3?1.90?1013Hz

而声学波频率的最大值的计算公式为：

??max?2??2?MMm?m

所以有：

?2?1.5?max?4?5?1.67?10?24?10?3?9.50?1012Hz

(2)相应的声子能量为：

??6.625?10?34?max????max?3.14?2.12?1013?2.236?10?21J?1.40?10?22eV ??min????min?6.625?10?3414?1.90?1013?2.004?10?21J?1.25?10?22?3.eV ??max????max?6.625?10?342?3.14?9.50?1012?1.002?10?21J?0.625?10?2eV(3)由于声子属于玻色子，服从玻色—爱因斯坦统计，则有

n11?max?e???max/(kBT)?1?e2.236?10?21/(1.38?10?23?300)?1?1.40?1

32

n?min?1e???min/(kBT)?1?1e2.004?10?21/(1.38?10?23?300)?1?1.61?2

n?max?1e???max/(kBT)?1?1e1.002?10?21/(1.38?10?23?300)?1?3.65?4

(4)如用电磁波来激发光频振动，则要激发最大光学频率的声子所用的电磁波长应满足如下关系式：

??2?c??max2?3.14?2.998?108?5??8.88?10m132.12?10

q???2a处，声学支格波中所有

15.在一维双原子晶格振动的情况下，证明在布里渊区边界

轻原子m静止，而光学支格波中所有重原子M静止。画出这时原子振动的图像。

解：设第2n个原子为轻原子，其质量为m，第2n?1个原子为重原子，其质量为M，则它们的运动方程为

?d2x2nm??(x2n?1?x2n?1?2x2n)??dt2?2d?Mx2n?1??(x?x2n2n?2?2x2n?1)2?dt ? …………………（1）

为解方程组（1）可令

?x2n?Aei[(2n)qa??t]?x2n?1?Bei[(2n?1)qa??t]? …………………（2）

将（2）式代入（1）式可得出

2??2?2(??)A?(cosqa)B?0?mm?2?2???(cosqa)A?(??2)B?0M ?M …………………（3）

从A、B有非零解，方程组（3）的系数行列式等于零的条件出发，可得

?4?2(

可解出得

2???(?M??m)?2?4??Mm?sin2qa?0

?M??m)?(?M??m)2?4??Mm?sin2qa ……………（4）

q??令

?2a，则可求得声学支格波频率为

???2????M，光学支格波频率为2?m

33

由方程组（3）可知，在声学支中，轻原子m与重原子M的振幅之比为

A2?cosqa/m??0B2?/m?2?/M

由此可知，声学支格波中所有轻原子m静止。

而在光学支中，重原子M与轻原子m的振幅之比为

B2?cosqa/M??0A2?/M?2?/m 由此可知，光学支格波中所有重原子M静止。 此时原子振动的图像如下图3.6所示： (a)轻原子重原子(b) 图3.6 （a）声学支格波原子振动图；（b）光学支格波原子振动图 16.从一维双原子晶格色散关系出发，当m逐渐接近M和m?M时，在第一布里渊区中，晶格振动的色散关系如何变化？试与一维单原子链的色散关系比较，并对结果进行讨论。 解：一维双原子晶格的色散关系为 2???(?M??m)?(?M??m)2?4??Mmω?sin2qa 由此可做出如下图3.7的一维双原子链振动的色散关系曲线图 ?? ?? ?a ???2aO ?2a?aq 34 图3.7一维双原子链振动的色散关系曲线

