a1 a2 a3 a4 (1,-1) (3,-3) (0,0) (0,0) (4,-4) (2,-2) (3,-3) (4,-4) (8,-8) (3,-3) (5,-5) (3,-3) (7,-7) (7,-7) (1,3) (7,-7)

第11章 排队理论

1.顾客按泊松分布到达一个服务台,如果到达率为每单位时间20个,在t=0时系统是空闲的。 (1)已知在t=15时系统中有10个顾客,求在t=30时系统中有20个顾客的概率; (2)在t=10时和t=20时系统中的平均顾客数。

2.某公用电话站有一台电话机,来打电话的人按泊松分布到达,平均每小时24人,假定每次电话的通话时间服从负指数分布,平均为2分钟,求该系统空闲时间的概率、平均队长、平均队列长、平均逗留时间、平均等待时间。

又若打电话人的到达情况与通话时间的概率分布均不变,而电话机增加到2台时,系统的各项指标又有什么变化?

3.某食品杂货铺设一个收款台,配有一名专职出纳员。顾客到达该台服从泊松分布,平均速率每小时30人。在台前仅有一名顾客时,由出纳员接待,平均服务时间为1.5分钟;当台前多于1个顾客时,管理员帮助出纳员包装货物使接待顾客时间缩减至1分钟。两种服务时间都服从负指数分布。

(1)作出此排队系统的速率图;

(2)求出在收款台顾客数的概率分布;

(3)导出此系统的Ls,使用该资料确定Lq,Ws及Wq。

4.一家银行有3名出纳员为顾客服务,顾客以每分钟4人的平均速率按泊松分布到达,排成一队等待服务。出纳员为顾客服务的时间服从负指数分布,均值为0.5分钟。

(1)画出此排队系统的速率图; (2)求Lq,Ls,Wq及Ws。

5.在M/M/c的标准模型中,到达率为λ,每个服务台的服务率为μ,则Ls=Lq+,即与单服务台情况下的公式相同而与c无关,试就c=2,c=3的情况给予验证。

6.考虑某个只有一个服务员的排队系统,输入参数为λ的泊松流,假定服务时间的概率分布未知,但期望值已知为1/μ。

(1)比较每个顾客在队伍中的期望等待时间,如服务时间的分布分别为:负指数分布;定长分布;

(2)如λ与μ值均增大为原来的2倍,σ值也相应变化,求上述两种分布情况下顾客在队伍中期望等待时间的改变情况。

7.某铁路局为经常油漆使用的车厢,考虑了两个方案:方案一是设置一个手工油漆场,年总开支费用为20万元,每节车厢油漆时间为均值6小时的负指数分布;方案二是建一喷漆车间,年总开支费用为45万元,每节车厢油漆时间为均值3小时的负指数分布。设要油漆的车厢按泊松流到达,平均每8小时一节,油漆场昼夜常年开工(即每年工作时间为365×24=8 760小时),又每节车厢闲置时间的损失为每小时15元,该铁路局应采用哪一个方案比较经济合算?