数学试卷
∵△FAB∽△ABC
∴∠ABF=∠ACB，
过A作AM⊥BC于点M
∵△ABD是等边三角形，BD=12 ∴MD=6，AM=6， 在Rt△AMC中，AC=∴sin∠ACB=即sin∠ABF=
=．
=
，
=
=12，
点评： 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质及勾股定理，解题的关键是证出△FAB∽△ABC．
24．（12分）已知：如图，二次函数y=ax+4的图象与x轴交于点A和点B（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，且cos∠CAO=
．
2
（1）求二次函数的解析式；
（2）若以点O为圆心的圆与直线AC相切于点D，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P使得以P、A、D、O为顶点的四边形是直角梯形？若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
考点： 二次函数综合题． 专题： 综合题．
分析： （1）对于二次函数解析式，令x=0求出y的值确定出C坐标，根据题意得到三角形AOC为等腰直角三角形，确定出A坐标，代入二次函数解析式求出a的值，即可确定出解析式；
数学试卷
（2）连接OD，作DE∥y轴，交x轴于点E，DF∥x轴，交y轴于点F，如图1所示，由圆O与直线AC相切于点D，得到OD垂直于AC，由OA=OC，利用三线合一得到D为AC中点，进而求出DE与DF的长，确定出D坐标即可；
（3）分两种情况考虑：经过点A且与直线OD平行的直线的解析式为y=﹣x﹣4，与抛物线解析式联立求出P坐标；经过点O且与直线AC平行的直线的解析式为y=x，与抛物线解析式联立求出P坐标即可．
解答： 解：（1）∵二次函数y=ax+4的图象与y轴交于点C， ∴点C的坐标为（0，4）， ∵二次函数y=ax+4的图象与x轴交于点A，cos∠CAO=∴∠CAO=45°， ∴OA=OC=4，
∴点A的坐标为（﹣4，0），
2
∴0=a（﹣4）+4， ∴a=﹣，
∴这二次函数的解析式为y=﹣x+4；
（2）连接OD，作DE∥y轴，交x轴于点E，DF∥x轴，交y轴于点F，如图1所示，
2
2
2
，
∵⊙O与直线AC相切于点D， ∴OD⊥AC， ∵OA=OC=4，
∴点D是AC的中点， ∴DE=OC=2，DF=OA=2，
∴点D的坐标为（﹣2，2）；
（3）直线OD的解析式为y=﹣x，如图2所示，
数学试卷
则经过点A且与直线OD平行的直线的解析式为y=﹣x﹣4， 解方程组
2
，
消去y，得x﹣4x﹣32=0，即（x﹣8）（x+4）=0， ∴x1=8，x2=﹣4（舍去）， ∴y=﹣12，
∴点P1的坐标为（8，﹣12）； 直线AC的解析式为y=x+4，
则经过点O且与直线AC平行的直线的解析式为y=x， 解方程组
2
，
消去y，得x+4x﹣16=0，即x=﹣2+2， ∴x1=﹣2﹣2，x2=﹣2+2（舍去）， ∴y=﹣2﹣2，
∴点P2的坐标为（﹣2﹣2，﹣2﹣2）．
点评： 此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定二次函数解析式，坐标与图形性质，直线与抛物线的交点，直线与圆相切的性质，锐角三角函数定义，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键． 25．（14分）已知：如图①，△ABC中，AB=AC=6，BC=4，点D在BC的延长线上，联结AD，以AD为一边作△ADE，使点E与点B位于直线AD的两侧，且AD=AE，∠DAE=∠BAC．
（1）如果AE∥BC，请判断四边形ABDE的形状并证明； （2）如图②，设M是BC中点，N是DE中点，联结AM、AN、MN，求证：△ABD∽△AMN； （3）设BD=x，在（2）的前提下，以BC为直径的⊙M与以DE为直径的⊙N存在着哪些位置关系？并求出相应的x的取值范围（直接写出结论）．
数学试卷
考点： 相似形综合题；等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定；圆与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质． 专题： 综合题．
分析： （1）已知AE∥BC，则有∠EAB+∠B=180°，要证四边形ABDE是平行四边形，只需证AB∥ED，只需证到∠EAB+∠E=180°，只需得到∠B=∠E，只需证到△ABC∽△ADE即可．
（2）易证∠MAN=∠BAD，根据相似三角形对应中线的比等于相似比可得=，就可得
到△AMN∽△ABD． （3）利用相似三角形的性质可以用x的代数式表示出MN及rN的长，只需求出两圆外切时的x的值，就可解决问题．
解答： （1）答：四边形ABDE是平行四边形． 证明：如图（1）， ∵AB=AC，AD=AE， ∴
=
．
∵∠BAC=∠DAE， ∴△ABC∽△ADE． ∴∠E=∠ACB． ∵AB=AC， ∴∠ACB=∠B． ∴∠E=∠B． ∵AE∥BC，
∴∠EAB+∠B=180°．
∴∠EAB+∠E=∠EAB+∠B=180°． ∴AB∥ED．
∴四边形ABDE是平行四边形．
（2）证明：如图（2）， ∵AB=AC，M是BC中点，
∴AM⊥BC，∠BAM=∠CAM=∠BAC． 同理：AN⊥DE，∠DAN=∠EAN=∠DAE． ∵∠BAC=∠DAE，