由上图可以看出，当m逐渐接近M时，在第一布里渊区边界，即

q???2a处，声学

波的频率开始增大，而光学波的频率则开始减小，而当m?M时，则声学波的频率和光学

q??波的频率在

2?2a处相等，都等于M。

??2?而在一维单原子链中，其色散关系为

4?qasin2M2，由此可见，在一维单原子链

中只存在一支格波，其色散关系曲线与一维双原子链中的声学波的色散关系曲线基本相似，

q??在其布里渊区边界，即边界的频率值的2倍。

?a处，其格波频率为

??2?M，是双原子链的格波在布里渊

17.设晶体由N个原子组成，试用德拜模型证明格波的状态密度为

式中

?(?)?9N?3m?2。

?m为格波的截止频率。

解：在德拜模型中，假设晶体的振动格波是连续介质的弹性波，即有色散关系

??vpq ……………………（1）

那么格波的状态密度为

?(?)?V1??4?q23V?2(2?)d???322?vpdq ………（2）

?m又根据 将（2）式代入（3）式得

??(?)d??3N0 ……………………（3）

?m

V?2?3d??3N2?2?vp03p ……………………（4）

3V?mv?18?2N ……………………（5）由（4）式可得

?(?)?把（5）式代入（2）式即可得

9N3?m?2

35

1??18.设晶体中每个振子的零点振动能是2，试用德拜模型求一维、二维和三维晶体的总零

点振动能。设原子总数为N，一维晶格长度为L，二维晶格的面积为S，三维晶格的体积为V。

解：(1)一维晶体的总零点振动能为：

N1E0??(n(qj)?)??(qj)??n(qj)???(qj)2qjqjN

??(j?1N1e??j/(kBT)N??j1?)??j????j/(kBT)?12?1 j?1e 设?(?)d?表示角频率在????d?之间的格波数，而且

?

?m0?(?)d??N ………………………………………(1)

上式中：

?m是最大的角频率；N为晶体中的原子数。则上述的总零点能可以写成：

1?m1???)???(?)d????(?)d?0e??/(kBT)?1?12

E0??(0?me??/((kBT)???m01???(?)d?2 ………………………………………(2) dZdZdq??d?dqd? ………………………………………(3)

考虑到一维晶体中，其状态密度为：

?(?)?由于德拜模型考虑的是长声学波的影响，而长声学波可以看成连续媒质弹性波。对于弹性波，一个波矢对应一个状态，则有：

Z?2q/?q?

2qqL?2?/Lx?

dZL?故 dq? ………………………………………(4) d??vP??vqdqP，则 对于弹性波，……………(5)

?(?)?将(4)和(5)式代入(2)式，得：

L?vP………(6)

36

将(6)式代入(1)式，可得：

?m??NvPL

将(6)式代入(2)式，可得一维晶体的总零点振动能：

E0???NvPL0N2??vP1L??d??2?vP4L

(2)对于二维晶体来说，计算其总零点振动能基本方法与一维晶体的方法相似，只是对

于(1)式要改为：

??m0?(?)d??2N ………………………………………(7)

?(?)?而对于二维晶体，其状态密度函数为：

12S?2?vP……………(8)

将(8)式代入(7)式可得：

?m????4?Nv?S2P????

32将(8)式代入(2)式可得二维晶体的总零点振动能为：

1E0??2?4?NvP??S?0?2????SvP1S???d??222?vP6??4?N????S?

(3) 对于三维晶体来说，计算其总零点振动能基本方法与一维晶体的方法也基本相似，只是对于(1)式要改为：

??m0?(?)d??3N ………………………………………(9)

3V?2?(?)?232?vP………(10) 而对于三维晶体，其状态密度函数为：

?6N?v????V?

4323P13将(10)式代入(9)式可得：

?m???将(10)式代入(2)式可得三维晶体的总零点振动能为：

1

19.应用德拜模型，计算一维、二维情况下晶格振动的状态密度、德拜温度、晶格比热容。

解：在德拜模型中，假设晶体的振动格波是连续介质的弹性波，即有色散关系

E0??3?6N?2vP??V?0?3???3?VvP1V????23d??22?vP16?22?6N???V?2????

