???t??t11??t???t1??d?? [e?e?e]d??xyz??4??0?R4??0?R?x??y??z??t)d???0 R??1???tR???t??t3?解 由于 ??(t)??t??()? ，所以
RRRRR?t???t???tR?????()d???d??d??4??E?d?? t03????RRRR???????td????4??0E 由题3.38(2)可知 ??R?t??()d????4??0E?4??0E?0 故 ?R?3.39 证明：???(
第四章习题解答
4.1 如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为U0，求槽内的电位函数。
解 根据题意，电位?(x,y)满足的边界条件为
① ?(0,y)??(a,y)?0 ② ?(x,0)?0 ③ ?(x,b)?U0
根据条件①和②，电位?(x,y)的通解应取为
?n?yn?x?(x,y)??Ansinh()sin()
aan?1y 由条件③，有
U0 ?b n?bn?xU0??Ansinh()sin()
aan?1n?xsin()，并从0到a对x积分，得到 两边同乘以o a x aaa2Un?x0题4.1图 An?sin()dx? ?asinh(n?ba)0a
4U0?,n?1,3,5,?n?sinh(n?ba) ??0，n?2,4,6,?4U01n?yn?xsinh()sin() 故得到槽内的电位分布 ?(x,y)???n?1,3,5,nsinh(n?ba)aa4.2 两平行无限大导体平面，距离为b，其间有一极薄的导体片由y?d到y?b(???x??)。上板和薄片保持电位U0，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从y?0到y?d，电位线性
?(0,y)?U0yd。 变化，
2U0(1?cosn?)?n?sinh(n?ba)解 应用叠其中，?1(x,y)为即
有导体薄片时的
①
②
y boxy U0 加原理，设板间的电位为
?(x,y)??1(x,y)??2(x,y)
不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为U0）的电位，?1(x,y)?U0yb；?2(x,y)是两个电位为零的平行导体板间电位，其边界条件为： ?2(x,0)??2(x,b)?0
dxy oxy 4.2图 题 x
?2(x,y)?0(x??)
(0?y?d)U0?U?y0??b③ ?2(0,y)??(0,y)??1(0,y)???U0y?U0y?b?d?
(d?y?b)?xn?y?nb?(x,y))e根据条件①和②，可设2的通解为 ?2(x,y)??Ansin(
bn?1
U0?U?y(0?y?d)?n?y??0b)??由条件③有 ?Ansin(
UUbn?1?0y?0y(d?y?b)?db?n?y)，并从0到b对y积分，得到 两边同乘以sin(bdb2U02U011yn?yn?yAn?(1?)sin()dy?(?)ysin()dy?2U0bsin(n?d) ??b0bbbddbb(n?)2db?xU02bU0?1n?dn?y?nb?(x,y)?y?sin()sin()e故得到 ?bd?2n?1n2bb4.3 求在上题的解中，除开U0yb一项外，其他所有项对电场总储能的贡献。并按Cf?缘电容。
解 在导体板（y?0）上，相应于?2(x,y)的电荷面密度
?x2?0U0?1??2n?d?nb?2???0??sin()e ??yy?0?dn?1nb则导体板上（沿z方向单位长）相应的总电荷
?????x2?0U0n?d?nb4?0U0b?1n?dsin()edx??sin() q2???2dx?2??2dx??2???22n?db?dnbn?10n?1??02We2定出边U02?0bU021相应的电场储能为 We?q2U0??2?2d1n?dsin() ?2nbn?1??2W4?be0其边缘电容为 Cf?2?2?12sin(n?d) U0?dn?1nb4.4 如题4.4图所示的导体槽，底面保持电位U0，其余两面电位为零，求槽内的电位的解。 解 根据题意，电位?(x,y)满足的边界条件为
?(0,y)??(a,y)?0 ①
?(x,y)?0(y??) ② y ?(x,0)?U0 ③
根据条件①和②，电位?(x,y)的通解应取为
?n?x?(x,y)??Ane?n?yasin()
an?1?n?xU?Asin() 由条件③，有 0?no an?1a x U0
n?x题4.4图 asin()两边同乘以，并从0到a对x积分，得到 a?4U0a,n?1,3,5,2U0n?x2U0?An?sin()dx?(1?cosn?)?n? ?a?an?0??0，n?2,4,6,4U01?n?yan?xesin() 故得到槽内的电位分布为 ?(x,y)???n?1,3,5,na4.5 一长、宽、高分别为a、b、c的长方体表面保持零电位，体积内填充密度为
??y(y?b)sin(?xa)sin(?zc)
的电荷。求体积内的电位?。
解 在体积内，电位?满足泊松方程
?2??2??2?1?x?z????y(y?b)sin()sin() （1） 222?x?y?z?0ac长方体表面S上，电位?满足边界条件?S?0。由此设电位?的通解为
m?xn?yp?z)sin()sin() abc?(x,y,z)?1?0???Amnpsin(m?1n?1p?1???代入泊松方程（1），可得
???m?2n?2p?2A[()?()?()]? ???mnpabcm?1n?1p?1m?xn?yp?z?x?zsin()sin()sin()?y(y?b)sin()sin()
abcac由此可得
Amnp?0 (m?1或p?1)
?2n?2?2n?yA[()?()?()]sin()?y(y?b) （2） ?1n1abcbp?1?由式（2），可得
?2n?2?22bn?y4bA1n1[()?()?()]??y(y?b)sin()dy?()3(cosn??1)?
abcb0bbn??8b2??3?(n?)?0?n?1,3,5,n?2,4,6,8b2
1?xn?y?zsin()sin()sin()5故 1n1??0n?1,3,5,n3[()2?()2?()2]abc
abc4.6 如题4.6图所示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与z轴平行的线电荷ql，其位置为(0,d)。求板间的电位函数。
解 由于在(0,d)处有一与z轴平行的线电荷ql，以x?0为界将场空间分割为x?0和x?0两个区域，则这两个区域中的电位?1(x,y)和?2(x,y)都满足拉普拉斯方程。而在x?0的分界面上，可利用?函数将线电荷ql表示成电荷面密度?(y)?ql?(y?y0)。
?(x,y,z)????电位的边
y① ?2(x,0)=?2(x,a)?0 ②
ql界条件为
?1(x,0)=?1(x,a)?0
③
dql????x d) (2?1)xo???(y? ?0?x?x题 4.6图 ?0 由条件①和②，可设电位函数的通解为
a ?1(x,y)?0(x??)
?2(x,y)?0(x???)
?1(0,y)??2(0,y)