?1?1×?1－n??2?11112
－2＝n<ε，得n>1－log2ε，③，由|an－2|＝|1＋＋2＋3＋?＋n－1－2|＝
1222221－2
??????
即对于任意给定的正数ε(无论多小)，总存在正整数N，使得n>N时，恒有|an－2|<ε成立，
?1111??2n＋1－2?＝1<ε，所以2是数列?1＋＋2＋3＋?＋n－1?的极限；对于④，由|an－2|＝??n2222??n??
1
得n>，即对于任意给定的正数ε(无论多小)，总存在正整数N，使得n>N时，恒有|an－
ε
?2n＋1?
?的极限．综上所述，极限为2的共有2个，即③④. 2|<ε成立，所以2是数列?n??
二、填空题
8．(文)若数列{an}满足
1
an＋1an1*－＝d(n∈N，d为常数)，则称数列{an}为“调和数列”．已
1
知正项数列{}为“调和数列”，且b1＋b2＋?＋b9＝90，则b4·b6的最大值是________．
bn[答案] 100
[解析] 由调和数列的定义知{bn}为等差数列，由b1＋b2＋?＋b9＝9b5＝90知b5＝10， ∵bn>0，∴b4b6≤(
b4＋b6
2
)＝b5＝100.
22
(理)(2014·河南十所名校联考)对于各项均为整数的数列{an}，如果ai＋i(i＝1,2,3，?)为完全平方数，则称数列{an}具有“P性质”，不论数列{an}是否具有“P性质”，如果存在与{an}不是同一数列的{bn}，且{bn}同时满足下面两个条件：①b1，b2，b3，?，bn是a1，a2，a3，?，an的一个排列；②数列{bn}具有“P性质”，则称数列{an}具有“变换P性质”，下面三个数列：①数列{an}的前n项和为Sn＝(n－1)；②数列1,2,3,4,5；③数
3列1,2,3，?，11.其中具有“P性质”或“变换P性质”的有________(填序号)．
[答案] ①②
n2
n2n－1n2
[解析] Sn＝(n－1)，Sn－1＝[(n－1)－1](n≥2)，∴an＝Sn－Sn－1＝(n－1)(n＋
333
1)－
n－1
(n－2n)＝(n－1)(n＋1－n＋2)＝n(n－1)(n≥2)，又a1＝S1＝0，∴a1＋1＝1＝1，
33
2
n2
a2＋2＝4＝22，a3＋3＝9＝32，?，an＋n＝n2，∴数列{an}具有“P性质”；数列1,2,3,4,5
排为3,2,1,5,4，则a1＋1＝4＝2，a2＋2＝4＝2，a3＋3＝4＝2，a4＋4＝9＝3，a5＋5＝9＝3，∴数列1,2,3,4,5具有“变换P性质”，同理可验证数列1,2,3，?，11不具有“P性质”和“变换P性质”．
[方法点拨] 脱去新定义的外衣，将问题化为基本数学模型，用相应的知识方法解答是
2
2
2
2
2
5
解决此类问题的基本方法．
1
9．(2015·安徽文，13)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9
2项和等于________．
[答案] 27
[解析] 考查1.等差数列的定义；2.等差数列的前n项和． 1
∵n≥2时，an＝an－1＋，且a1＝1，
21
∴{an}是以1为首项，为公差的等差数列．
29×81
∴S9＝9×1＋×＝9＋18＝27.
22
10．已知向量a＝(2，－n)，b＝(Sn，n＋1)，n∈N，其中Sn是数列{an}的前n项和，若a⊥b，则数列{
1
[答案]
9
[解析] ∵a⊥b，∴a·b＝2Sn－n(n＋1)＝0， ∴Sn＝∴
*
an}的最大项的值为________．
an＋1an＋4
n?n＋1?
2
，∴an＝n，
＝＝an＋1·an＋4?n＋1??n＋4?
ann14an，当n＝2时，n＋取最小值4，此时4nan＋1an＋4n＋＋5
n1
取到最大值. 9
三、解答题
11．(文)(2015·云南省检测)已知等比数列{an}的前n项和是Sn，S18S9＝78. (1)求证：S3，S9，S6依次成等差数列；
(2)a7与a10的等差中项是否是数列{an}中的项？如果是，是{an}中的第几项？如果不是，请说明理由．
[解析] (1)证明：设等比数列{an}的公比为q，若q＝1，则S18＝18a1，S9＝9a1，
S18S9＝21≠78.