??vpq ……………………（1）

?(?)? （1）在一维情况下，晶格振动的状态密度为

L1L??2?2?d??vpdq（2）

37

上式中，L表示一维晶格的总长度。

?m又由关系式

?m??(?)d??N0 ……………………（3）

将式（3）代入式（2）可得

Ld??N??vp0，由此求得

?m??NvpL

??m??Nvp?D??kkBL B于是德拜温度

晶体的比热容为

cV???m0??2e??/(kBT)LkB()?d???/(kBT)2kBT(e?1)?vp??m/(kBT)

2kBTL???vp?0x2exdx(ex?1)2x? （其中

??kBT）

（2）在二维情况下，晶体振动的格波有2支，即一支纵波和一支横波，在德拜模型中，假设纵波和横波的波速相等，都等于

vp，即纵波和横波都有如下的色散关系

??vpq

?1(?)?先考率纵波，其状态密度为

S(2?)2?1S??2?q?d?2?v2pdq

?2(?)?类似地可以写出横波的状态密度为

S?2?v2p

?(?)??1(?)??2(?)?加起来总的状态密度为

?mS??v2p …………………（4）

又由关系式

?m??(?)d??2N0 ……………………（5）

将（4）式代入（5）式得

S?d??2N2?0?vp，由此可得

2P?m????4?Nv?S2P????

12?D?于是得德拜温度为

??m??4?Nv??kBkB??S????

12 38

而晶体的比热容为

cV???m0??2e??/(kBT)S?kB()?d?kBT(e??/(kBT)?1)2?v2p??m/(kBT)

32kBTS???2v2p?0x3exdxx2(e?1)x? （其中

??kBT）

20.已知金刚石的弹性模量为1×1012N/m2，密度为3.5g/cm3。试计算金刚石的德拜温度?D。

解：假设金刚石的原子振动的格波为一连续介质的弹性波，其波速为

vp?

K1?10124??1.69?10?3.5?103m/s

n?而又金刚石的原子密度为

?N0MC3.5?1032329??6.02?10?1.756?1012?10?3 个/m3

由此可知金刚石的德拜温度为

?344??m?vp21/31.055?10?1.69?102921/3?D??(6n?)??(6?1.756?10?3.14)?23kBkB1.381?10

?2817K

21.具有简单立方布喇菲格子的晶体，原子间距为2×10-10m，由于非线性相互作用，一个

10q?1.3?10沿[100]方向传播，波矢大小为m-1的声子同另一个波矢大小相等当沿[110]方

向传播的声子相互作用，合成为第3个声子，试求合成后的声子波矢。

解：易知简单立方格子的倒格子仍是一简单立方格子，其倒格基矢b1、b2和

b3互相

2?2?3.14??3.14?1010?102?10垂直，长度为am-1，第一布里渊区就是原点和六个近邻格点连

线的垂直平分面围成的立方体。

又因为

q1?q2?1.3?1010i?(1.3?22?1010i?1.3??1010j)22

1010?2.22?10i?0.92?10j

由此可知q1?q2落在第一布里渊区之外，即可知题所述两声子的碰撞过程是一个翻转过程或U过程，此时两声子的碰撞产生第三声子满足准动量守恒，即有

为使

?q1??q2??q3??Gn （其中

Gn

表示一倒格矢） ，则有

39

q3落在第一布里渊区里，取

Gn?3.14?1010i

q3?q1?q2?Gn?2.22?1010i?0.92?1010j?3.14?1010i1010

??0.92?10i?0.92?10j 其大小为

q3??0.92?1010i?0.92?1010j?1.3?1010m-1

u(r)??22.设某离子晶体离子间的相互作用势能为

e24??0r?Br2。式中B为待定常数；r为

近邻原子间距。求该晶体的线膨胀系数。已知近邻原子的平均距离为3×10-10m。

解：由平衡条件

du(r)dr?0r0，可得

e2r02B?3?0B?28??0 4??0r0r0 由此可得e2于是可求得

1d2u(r)e21d3u(r)e2C?()r0?g??()r0?2332!dr3!dr8??0r0， 4??0r04

那么线膨胀系数为

??

