所以 |PF1|＝|AP|，
从而|AF2|＝|AP|＋|PF2|＝|PF1|＋|PF2|＝2a.
1
由题意知O是F1F2的中点，Q是AF1的中点，连接OQ，则|OQ|＝|AF2|＝a.
2所以 Q点的轨迹是以原点O为圆心，半径为a的圆． 答案：A
专题二 求圆锥曲线方程
圆锥曲线的轨迹与方程是本章命题的重点，解决此类问题，一要准确理解圆锥曲线的定义，熟练掌握标准方程的特征；二要熟练掌握求曲线方程的常用方法——定义法与待定系数法．
求曲线方程的一般步骤是“先定位，后定量”，“定位”是指确定焦点的位置及对称轴，“定量”是指确定参数的大小．
[例2] 已知中点在原点，一焦点为F(0，52)的椭圆被直线l：y＝3x－2截得的弦的1
中点的横坐标为，求椭圆的标准方程．
2
y2x2
解：由题意可设所求椭圆方程为2＋2＝1(a＞b＞0)，
ab该椭圆与直线l交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
y2x2
由2＋2＝1及y＝3x－2得 ab(a＋9b)x－12bx＋b(4－a)＝0.① 12b则x1＋x2＝2. a＋9b2由已知得
2
2
2
2
2
2
2
x1＋x21
212b＝，即2＝1， 2a＋9b2
2
所以a＝3b.又因为a－b＝c＝50， 则a＝75，b＝25.
此时，方程①根的判别式Δ＞0， 方程①有两实根x1，x2，符合要求． 故所求椭圆的方程为＋＝1.
2575
2
2
22222
x2y2
归纳升华
1．当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可以设为一般形式：椭圆方程为Ax＋By2
2
2
2
2
＝1(A＞0，B＞0，A≠B)；双曲线方程为Ax＋By＝1(AB＜0)；抛物线方程可设为y＝2px(p≠0)或x＝2py(p≠0)．
2
x2y2x2y2
2．与已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程可设为2－2＝
ababλ(λ≠0)；已知所求双曲线为等轴双曲线，其方程可设为x2－y2＝λ(λ≠0)．
[变式训练] 已知双曲线与椭圆x＋4y＝64共焦点，它的一条渐近线方程x－3y＝0，求双曲线的方程．
解：法一：椭圆x＋4y＝64，即＋＝1，其焦点是(±43，0)．
6416
2
2
2
2
x2y2
x2y2b设双曲线方程为2－2＝1(a＞0，b＞0)，其渐近线方程是y＝±x.
aba又因为双曲线的一条渐近线方程为x－3y＝0，所以 ＝3. 又由a＋b＝c＝48，解得a＝36，b＝12. 所以 所求双曲线方程为－＝1.
3612
法二：由双曲线与椭圆共焦点，可设双曲线方程为－＝1(16＜λ＜64)．
64－λλ－16
2
2
2
2
2
abx2y2
x2y2
因为双曲线的一条渐近线方程为x－3y＝0， 即y＝
1
λ－161
x，所以 ＝，所以 λ＝28.
64－λ33
x2
y2
故所求双曲线方程为－＝1. 3612专题三 直线与圆锥曲线的关系
近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压轴题的位置，且选择题、填空题也有涉及．有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往利用数形结合的思想、设而不求的方法、对称的方法以及根与系数的关系等．
[例3] 已知椭圆M：＋＝1，点F1，C分别是椭圆M的左焦点、左顶点，过点F1的
43直线l(不与x轴重合)交M于A，B两点．
(1)求M的离心率及短轴长；
(2)是否存在直线l，使得点B在以线段AC为直径的圆上，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
解：(1)由＋＝1得：a＝2，b＝3.所以椭圆M的短轴长为23.因为c＝a－b＝
43
x2y2
x2y2
22
c11
1，所以e＝＝，即M的离心率为.
a22
(2)由题意知：C(－2，0)，F1(－1，0)，设B(x0，y0)(－2＜x0＜2)，则＋＝1.
43→
因为BF1·BC＝(－1－x0，－y0)·(－2－x0，－y0)＝ 1222
2＋3x0＋x0＋y0＝x0＋3x0＋5＞0，
4
→
x2y200
?π?所以∠B∈?0，?.
2??
所以点B不在以AC为直径的圆上，即：不存在直线l，使得点B在以线段AC为直径的圆上．
归纳升华
圆锥曲线的综合问题一般综合性较强，计算量较大，对能力要求较高，因此寻求简便、合理的运算途径显得尤为重要．数形结合是解答圆锥曲线综合问题的主要方法，根据题意画出图形，通过代数运算细化图形结构．
x2y22
[变式训练] 已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，点(2，2)在C上．
ab2
(1)求C的方程；
(2)直线l不经过原点O，且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB中点为
M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
a2－b2242
(1)解：由题意有＝，2＋2＝1，
a2ab解得a＝8，b＝4，
所以椭圆C的方程为＋＝1. 84
(2)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，
2
2
x2y2
B(x2，y2)，M(xM，yM)，把y＝kx＋b代入＋＝1得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.
8
4
故xM＝
x2y2
x1＋x2
－2kbb＝2，yM＝kxM＋b＝2， 22k＋12k＋1
yM1
于是直线OM的斜率kOM＝＝－，
xM2k1
所以kOM·k＝－，所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
2专题四 分类讨论思想
分类讨论思想是高中数学中解题的重要思想，解析几何中许多问题都涉及分类讨论，如轨迹方程中轨迹类型的确定、最值问题、参数问题等都可能遇到因为变量范围不同而结果不