（1）证明：球内的电场是均匀的，等于?P?0；

（2）证明：球外的电场与一个位于球心的偶极子P?产生的电场相同，解 （1）当介质极化后，在介质中会形成极化电荷分布，本题中极化电荷所产生的场。由于是均匀极化，介质球体内不存在极化电荷，有极化电荷面密度，球内、外的电位满足拉普拉斯方程，可用分离变

建立如题4.17图所示的坐标系，则介质球面上的极化电荷面密度

?p?P?n?P?er?Pcos?

介质球内、外的电位?1和?2满足的边界条件为 ① ?1(0,?)为有限值； ② ?2(r,?)?0(r??)； ③ ?1(R,?)??2(R,?)

?????0(1?2)r?R?Pcos?

?r?r因此，可设球内、外电位的通解为

?1(r,?)?A1rcos?

B1?2(r,?)?2cos?

rB2B1?(A?)?P 由条件③，有 A1R?1，0123RRPPR3解得 A1?， B1?

3?03?0PPrcos??z 于是得到球内的电位 ?1(r,?)?3?03?0PP??故球内的电场为 E1????1??ez 3?03?0（2）介质球外的电位为

P?PR314?R3P?cos? ?2(r,?)?cos??cos?2224??0r3?0r4??0r3R 题 4.17图

z 4?R3。 ??3所求的电场即为仅在介质球面上量法求解。 为

P o

4?R3其中??为介质球的体积。故介质球外的电场为

3P???21??2(er2cos??e?sin?) E2????2(r,?)??er?e??34??0r?rr?r可见介质球外的电场与一个位于球心的偶极子P?产生的电场相同。

4.18 半径为a的接地导体球，离球心r1(r1?a)处放置一个点电荷q，如题4.18图所示。用分离变量法求电位分布。

解 球外的电位是点电荷的电位与球面上感应电荷产生的电位的叠加，感应电荷的电位满足拉普拉斯方程。用分离变量法求解电位分布时，将点电荷的电位在球面上按勒让德多项式展开，即可由边界条件确定通解中的系数。

设?(r,?)??0(r,?)??in(r,?)，其中

?0(r,?)?q4??0R?q4??0r2?r12?2rr1cos?

是点电荷q的电位，?in(r,?)是导体球上感应电荷产生的电位。

电位?(r,?)满足的边界条件为

① r??时，?(r,?)?0； ② r?a时， ?(a,?)?0。

由条件①，可得?in(r,?)的通解为

z q ?in(r,?)??Anr?n?1Pn(cos?)

n?0?为了确定系数An，利用1R的球坐标展开式

r1 a o 题4.18图

??rn??n?1Pn(cos?)(r?r1)1?n?0r1?? R??r1nP(cos?)(r?r1)?n?1n?r?n?0q?an将?0(r,?)在球面上展开为 ?0(a,?)??Pn(cos?)

4??0n?0r1n?1??n?1n?0代入条件②，有 ?AnaanPn(cos?) ?P(cos?)?0 ?n?1n4??0n?0r1q?qa2n?1比较Pn(cos?)的系数，得到 An??

4??0r1n?1a2n?1?P(cos?) 故得到球外的电位为 ?(r,?)??n?1n4??0R4??0n?0(rr1)讨论：将?(r,?)的第二项与1R的球坐标展开式比较，可得到

?ar1a2n?1P(cos?)?? n?1n2222r)n?0(rr?(ar)?2r(ar)cos?111由此可见，?(r,?)的第二项是位于r??a2r1的一个点电荷q???qar1所产生的电位，此电荷正是球面上感应电荷的等效电荷，即像电荷。

4.19 一根密度为ql、长为2a的线电荷沿z轴放置，中心在原点上。证明：z P(r,?) 的点，有 对于r?a a R 5 ql?aa3?a )? ?(r,??P(cos?)?P(cos?)?? 3254r 2??0?r3r5r??? o 解 线电荷产生的电位为 aa

qlql11??(r,?)?dz?dz? ??224??R4???a r?z??2rz?cos?0?a0?a 对于r?a的点，有 题4.19图

?1(z?)n ??n?1Pn(cos?) 22r?z??2rz?cos?n?0r故得到

aql?(z?)n?(r,?)?P(cos?)dz?? ?n?1?4??0n?0?arqq?