1d?3gkB12??0kBr0??2r0dT4Cr0e2

12?3.14?8.854?10?12?1.381?10?23?3?10?10??192(1.6?10)

?5.4?10K-1

?5 40

第四章 金属自由电子理论

1.金属自由电子论作了哪些假设？得到了哪些结果？

解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米－狄拉克统计。根据这个理论，不仅导出了魏德曼－佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。

2.金属自由电子论在k空间的等能面和费米面是何形状？费米能量与哪些因素有关？ 解：金属自由电子论在k空间的等能面和费米面都是球形。费米能量与电子密度和温度有关。

3.在低温度下电子比热容比经典理论给出的结果小得多，为什么？

解：因为在低温时，大多数电子的能量远低于费米能，由于受泡利原理的限制基本上不能参与热激发，而只有在费米面附近的电子才能被激发从而对比热容有贡献。 4.驰豫时间的物理意义是什么？它与哪些因素有关？

解：驰豫时间的物理意义是指电子在两次碰撞之间的平均自由时间，它的引入是用来描写晶格对电子漂移运动的阻碍能力的。驰豫时间的大小与温度、电子质量、电子浓度、电子所带电量及金属的电导率有关。

5.当2块金属接触时，为什么会产生接触电势差？

解：由于2块金属中的电子气系统的费米能级高低不同而使热电子发射的逸出功不同，所以这2块金属接触时，会产生接触电势差。

6.已知一维金属晶体共含有N个电子，晶体的长度为L，设T?0K。试求： （1）电子的状态密度； （2）电子的费米能级； （3）晶体电子的平均能量。

解：(1)该一维金属晶体的电子状态密度为：

dZdZdk …………………………（1） ??dEdkdE 考虑在k空间中，在半径为k和k?dk的两线段之间所含的状态数为：

2dkL（2） dZ??dk …………………………

?k??(E)??2k2 又由于 E?

2mdE?2k? 所以 …………………………（3） dkm 将（2）和（3）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子，得该

一维金属晶体中自由电子的状态密度为：

41

?(E)?2L??m …………………………（4） 2E （2）由于电子是费米子，服从费米—狄拉克统计，即在平衡时，能量为E的能级被电子占据的几率为：

f(E)?1eE?EFKBT …………………………（5）

?1 于是，系统中的电子总数可表示为：

? N?0 ?f(E)?(E)dE …………………………（6）

00 由于T?0K，所以当E?EF，有f(E)?0，而当E?EF，有f(E)?1，故（6）式可简化为：

0EF N???(E)dE

002Lm4LmEFdE＝＝?

??2E??200EFN2?2?2由此可得： E? …………………………（7）

8mL20F（3）在T?0K时，晶体电子的平均能量为： E0?11Ef(E)?(E)dE＝

NN?03?0EF?E?02LmdE

??2E2LN2?2?210022m(EF)＝?EF ＝

3N??324mL27.限制在边长为L的正方形中的N个自由电子，电子的能量为

?222E(kx,ky)?(kx?ky)。

2m试求：

（1）能量E～E?dE之间的状态数； （2）此二维系统在绝对零度的费米能量； （3）电子的平均能量。

解：（1）K空间中，在半径为k和k?dk的两圆面之间所含的状态数为

L2L22?kdk?kdk ………………………… dZ?（1）

2?4?2 42

这也就是能量在E～E?dE之间的状态数，由电子的能量表达式可得 kdk?2mE2m1m（2） ?dE?dE ………………

?2?22E?2将（2）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子，这样可得能量

mL2mL2dE?dE 在E～E?dE之间的状态数为dZ?2?222????（2）由（1）问可知，该系统的自由电子的状态密度为

dZmL2? ?(E)? dE??2在绝对零度下，由下式

0EF0EFmL2mL20dE??EF N???(E)dE?? 22????00由此可得此二维系统在绝对零度的费米能量为

N??2 E? 2mL0F（3）电子的平均能量为

1 E0?N0EF1E?(E)dE??N00EFmL2EdE 2???01mL21N??22N??210()??EF ?222N??2mL22mL8.金属锂是体心立方晶格，晶格常数为a?3.5?100EF能量（以eV表示）

?10m。试计算绝对零度时电子气的费米

解：由题意可求得金属锂的电子浓度为 n?22283

??4.66?10 /m 3?103a(3.5?10)故绝对零度时金属锂的电子气的费米能量为

?20(3n?2)3 EF?2m(1.055?10?34)22823?(3?4.66?10?3.14) ??312?9.11?10 ?7.57?10?1922J?4.72eV