∴q≠1.
∴S18＝(1－q)，S9＝(1－q)，S18S9＝1＋q.
1－q1－q719
∴1＋q＝，解得q＝－2－.
83
a1
18
a1
99
6
a1?1－q3?3a1a1?1－q6?∴S3＝＝×，S6＝ 1－q21－q1－q3a1
＝×. 41－qS9＝
9a19
(1－q)＝×. 1－q81－qa1
3a13a1
∵S9－S3＝－×，S6－S9＝－×，
81－q81－q∴S9－S3＝S3－S9.
∴S3，S9，S6依次成等差数列．
11
a1－a1
8a7＋a104a1
(2)a7与a10的等差中项等于＝＝.
2216设a7与a10的等差中项是数列{an}中的第n项，则 1a1
a1(－2－)n－1＝，
3
163
化简得(－2)－n－1
＝(－2)，则－
－4
n－1
3
＝－4，解得n＝13.
∴a7与a10的等差中项是数列{an}中的第13项．
(理)(2015·唐山一模)设数列{an}的前n项和为Sn，满足(1－q)Sn＋qan＝1，且q(q－1)≠0.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列． [解析] (1)当n＝1时，由(1－q)S1＋qa1＝1，∴a1＝1，
当n≥2时，由(1－q)Sn＋qan＝1，得(1－q)Sn－1＋qan－1＝1，两式相减得 (1－q)an＋q(an－an－1)＝0，
∴an＝qan－1，∵a1＝1，q(q－1)≠0，∴an＝q综上an＝qn－1
n－1
，
.
(2)由(1)可知
an＝q，所以{an}是以1为首项，q为公比的等比数列． an－1
1－anq1－a3q1－a6q2?1－a9q?
所以Sn＝，又S3＋S6＝2S9，得＋＝，
1－q1－q1－q1－q化简得a3＋a6＝2a9，两边同除以q得a2＋a5＝2a8. 故a2，a8，a5成等差数列．
[方法点拨] 1.在处理数列求和问题时，一定要先读懂题意，分清题型，区分等差数列与等比数列，不是基本数列模型的注意运用转化思想化归为等差、等比数列，在利用分组求和时，要特别注意项数．
7
2．在处理等差与等比数列的综合问题时，先要看所给数列是等差数列还是等比数列，再依据条件建立方程求解．
?1?12．(文)已知函数f(x)在(－1,1)上有定义，f??＝－1，且满足对任意x、y∈(－1，?2?
1)，有f(x)＋f(y)＝f?
?x＋y?，数列{x}中，x＝1，x＝2xn. ?n1n＋12
21＋xn?1＋xy?
(1)证明：f(x)在(－1,1)上为奇函数； (2)求数列{f(xn)}的通项公式； (3)求证：
1112n＋5
＋＋?＋>－.
f?x1?f?x2?f?xn?n＋2
[分析] (1)要证f(x)为奇函数，只需证明f(－x)＋f(x)＝0，只需在条件式中令y＝－x，为了求f(0)，令x＝y＝0即可获解．
x＋y(2)利用f(x)＋f(y)＝f()可找出f(xn＋1)与f(xn)的递推关系，从而求得通项．
1＋xy(3)由f(xn)的通项公式确定数列{
1
}的求和方法，求和后利用放缩法可证明．
f?xn?
[解析] (1)证明：令x＝y＝0，∴2f(0)＝f(0)， ∴f(0)＝0.
令y＝－x，则f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0， ∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)在(－1,1)上为奇函数．
?1?(2)f(x1)＝f??＝－1， ?2?
f(xn＋1)＝f?
∴
?2xn2?＝f?xn＋xn?＝2f(x)，
???n?1＋xn??1＋xn·xn?
f?xn＋1?n－1
＝2，即{f(xn)}是以－1为首项，2为公比的等比数列，∴f(xn)＝－2.
f?xn?
111
＋＋?＋
f?x1?f?x2?f?xn?
(3)1??11
＝－?1＋＋2＋?＋n－1?
2??22
1
1－n21?1?＝－＝－?2－n－1?＝－2＋n－1>－2， 12?2?1－21?2n＋51?而－＝－?2＋＝－2－<－2. ?n＋2n＋2?n＋2?
8