第六章 实数

考点一、实数的概念及分类 1、实数的分类

2、无理数

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类

（1）开方开不尽的数，如7,32等；

（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如π+8等；

3（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；

（4）某些三角函数，如sin60o等（这类在初三会出现）

0判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如?,16是有理数，而不是无理数。

3、有理数与无理数的区别

（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数； （2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。

考点二、平方根、算术平方根、立方根 1、概念、定义

（1）如果一个正数x的平方等于a，即

，那么这个正数x叫做a的算术平方根。

，那么x叫做a

（2）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。如果的平方根。

（3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。如果叫做a的立方根。 2、运算名称

（1）求一个正数a的平方根的运算，叫做开平方。平方与开平方互为逆运算。 （2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方和立方互为逆运算。 3、运算符号

（1）正数a的算术平方根，记作“a”。 （2）a(a≥0)的平方根的符号表达为

。

，那么x

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（3）一个数a的立方根，用4、运算公式

表示，其中a是被开方数，3是根指数。

4、开方规律小结

（1）若a≥0，则a的平方根是?a，a的算术平方根a；正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根。

实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。

（2）若a<0，则a没有平方根和算术平方根；若a为任意实数，则a的立方根是

。

（3）正数的两个平方根互为相反数，两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。

考点三、实数的性质

有理数的一些概念，如倒数、相反数、绝对值等，在实数范围内仍然不变。 1、相反数

（1）实数a的相反数是-a；实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零）

（2）从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。 2、绝对值

（1）要正确的理解绝对值的几何意义，它表示的是数轴上的点到数轴原点的距离，数轴分为正负两半，那么不管怎样总有两个数字相等的正负两个数到原点的距离相等。|a|≥0。 （2）若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0，零的绝对值是它本身。

（3）

?a(a?0)???a(a?0)

3、倒数

（1）如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。实数a的倒数是1/a（a≠0） （2）倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点四、实数的三个非负性及性质

1、在实数范围内，正数和零统称为非负数。 2、非负数有三种形式

（1）任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0； （2）任何一个实数a的平方是非负数，即

≥0；

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（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ()。

3、非负数具有以下性质 （1）非负数有最小值零；（2）非负数之和仍是非负数； （3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.

考点五、实数大小的比较

实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：

（1）正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； （2）实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； （3）两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法。

（4）对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。常用有理数来估计无理数的大致范围，要想正确估算需记熟0～20之间整数的平方和0～10之间整数的立方．

考点六、实数的运算

（1）在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算 （2）有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立

（3）实数混合运算的运算顺序与有理数的运算顺序基本相同，先乘方、开方、再乘除，最后算加减。同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里。

（4）在实数的运算中，当遇到无理数时，并且需要求结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算。

二、典例剖析，综合拓展 知识点1：算术平方根 1.

11111的算术平方根为（ ） （A） （B）－ （C）± （D）（） 1691313131692

算术平方根的定义： 2.

1的算术平方根可表示为 ，即 = 1691有算术平方根吗？8的算术平方根是－2吗？ 169a本身 0，必须同时成立

算术平方根的表示方法： （用含a的式子表示） 3. －

算术平方根具有 性，即⑴被开方数a 0，⑵4、已知5?跟踪练习： ① 式子

11的小数部分为m，5?11的小数部分为n，则m?n?

x?3有意义，x的取值范围

x?5+5?x+3,求xy的值 3?a?b?4?0，求a+b的值

② 已知：y=

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知识点2：平方根

1. 49的平方根是 ，算术平方根是 ，它的平方根可表示为 ； 2、9的平方根是

3、快速地表示并求出下列各式的平方根

⑴1

9 ⑵|－5| ⑶0.81 ⑷（－9） 162

平方根的定义： 平方根的表示方法 （用含a的式子表示）

平方根的性质： 4、如果一个数的平方根是a?1和2a?7，求这个数

5.用平方根定义解方程

⑴16（x+2）=81 ⑵4x-225=0

6、下列说法正确的是( )

A、16的平方根是?4 B、?6表示6的算术平方根的相反数

2C、 任何数都有平方根 D、?a一定没有平方根 知识点3：立方根

1. －8的立方根是 ，表示为 立方根的表示方法： （用含a的式子表示） 2.说出下列各式表示的意义并求值： ⑴

32

2

?0.5123= ⑵－

3?729= ⑶3(?2)3= ⑷（

38）=

3

3.如果

x?2有意义，x的取值范围为 3

4.用立方根的定义解方程

⑴x-27 =0 ⑵2（x+3）=512

拓展提高： 1、已知

3

3?1.732，

30?5.477，（1）300? ；（2）0.3? ；

x?54.77，则x?

（3）0.03的平方根约为 ；（4）若2、已知

33?1.442，

330?3.107，3300?6.694，求（1）30.3? ；

3 （2）3000的立方根约为 ；（3）知识点4：重要公式

x?31.07，则x?

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