43

9.在低温下金属钾的比摩尔热容的实验结果可写成

23cv?(2.08T?2.57T3) mJ/(mol?K)

若1mol的钾有N?6?10个电子，试求钾的费米温度TF和德拜温度?D。 解：根据金属自由电子气模型，低温下金属的总比摩尔热容为： cv?cVe?cVc??T?bT3

212?4N0kBN0?2kB 上式中，??，b?，所以有： 035?D2EF2N0?2kB12?4N0kB?3?3 ?2.08?10?2.57?10032EF5?D 故：

2N0?2kB6?1023?3.142?(1.38?10?23)2??2.708?10?19J E??3?32?2.08?104.16?100F 又由 kBTF?EF 得

002.708?10?194T??1.962?10K ?231.38?100F423?2312?3.14?6?10?1.38?10 而 ?D?3?90.9K ?35?2.57?1010.试比较1mol金属钠在30K和0.3K时的德拜比热容，并与电子比热容比较。已知钠的德

0E?3.23eV。 ??150FD拜温度K，钠的费米能级

解：在30K时，1mol金属钠的德拜比热容为

12?4T cVc?NkB()3

5?D12?3.142303?6.02?1023?1.38?10?23?() ?5150 ?1.57J/K

而其电子比热容为

cVe??22NkB(kBT) 0EF3.1421.38?10?23?3023?23?6.02?10?1.38?10?() ?23.23?1.6?10?19 ?0.0328 J/K

44

所以德拜比热容与电子比热容之比为

cVccVe?1.57?47.9

0.0328在0.3K时1mol金属钠的德拜比热容为

12?4T cVc?NkB()3

5?D12?3.1420.33?6.02?1023?1.38?10?23?() ?5150 ?1.57?10J/K 而其电子比热容为

cVe??6?22NkB(kBT) 0EF3.1421.38?10?23?0.323?23?6.02?10?1.38?10?() ??1923.23?1.6?10 ?3.28?10J/K 所以德拜比热容与电子比热容之比为

?4cVccVe1.57?10?6??4.79?10?3 ?43.28?1011.有一钨丝，长0.05m，横截面积的直径为1×10-4m。试求2000K时钨丝的热电子发射电流。已知钨的电子逸出功为4.5eV。

解：由里查孙－杜师曼定律可知钨丝的热电子发射电流密度为

j?ATe2?W/(kBT)

2?4.5?1.6?10?19/(1.38?10?23?2000) ?75?10?2000e故热电子发射电流为

4?14.05A/m2

?1?10?4 I?jS?14.05?3.14???2???7???1.103?10A ?212.室温下利用光电效应已测得银及铯的光电效应阀值分别为4.8eV和1.8eV。求： （1）采用里查孙－杜师曼公式分别估算银及铯在室温下的热电子发射电流密度； （2）若温度上升至800K时，其热电子发射电流密度为多少？

（3）若把银与铯两种金属接触在一起，求出室温下它们的接触电势差。

解：（1）在室温下银的热电子发射电流密度为

j?AAgTe2?WAg/(kBT)

45

?1.2?10?298e ?8.36?10?7162?4.8?1.6?10?19/(1.38?10?23?298)

A/m2

在室温下铯的热电子发射电流密度为

2 j?ACsTe?WCs/(kBT)

?1962?1.8?1.6?10 ?1.6?10?298e/(1.38?10?23?298)

?5.47?10?20 A/m2

（2）在800K时银的热电子发射电流密度为

j?AAgT2e?WAg/(kBT)

