五．推演题
1. 某独立观测序列
x1,x2,,xN,N其均值为m，方差为?。现有两种估计算法：
2
1?1?mN算法A：均值估计为1N?2?xnmxn??N?1n?1 n?1，算法B：均值估计为
请对这两种估计算法的无偏性和有效性进行讨论。（12分）
答：
1?1?mN算法A：均值估计为1?1)?E(mNN?xn?1Nn，则
1?m?mD(m)??12Nn?1，
?D(Xn)?n?1N12??1N， ?均值估计m是无偏估计
1?E(?)?N^2?EXn?1N2n?m2??2?m2?m2??2
1N?2?mxn?N?1n?1，则 算法B：均值估计为
^N21NN???D(m)?Em?m??22??2?2)?E(mm?m2?N?1???N?1?N?1n?1，
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?均值估计m2是有偏估计
^?1??D?m?2?D?m
所以，算法A比算法B更有效。
2. 对于平稳Poisson随机过程X(t)，已知在任一区间?中发生n个事件的概率为
Pn????P?X???s??X?s??n?偏性。（10分）
?????e???n!n,n?0,1,。求?的最大似然估计?，并讨论该估计量的无
?L(?)?答：(1) 函数
?ni?ne???ini!
lnL(?)?ln?nini!ni?niln????
dL(?)?d??ni?1?i?N??0
???^?ni?1NN?
^E(?)?
（2）
?Eni?1NiN??N????N?，所以该估计量是无偏估计。
3. 设脉冲信号s(t)如下图所示，求其匹配滤波器的传输函数与输出信号。（8分）
解：
先求s(t)的频谱
S?????s(t)e?j?.tdt?A?e?j?.tdt???0?TA(1?e?j?T)j?
再取观测时刻t0=T，则可得匹配滤波器的传输函数为：
H(?)?KS*(?)e?j?T0??KA(1?ej?T)e?j?T0j?
因为抽样时间，为使延时最小，即T0=T
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H(?)?KA(1?e?j?T)j?
此H(w)为匹配滤波器的传输函数，其中K为常数。
匹配滤波器的冲击响应为
h(t)?Ks(T?t)?KA,0?t?Th(t)???0,??else
匹配滤波器的输出信号为：
s0?t???s(?)h(t??)d?????tAKAd?,o?t?T??0?T???AKAd?,T?t?2Tt?T?0,t?0,t?2T???KA2t,,o?t?T???KA2(2T?t),T?t?2T?0,t?0,t?2T?4.怎样判断随机过程{X(t),t?T}是宽平稳随机过程？并证明随机过程X(t)?Ycos(?t)?Zsin(?t),t?0是宽平稳过程，其中，Y , Z是相互独立的随机变量，且EY?EZ?0,DY?DZ??。 答：（1）如果X(t)满足，如下条件： （a）{X(t),t?T}是二阶矩过程；
（b）对任意t?T，mX(t)?EX(t)?常数；
（c）对任意s,t?T，RX(s,t)?E[X(s)X(t)]?RX(s?t)。则判定{X(t),t?T}是宽平稳随机过程。 （2） 证明：
2
E[X2(t)]?E[(Ycos(?t)?Zsin(?t))?(Ycos(?t)?Zsin(?t))]?E[Y2cos2(?t)?2YZcos(?t)sin(?t)?Z2sin2(?t)]?E[Y2]cos2(?t)?E[Z2]sin2(?t)?E[YZ](2cos(?t)sin(?t))因为Y,Z是相互独立的随机过程，且EY?EZ?0,DY?DZ??，所以
2
E[X2(t)]=?2??? EX(t)?E[Ycos(?t)?Zsin(?t)]?E[Y]cos(?t)?E[Z]sin(?t)?0=常数 RX(s,t)?E[X(s)X(t)]?E[(Ycos(?s)?Zsin(?s))?(Ycos(?t)?Zsin(?t))]?E[Y2cos(?s)cos(?t)?YZsin(?(t?s))?Z2sin(?s)sin(?t)]??2cos[?(s?t)]，RX(s,t)只与时间间隔有关，
与时间起点无关。
所以，{X(t),t?T}是宽平稳随机过程。
5.设连续时间随机信号xa?t?以等时间间隔T0取样后得到离散时间随机序列x(n)。为使x(n)是白色随机序列，讨论应满足什么条件？
解：设xa?t?的自相关函数和功率谱分别为Rxx???和Sxx?j??，x(n)的自相关序列和功率谱分别为 Rxx?m?a第47页，共55页
和Sxxej?。 根据定义,有
Rxx?m??E[x*(n)x(n?m)] ① Sxxe??
????R?m?ej?xxm?????j?m ②
按照定义，自相关序列Rxx(m)为
a Rxx(m)?E[x*(n)x(n?m)]?E[x*a(nT)x(nT?mT)]?Rxx(mT)
因此Rxx(m)就是以周期T对Rxx(?)的等间隔取样。
根据上式和Sxx(j?)的定义，有 Rxx(m)＝Rxx(mT)＝ 另一方面，根据Sxx(e Rxx(m)＝
aaa12?????aSxx(j?)ej?mTd? ③
j?)的定义，有
12?????aSxx(ej?)ejmnd? ④
将式③表示成无限个积分之和，其中每个积分都在长为2?/T的区间上进行，即Rxx(m)＝
12?k??????(2k?1)?/T(2k?1)?/TaSxx(j?)ej?mTd?
变量置换：????2?k，即得 T?/T?/TaSxx(j??j1 Rxx(m)＝
2?k???????2?k)ej?mTej2?mkd? Tj2?nk?1，因此Rxx(m)＝交换求和与积分的次序，考虑到对于所有整数k和m有e12????/T?/Ta[?Sxx(j??jk????2?k)]ej?mTd? T再将???T代入式中，得
1 Rxx(m)＝
2?1?a?2?j?n[S(j?jk)]ed? ⑤ ????Tk???xxTT?j?比照式⑤与式④，得
1?a?2?k) ⑥ Sxx(e)＝?Sxx(j?jT??TT1?a2?k) ⑦ 或 Sxx(j?)＝?Sxx(j??jT??T如果x(n)是白色随机序列,则它的自相关序列应当是一个幅度为Rxx?0?的冲激序列,即 Rxx?m??Rxx?0??(m)
上式代入式②,得
Sxxe由式⑥、⑧有
????R?0??(m)ejwxxm?????jwm?Rxx?0? ⑧
1a?2?Sxx(j?jk)?Rxx(0)， TTT上式表明，若要x(n)是白色随机序列，则要求
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