?ql?aa3a51an?1?(?a)n?1?P(cos?)?P(cos?)?Pn(cos?)??? ?242??0?r3r35r54??0n?0n?1rn?1?4.20 一个半径为a的细导线圆环，环与xy平面重合，中心在原点上，环上总电荷量为Q，如题4.20

ql?图所示。证明：空间任意点电位为

24?Q?1?r?3?r??1??1???P2(cos?)???P4(cos?)?? (r?a)

4??0a?8?a???2?a??24?Q?1?a?3?a??2??1???P2(cos?)???P4(cos?)?? (r?a)

4??0r?8?r???2?r??解 以细导线圆环所在的球面r?a把场区分为两部分，分别写出两个场域的通解，并利用?函数将细导线圆环上的线电荷Q表示成球面r?a上的电荷面密度

QQz ????(cos??cos)??(cos?) 222?a22?a再根据边界条件确定系数。

设球面r?a内、外的电位分别为?1(r,?)和?2(r,?)，则边界条件为：

?1(0,?)为有限值； ① a o y ?2(r,?)?0(r??) ② ?1(a,?)??2(a,?)， ③ x 题 4.20图

根据条件①和②，可得?1(r,?)和?2(r,?)的通解为

?n?0??0(??1??2?)?r?r?r?aQ?(cos?) 2?a2?1(r,?)??AnrnPn(cos?) （1）

?2(r,?)??Bnr?n?1Pn(cos?) （2）

n?0代入条件③，有

n?n?1 Ana?Bna （3）

?Q[Annan?1?Bn(n?1)a?n?2]Pn(cos?)??(cos?) （4） ?22??0an?0将式（4）两端同乘以Pm(cos?)sin?，并从0到?对?进行积分，得

Annan?1?Bn(n?1)a?n?2(2n?1)Q?(cos?)Pn(cos?)sin?d?? ?4??0a2?0(2n?1)QPn(0) （5） 24??0a?n?1,3,5,?0?其中 Pn(0)?? (n?1)n21?3?5(?1)n?2,4,6,?2?4?6n?QQanPn(0)，Bn?Pn(0) 由式（3）和（5），解得 An?4??0an?14??0代入式（1）和（2），即得到

4?1?r?2?3?r??1??1???P2(cos?)???P4(cos?)?? (r?a)

4??0a?8?a???2?a??24?Q?1?a?3?a??2??1???P2(cos?)???P4(cos?)?? (r?a)

4??0r?8?r???2?r??4.21 一个点电荷q与无限大导体平面距离为d，如果把它移到无穷远处，需要作多少功？

解 利用镜像法求解。当点电荷q移动到距离导体平面为x的点P处

q???q，与导体平面相距为x???x，如题4.21图所示。q 时，其像电荷q? o 处产生的电场为 像电荷q?在点P?x x x ? qxE?(x)?ex 4??0(2x)2所以将点电荷q移到无穷远处时，电场所作的功为

Q 题 4.21图

We??qE?(x)?dr??d??d?q2q2dx? ?

4??0(2x)216??0dq2外力所作的功为 Wo??We?

16??0d4.22 如题4.22图所示，一个点电荷q放在60?的接地导体角域内的点(1,1,0)处。求：（1）所有镜像电荷的位置和大小；（2）点x?2,y?1处的电位。

解 （1）这是一个多重镜像的问题，共有5个像电荷，分布在以点电荷q到角域顶点的距离为半径的圆周上，并且关于导体平面对称，其电荷量的大小等于q，且正负电荷交错分布，其大小和位置分别为

???2cos75??0.366?x1y ???q,? q1 ???y?2sin75?1.366?1? q1???2cos165???1.366x?2??q,q2 q (2,1,0) ???(1, 1,0) ?y?2sin165?0.366?2? q2?60 ???x?2cos195??1.366 ?3x ???q,?q3? q3 ?o ??2sin195??0.366??y3 ? q5???? x?2cos285?0.366q4?4 ??q,q4 ?? 题 4.22图 ??2sin285??1.366??y4

???2cos315??1?x5???q,?q5 ???2sin315??1??y5（2）点x?2,y?1处电位

?q4???q2?q3?q51?qq1????? ?(2,1,0)????

4??0?RR1R2R3R4R5?q0.321q?2.88?109q(V) (1?0.597?0.292?0.275?0.348?0.477)?4??04??04.23 一个电荷量为q、质量为m的小带电体，放置在无限大导体平面下方，与平面相距为h。求q的值以使带电体上受到的静电力恰与重力相平衡（设m?2?10?3kg，h?0.02m）。

解 将小带电体视为点电荷q，导体平面上的感应电荷对q的静电力等于镜像电荷q?对q的作用力。根据镜像法可知，镜像电荷为q???q，位于导体平面上方为h处，则小带电体q受到的静电力为