?1962?4.8?1.6?10 ?1.2?10?800e/(1.38?10?23?800)

?4.72?10?19 A/m2

在室温下铯的热电子发射电流密度为

2 j?ACsTe?WCs/(kBT)

?1.8?1.6?10?19/(1.38?10?23?800) ?1.6?10?800e62

?4.80 A/m2

（3）若把银与铯两种金属接触在一起，它们的接触电势差为

VD?1(WAg?WCs)?3V em(dvv?)??e?dt?，证明在频率?下的电导率为：

13.利用电子漂移速度v的方程

?(?)??(0)[1?i??]1?(??)2 其中?(0)?ne2?/m0。

?i?t解：设电场为???0e，则有

m(dvv?)??e?0e?i?t dt?或

e?dvv???0e?i?t dt?m齐次方程

dvv??0的通解为 dt??t v?ce?

46

设非齐次方程的特解为v?Ae?i?t，则有

?i?t ?i?Ae?1?Ae?i?t??e?0?i?te m从上式可求出特解的待定系数A为 A??故非齐次方程的通解为 v?ce?te?0?? m(1?i??)?e?0?e?i?t ?m(1?i??)上式中的第一项随时间的增大迅速衰减，表示电子在电场作用下的驰豫过程，对电流没有贡献，对电流有贡献是第二项，如果在电场的作用下，单位体积内含有n个电荷为?e的

ne2??0e?i?t??(?)? 电子，则其电流密度j(?)?n(?e)v?m(1?i??)?1?i???ne2?1故 ?(?)? ??(0)?2?m(1?i??)1?(??)??ne2?其中 ?(0)?

m 47

第五章 固体的能带理论

1.布洛赫电子论作了哪些基本近似？它与金属自由电子论相比有哪些改进？

解：布洛赫电子论作了3条基本假设，即①绝热近似，认为离子实固定在其瞬时位置上，可把电子的运动与离子实的运动分开来处理；②单电子近似，认为一个电子在离子实和其它电子所形成的势场中运动；③周期场近似，假设所有电子及离子实产生的场都具有晶格周期性。布洛赫电子论相比于金属自由电子论，考虑了电子和离子实之间的相互作用，也考虑了电子与电子的相互作用。

2.周期场对能带形成是必要条件吗？

解：周期场对能带的形成是必要条件，这是由于在周期场中运动的电子的波函数是一个周期性调幅的平面波，即是一个布洛赫波。由此使能量本征值也称为波矢的周期函数，从而形成了一系列的能带。

3.一个能带有N个准连续能级的物理原因是什么？

解：这是由于晶体中含有的总原胞数N通常都是很大的，所以k的取值是十分密集的，相应的能级也同样十分密集，因而便形成了准连续的能级。 4.禁带形成的原因如何？您能否用一物理图像来描述？

解：对于在倒格矢Kh中垂面及其附近的波矢k，即布里渊区界面附近的波矢k，由于采用简并微扰计算，致使能级间产生排斥作用，从而使E(k)函数在布里渊区界面处“断开”，即发生突变，从而产生了禁带。

可以用下面的图5.1来描述禁带形成的原因： E(k)Δ<0Δ>0DBAC 图 5.1 在布里渊区界面附近禁带形成的物理示意 图

5.近自由电子模型与紧束缚模型各有何特点？它们有相同之处？

解：所谓近自由电子模型就是认为电子接近于自由电子状态的情况，而紧束缚模型则认为电子在一个原子附近时，将主要受到该原子场的作用，把其它原子场的作用看成微扰作用。这两种模型的相同之处是：选取一个适当的具有正交性和完备性的布洛赫波形式的函数

Ok 48

集，然后将电子的波函数在所选取的函数集中展开，其展开式中有一组特定的展开系数，将展开后的电子的波函数代入薛定谔方程，利用函数集中各基函数间的正交性，可以得到一组各展开系数满足的久期方程。这个久期方程组是一组齐次方程组，由齐次方程组有解条件可求出电子能量的本征值，由此便揭示出了系统中电子的能带结构。 6.布洛赫电子的费米面与哪些因素有关？确定费米面有何重要性？

