解法一：在此模型中，我们可以将“并联一个R再串联一个R”作为电路的一级，总电路是这样无穷级的叠加。在图8-11乙图中，虚线部分右边可以看成原有无限网络，当它添加一级后，仍为无限网络，即

RAB∥R + R = RAB

解这个方程就得出了RAB的值。

答案：RAB =

1?5R 。 2解法二：可以，在A端注入电流I后，设第一级的并联电阻分流为I1 ，则结合基尔霍夫第一定律和应有的比例关系，可以得出相应的电流值如图8-12所示

对图中的中间回路，应用基尔霍夫第二定律，有

(I ? I1)R + (I ? I1)解得 I1 =

5?1

I 2

I1R ? I1R = 0 I很显然 UA ? IR ? I1R = UB 即 UAB = IR + 最后，RAB =

5?11?5IR = IR 22UAB1?5 = R 。 I2【例题2】如图所示，由已知电阻r1、r2和r3组成的无穷长梯形网络，求a、b间的等效电阻Rab．（开端形）

【例题3】如图所示，由已知电阻r1、r2和r3组成的无穷长梯形网络，求a、b间的等效电阻Rab．（闭端形）

⑵双边一维无限网络

【例题4】如图所示，两头都是无穷长，唯独中间网孔上缺掉一个电阻r2，求e、f之间的等效电阻。（中间缺口形）

【例题5】如图所示，两头都是无穷长，唯独旁边缺一个电阻r2，求f、g之间的等效电阻.（旁边缺口形）

【例题6】如图所示，求g、f间的等效电阻。（完整形）

小结：一维无限网络利用网络的重复性。 ⑶二维无限网络

【例题7】图为一个网格为正方形的平面无穷网络，网络的每一个节点都有四个电阻与上下左右四个节点分别相联，每个电阻大小均为R，由此，按左右、上下一直延伸到无穷远处．A和B为网络中任意两个相邻节点，试求A、B间的等效电阻RAB．

模型分析：如图，设有一电流I从A点流入，从无穷远处流出．由于网络无穷大，故网络对于A点是对称的，电流I将在联接A点的四个电阻上平均分配．这时，电阻R（指A、B两节点间的电阻）上的电流为I/4，方向由A指向B．

同理，再设一电流I从无穷远处流处，从节点B流出．由于网络无穷大，B也是网络的对称点，因此在电阻R上分得的电流也为I/4，方向也是由A指向B．

将上述两种情况叠加，其结果将等效为一个从节点A流入网络，又从节点B流出网络的稳恒电流I，在无穷远处既不流入也不流出．每个支路上的电流也是上述两种情况下各支路电流的叠加．因此，R电阻上的电流为I/2．所以A、B两节点间的电势差为：

【例题8】对图示无限网络，求A、B两点间的电阻RAB 。

【例题9】有一个无限平面导体网络，它由大小相同的正六边形网眼组成，如图所示。所有六边形每边的电阻为R0，求：

（1）结点a、b间的电阻。

（2）如果有电流I由a点流入网络，由g点流出网络，那么流过de段电阻的电流 Ide为多大。

c4b9a5deg867321/3电流由a

流向c，有I/6电流由c流向b。再假设有电流I 由四面八方汇集b点流出，那么必有I/6电流由a流向c，有I/3电流由c流向b。

将以上两种情况综合，即有电流I由a点流入，自b点流出，由电流叠加原理可知

解： （1）设有电流I自a点流入，流到四面八方无穷远处，那么必有IIac?III??362（由a流向c） IIIIcb???362（由c流向b）

RAB?UABIacR0?IcbR0??R0II

因此，a、b两点间等效电阻

（2）假如有电流I从a点流进网络，流向四面八方，根据对称性，可以设

I1?I4?I7?IA

I2?I3?I5?I6?I8?I9?IB

应该有 3IA?6IB?I

因为b、d两点关于a点对称，所以

??Ibe?Ide1IA2

B同理，假如有电流I从四面八方汇集到g点流出，应该有

I???Ide

最后，根据电流的叠加原理可知

??Ide???Ide?Ide111IA?IB??3IA?6IB??I266

⑷三维无限网络

【例题10】假设如图有一个无限大NaCl晶格，每一个键电阻为r，求相邻两个Na和Cl原子间的电阻。

【例题11】在图示的三维无限网络中，每两个节点之间的导体电阻均为R ，试求A、B两点间的等效电阻RAB 。

当A、B两端接入电源时，根据“对称等势”的思想可知，C、D、E…各点的电势是彼此相等的，电势相等的点可以缩为一点，它们之间的电阻也可以看成不存在。这里取后一中思想，将CD间的导体、DE间的导体…取走后，电路可以等效为图8-13乙所示的二维无限网络。

【答案】RAB =

221R