q2fe??

4??0(2h)2q2?mg 令fe的大小与重力mg相等，即

4??0(2h)2z q z q R1 z q?q?? ?0 h o ? ? o ? h 图 2.13q ? h P R? ?0 h ? R2 0 o P 题 4.24图（a）

题 4.24图（b）

题 4.24图（c）

?8于是得到 q?4h??0mg?5.9?10C

4.24 如题4.24（a）图所示，在z?0的下半空间是介电常数为?的介质，上半空间为空气，距离介质平面距为h处有一点电荷q，求：（1）z?0和z?0的两个半空间内的电位；（2）介质表面上的极化电荷密度，并证明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷q?。

解 （1）在点电荷q的电场作用下，介质分界面上出现极化电荷，利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷。根据镜像法可知，镜像电荷分布为（如题4.24图（b）、（c）所示）

???0q???q，位于 z??h

???0???0q???q， 位于 z?h

???0上半空间内的电位由点电荷q和镜像电荷q?共同产生，即

?qq????0q?11???1????? 22224??0R14??0R?4??0????r?(z?h)?0??r?(z?h)?q?q??q1???q??q下半空间内的电位由点电荷和镜像电荷共同产生，即 24??R2?(???)2

r?(z?h)220（2）由于分界面上无自由电荷分布，故极化电荷面密度为

?p?n??P1?P2?z?0??0(E1z?E2z)z?0??0(极化电荷总电量为

???2??1?)?z?zz?0??(???0)hq

2?(???0)(r2?h2)32?(???0)q(???0)hqr??q? qP???PdS???P2?rdr??dr?2232????0???00(r?h)S04.25 一个半径为R的导体球带有电荷量为Q，在球体外距离球心为D处有一个点电荷q。（1）求点

QRD3R?电荷q与导体球之间的静电力；（2）证明：当q与Q同号，且?成立时，F表现为吸引

q(D2?R2)2D力。

解 （1）导体球上除带有电荷量Q之外，点电荷q还要在导体球上感应出等量异号的两种不同电荷。

根据镜像法，像电荷q?和q??的大小和位置分别为（如题4.25图所示） R Q?q?? o q? d? D q z 题 4.25图

2RRq???q， d??

DDRq????q??q， d???0

D导体球自身所带的电荷Q则与位于球心的点电荷Q等效。故点电荷q受到的静电力为

qq?q(D?q??)?? F?Fq??q?Fq???q?FQ?q?224??0(D?d?)4??0D（2）当q与Q同号，且F表现为吸引力，即F?0时，则应有 Q?(RD)qRq??0 222DDD??RD???q?Q?(RD)qRq???? 224??0?D2D?D??RD?????????QRD3R?由此可得出 ?

q(D2?R2)2D4.26 两个点电荷Q和?Q，在一个半径为a的导体球直径的延长线上，分别位于导体球的两侧且距球心为D。

2a3Q（1）证明：镜像电荷构成一个电偶极子，位于球心，电偶极矩为p?；

D2Q（2）令D和Q分别趋于无穷，同时保持2不变，计算球外的电场。

D解 （1）点电荷Q和?Q都要在球面上引起等量异号的感应电荷，可分别按照点电荷与不接地导体球面的镜像确定其等效的像电荷。根据镜像法，点电荷Q的像电荷为

2aa???Q， 位于：d1??q1 DDaz ????q1??Q，位于：d1???0 q1Dz D Q 而点电荷?Q的像电荷为

R12 aa??Q， 位于：d2q2???

P??Rq D11D?d1 raa ? ???0 ???q??q??Q，位于：d222o ?R2D d2?? q2 ??和q2??等值异号，且同时位于球心，故球R2如题4.26图所示。由此可见，像电荷q1?和q2?也等值异号，且位置关于球心对称，故构有 心处总的像电荷为零；而像电荷q1成位于球心的电偶极子，其电偶极矩为 ?D ?Q a2a22a3Q题4.26图 ?(2d1?)?Q? p?q2?2DDD?和q2?共同产生，即 （2）球外的电位由Q和?Q以及像电荷q1?q?q2QQ?(r,?)??1－??

??4??0R14??0R14??0R24??0R2Q?1aD??? ?2222224??0?r?D?2rDcos?r?(aD)?(2raD)cos??