解得：，

∴该一次函数的解析式为y=﹣x+3．

六．本大题共2小题，每小题12分，共24分

24．如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A=∠EBC． （1）求证：BE是⊙O的切线；

（2）已知CG∥EB，且CG与BD、BA分别相交于点F、G，若BG?BA=48，FG=，DF=2BF，求AH的值．

【考点】圆的综合题；三角形的外接圆与外心；切线的判定． 【解析】（1）欲证明BE是⊙O的切线，只要证明∠EBD=90°． （2）由△ABC∽△CBG，得

=

求出BC，再由△BFC∽△BCD，得BC2=BF

?BD求出BF，CF，CG，GB，再通过计算发现CG=AG，进而可以证明CH=CB，求出AC即可解决问题． 【答案】（1）证明：连接CD， ∵BD是直径，

∴∠BCD=90°，即∠D+∠CBD=90°， ∵∠A=∠D，∠A=∠EBC， ∴∠CBD+∠EBC=90°， ∴BE⊥BD，

∴BE是⊙O切线． （2）解：∵CG∥EB， ∴∠BCG=∠EBC， ∴∠A=∠BCG， ∵∠CBG=∠ABC ∴△ABC∽△CBG， ∴

=

，即BC2=BG?BA=48，

∴BC=4， ∵CG∥EB， ∴CF⊥BD，

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∴△BFC∽△BCD， ∴BC2=BF?BD， ∵DF=2BF， ∴BF=4，

在RT△BCF中，CF=∴CG=CF+FG=5

，

=3

， =4

，

在RT△BFG中，BG=

∵BG?BA=48， ∴即AG=5， ∴CG=AG，

∴∠A=∠ACG=∠BCG，∠CFH=∠CFB=90°， ∴∠CHF=∠CBF， ∴CH=CB=4， ∵△ABC∽△CBG， ∴

=

， =

， ．

∴AC=

∴AH=AC﹣CH=

25．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线y=mx2+nx相交于A（1，3），B（4，0）两点． （1）求出抛物线的解析式；

（2）在坐标轴上是否存在点D，使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由； （3）点P是线段AB上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OA，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，若△BCN、△PMN的面积S△BCN、S△PMN满足S△BCN=2S△PMN，求出

的值，并求出此时点M的坐标．

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【考点】二次函数综合题． 【解析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）分D在x轴上和y轴上，当D在x轴上时，过A作AD⊥x轴，垂足D即为所求；当D点在y轴上时，设出D点坐标为（0，d），可分别表示出AD、BD，再利用勾股定理可得到关于d的方程，可求得d的值，从而可求得满足条件的D点坐标；

（3）过P作PF⊥CM于点F，利用Rt△ADO∽Rt△MFP以及三角函数，可用PF分别表示出MF和NF，从而可表示出MN，设BC=a，则可用a表示出CN，再利用S△BCN=2S△PMN，可用PF表示出a的值，从而可用PF表示出CN，可求得

的值；借助a可表示出M点的坐标，代入抛物

线解析式可求得a的值，从而可求出M点的坐标． 【答案】解：

（1）∵A（1，3），B（4，0）在抛物线y=mx2+nx的图象上， ∴

，解得

，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x；

（2）存在三个点满足题意，理由如下：

当点D在x轴上时，如图1，过点A作AD⊥x轴于点D，

∵A（1，3）， ∴D坐标为（1，0）；

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当点D在y轴上时，设D（0，d），则AD2=1+（3﹣d）2，BD2=42+d2，

且AB2=（4﹣1）2+（3）2=36，

∵△ABD是以AB为斜边的直角三角形， ∴AD2+BD2=AB2，即1+（3﹣d）2+42+d2=36，解得d=∴D点坐标为（0，

）或（0，

）；

综上可知存在满足条件的D点，其坐标为（1，0）或（0，或（0，

）；

（3）如图2，过P作PF⊥CM于点F，

∵PM∥OA，

∴Rt△ADO∽Rt△MFP， ∴

=

=3

，

∴MF=3PF，

在Rt△ABD中，BD=3，AD=3， ∴tan∠ABD=，

∴∠ABD=60°，设BC=a，则CN=a， 在Rt△PFN中，∠PNF=∠BNC=30°， ∴tan∠PNF=

=

，

∴FN=PF，

∴MN=MF+FN=4PF， ∵S△BCN=2S△PMN， ∴

a2=2××4

PF2，

∴a=2PF，

∴NC=a=2PF，

∴

=

=， ∴MN=

NC=

×

a=

a，

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，

）