第2章 平面解析几何初步

2.2 圆与方程 2.2.3 圆与圆的位置关系

A级 基础巩固

1．两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是( )

A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 解析：圆C1：x2＋y2＝9的圆心为C1(0，0)，半径长为r1＝3； 圆C2：x2＋y2－8x＋6y＋9＝0化为(x－4)2＋(y＋3)2＝16， 圆心为C2(4，－3)，半径长为r2＝4， 圆心距|C1C2|＝42＋（－3）2＝5.

因为|r1－r2|<|C1C2|

2．已知0

A．外切 B．相交 C．外离 D．内含

解析：设圆(x－1)2＋(y＋1)2＝2的圆心为O′，则O′(1，－1)． 圆x2＋y2＝r2的圆心O(0，0)， 两圆的圆心距离dOO′＝

12＋（－1）2＝2.

显然有|r－2|<2<2＋r.所以两圆相交． 答案：B

3．两圆x2＋y2－6x＋16y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为( )

A．4 B．3 C．2 D．1

解析：⊙O1为(x－3)2＋(y＋8)2＝121，O1(3，－8)，r＝11， ⊙O2为(x＋2)2＋(y－4)2＝64，O2(－2，4)，R＝8，

所以|O1O2|＝（3＋2）2＋（－8－4）2＝13. 所以r－R<|O1O2|

所以两圆相交．所以公切线有2条． 答案：C

4．(2014·湖南卷)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )

A．21 B．19 C．9 D．－11

解析：将圆C2的方程化为标准方程，利用圆心距等于两圆半径之和求解．

.圆C2的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m. 又圆C1：x2＋y2＝1，所以|C1C2|＝5.

又因为两圆外切，所以5＝1＋25－m，解得m＝9. 答案：C

5．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为( )

A．(x－4)2＋(y－6)2＝6 B．(x±4) 2＋(y－6)2＝6 C．(x－4)2＋(y－6)2＝36 D．(x±4)2＋(y－6)2＝36

解析：因为半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则b＝6.

再由a2＋32＝5，可以解得a＝±4， 故所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36. 答案：D

6．圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0公共弦长为( ) A.5 B.6 C．25 D．26

解析：x2＋y2＝50与x2＋y2－12x－6y＋40＝0作差，得两圆公共弦所在的直线方程为2x＋y－15＝0，圆x2＋y2＝50的圆心(0，0)到2x＋y－15＝0的距离d＝35，

因此，公共弦长为2（52）2－（35）2＝25. 答案：C

7．若圆C1：x2＋y2＋m＝0与圆C2：x2＋y2－6x＋8y＝0没有公共点，则实数m的取值范围是________．

解析：因为圆C1以原点为圆心，而圆C2过原点，所以两圆无公共点必有圆C2内含于圆C1，从而－m>100，即m<－100.

答案：(－∞，－100)

8．圆x2＋y2－2x－1＝0关于直线x－y＋3＝0对称的圆的方程是________．

解析：已知圆方程为(x－1) 2＋y2＝2，

则该圆圆心关于直线x－y＋3＝0的对称点为(－3，4)，半径也是2. 答案：(x＋3)2＋(y－4)2＝2

9．过两圆x2＋y2－x－y－2＝0与x2＋y2＋4x－4y－8＝0的交点和点(3，1)的圆的方程是________．

解析：设所求圆方程为(x2＋y2－x－y－2)＋λ(x2＋y2＋4x－4y－8)＝0，

2又过点(3，1)代入求出λ＝－.

5答案：x2＋y2－

13

x＋y＋2＝0 3

10．两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有________条．

解析：易判知两圆相外切，故有3条公切线． 答案：3

11．已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－1＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋2y－7＝0相交于A，B两点，求公共弦AB的长．

22??x＋y＋4x－4y－1＝0，

解：由方程?22消去二次项得6x－6y＋6＝0，

?x＋y－2x＋2y－7＝0，?

即x－y＋1＝0为所求的公共弦AB所在的直线的方程．

圆C1即：(x＋2)2＋(y－2)2＝9，

|－2－2＋1|3

所以C1(－2，2)到直线AB的距离d＝＝ .

22又圆C1半径r＝3，故弦长|AB|＝2

23

32－＝32.

2

B级 能力提升

12．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是( )

A．5 C．35－5

B．1 D．35＋5

解析：圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0，即(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆心为C1(4，2)；圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，即(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为C2(－2，－1)，两圆相离，|PQ|的最小值为|C1C2|－(r1＋r2)＝35－5.

答案：C

13．若直线mx＋2ny－4＝0始终平分圆x2＋y2－4x－2y＋4＝0的周长，则mn的最大值是________．

解析：由直线mx＋2ny－4＝0始终平分圆x2＋y2－4x－2y＋4＝0的周长，知直线过圆的圆心(2，1)，所以2m＋2n－4＝0，m＋n＝2.

所以mn＝m(2－m)＝－(m－1)2＋1≤1. 答案：1

14．一束光线从点A(－1，1)出发经x轴反射，到达圆C：(x－2)2

＋(y－3)2＝1上一点的最短路程是________．