1a?2?Sxx(j?jk)=常数。 TTT

6.用雷达测量地球和月球之间的距离d，测量过程用下列方程描述 x(n)?d?w(n)

其中w(n)是均值为零，方差为?w的白噪声序列，它表示测量误差。为了提高测量精度，现采用以下两种滤波器分别对进行处理x(n)，试比较其方差?w的大小。 滤波器１

22y(n)?ay(n?1)?(1?a)x(n)

滤波器２

y(n)?ax(n)?(1?a)x(n?1) 式中0?a?1。

解：两个滤波器的系统函数分别为

1?a?1,H(Z)?a?(1?a)Z2 1?aZ?1H1(ej0)?1,H2(ej0)?1H1(Z)?因此两滤波器的直流增益H1(e)?1，无直流失真。两滤波器输出噪声平均功率为

j0?2y111?a2?12?1?H1(Z)H1(Z)?xZdZ??x?2?j1?a?22?y??x?h22(k)??x2?[a?(k)?(1?a)?(k?1)]2?[a2?(1?a)2]?x22

k?0a?1?22lim?y?0??x?01222lim?y?a?x2因此

a?1?

7.令x1，……xN是一个具有概率密度函数f(x,?,?)?试确定均值?和方差?的最大似然估计。 解：似然函数是均值?和方差?二者的函数，故有

2N212??2e?(x??)2/2?2??的正态分布得到的随机观测样本，

2

f(x1,...xN,?,?)??2i?112??2Ni?1e?(xi??)2/2?2??

?(2??2)?N/2?exp[?12?2?(x??)]2iN(1,xn,?/?,??)从而有 L?lnfx22N?ln?(2)?221N?ln(2?)xi??2 (?2i?1)分别求L关于?和?的偏导，然后令偏导为零，得到

2

?L2???2?2?(x??)?0ii?1NN?LN12???(x??)?0?i224??2?2?i?11N?L?ML??xi?x ?0可以解出?从

Ni?1??第49页，共55页

1?L2???(xi?x)2 可解得?0?ML2Ni?1??1N1N2?ML为无偏估xi和样本方差??(xi?x)2是无偏的，因此均值最大似然估计?由样本均值x???Ni?1N?1i?12?ML计，而方差的最大似然估计?则是有偏的。

将其代入

8.Burg递推较levenson递推法有什么优势，并写出Burg递推法求解AR模型参数的递推公式。 答：（1）列文森（levenson）递推法需要先由信号的观测数据估计自相关函数，这是它的缺点，而伯格（Burg）递推法则由信号观测数据直接计算AR模型的参数，Burg递推法利用levenson递推公式，导出前向预测误差和后向预测误差，并按照它们最小的原则求出akk，从而避免求自相关函数这一难题。 （1）Burg递推法求AR模型参数的递推公式如下：

N1??xx(0)?N?i?1nx(n) ①

②

2?0???xx(0)

e0f(n)?x(n) n?0,1,2,3N,...?,

be0(n)?x(n) n?0,1,2,3N,...?,

③

④

*?2?epf?1(n)ebp?1(n)N?1kp?n?p?en?pN?1fp?1(n)?ebp?1(n?1)222 ⑤

?p?(1?kp)?p?1

⑥

⑦

api?ap?1,i?kpa*p?1,p?i i?0,1,2,3,...,p?1

app?kp

⑧

ffb1,p?2,...N? 1 ⑨ ep(n)?ep?1(n)?kpep?1(n) n?p?b*feb(n)?e(n?1)?kepp?1p?1p?1(n)n?p,p?1,...N?2

⑩

9.说明正交性原理信义，维纳滤波原理及其结论。

解：（1）正交性原理：Eu(n?k)eopt(n)?0,k?0,1,2,...

文字表述：使代价函数J最小化的充分必要条件是估计误差eopt(n)与输入u(0),...,u(n)正交。 （1） 定义M?1输入向量

?*?u(n)??u(n),u(n?1),...,u(n?m?1)?

第50页，共55页

T