解：布洛赫电子的费米面与晶体的种类及其电子数目有关。由于晶体的很多物理过程主要是由费米面附近的电子行为决定的，如导电、导热等，所以确定费米面对研究晶体的物理性质及预测晶体的物理行为都有很重要的作用。

7.试述晶体中的电子作准经典运动的条件和准经典运动的基本公式。

解：在实际问题中，只有当波包的尺寸远大于原胞的尺寸，才能把晶体中的电子看做准经典粒子。

准经典运动的基本公式有：

晶体电子的准动量为 p??k；

1?kE(k)； ??dk晶体电子受到的外力为 F?

dt晶体电子的速度为 v?11?2E(k)晶体电子的倒有效质量张量为 *?2；

m????k??k?在外加电磁场作用下，晶体电子的状态变化满足：

dke??(Ε?v?B) dt?dve ??*(Ε?v?B)

dtm

8.试述有效质量、空穴的意义。引入它们有何用处？

解：有效质量实际上是包含了晶体周期势场作用的电子质量，它的引入使得晶体中电子准经典运动的加速度与外力直接联系起来了，就像经典力学中牛顿第二定律一样，这样便于我们处理外力作用下晶体电子的动力学问题。

当满带顶附近有空状态k时，整个能带中的电流，以及电流在外电磁场作用下的变化，完全如同存在一个带正电荷q和具有正质量m*、速度v(k)的粒子的情况一样，这样一个假想的粒子称为空穴。空穴的引入使得满带顶附近缺少一些电子的问题和导带底有少数电子的问题十分相似，给我们研究半导体和某些金属的导电性能带来了很大的方便。 9.试述导体、半导体和绝缘体能带结构的基本特征。

解：在导体中，除去完全充满的一系列能带外，还有只是部分地被电子填充的能带，后者可以起导电作用，称为导带。

在半导体中，由于存在一定的杂质，或由于热激发使导带中存有少数电子，或满带中缺了少数电子，从而导致一定的导电性。

在绝缘体中，电子恰好填满了最低的一系列能带，再高的各带全部都是空的，由于满带不产生电流，所以尽管存在很多电子，并不导电。

10.说明德·哈斯－范·阿尔芬效应的基本原理及主要应用。

解：在低温下强磁场中，晶体的磁化率、电导率、比热容等物理量随磁场变化而呈现

49

出振荡的现象，称为德·哈斯－范·阿尔芬效应。

由于德·哈斯－范·阿尔芬效应同金属费米面附近电子在强磁场中的行为有关，因而同金属费米面结构密切相关，所以德·哈斯－范·阿尔芬效应成为人们研究费米面的有力工具。

11.一维周期场中电子的波函数数为

（1）?k(x)?sin?k(x)应当满足布洛赫定理。若晶格常数为a，电子的波函

x； a3?（2）?k(x)?icosx；

a（3）?k(x)?。 ?f(x?ia)（其中f为某个确定的函数）

??i???试求电子在这些状态的波矢。

ikx解：布洛赫函数可写成?k(x)?euk(x)，其中，uk(x?a)?uk(x)或写成

?k(x?a)?eika?k(x)

（1）?k(x?a)?sinx?ax???sin????k(x) aaika故 e???1 k??a

?k(x)?eixax??i??aesin?a??ix?x??eauk(x) ?显然有 uk(x?a)?uk(x)

?。

aa3(x?a)3x（2）?k(x?a)?icos???icos????k(x)

aa?ika所以 e??1 k?

a故?k(x)?sin?x的波矢是

?k(x)?eixa??xix??i??3xaa?eicos???euk(x)

a??显然有 uk(x?a)?uk(x) 故?k(x)?icos3??x的波矢。 aa（3）?k(x?a)?i????f(x?a?ia)??f[x?(i?1)a]??f(x?ma)??i???m??????k(x)

50