`《自动控制理论 第2版（夏德钤）》习题答案详解
第二章
2-1 试求图2-T-1所示RC网络的传递函数。
1Cs?R1，z?R，则传递函数为： (a)z1?221RCs?11R1?CsR1?Uo(s)z2R1R2Cs?R2?? Ui(s)z1?z2R1R2Cs?R1?R2(b) 设流过C1、C2的电流分别为I1、I2，根据电路图列出电压方程：
1?U(s)?I1(s)?R1[I1(s)?I2(s)]i??C1s ?1?Uo(s)?I2(s)?Cs2?并且有
11I1(s)?(R2?)I2(s) C1sC2s联立三式可消去I1(s)与I2(s)，则传递函数为：
Uo(s)?Ui(s)1C2s?1??1???R1?C1s??R?R1??2??Cs?Cs?1??2??1 2R1R2C1C2s?(R1C1?R1C2?R2C2)s?12-2 假设图2-T-2的运算放大器均为理想放大器，试写出以ui为输入，uo为输出的传递函数。
(a)由运算放大器虚短、虚断特性可知：对上式进行拉氏变换得到
uidudu??Ci?C0，uc?ui?u0， RdtdtUi(s)??sUi(s)?sU0(s) RC故传递函数为
U0(s)RCs?1 ?Ui(s)RCs(b)由运放虚短、虚断特性有：Cducui?uc?ucuu???0，c?0?0， dtR2R2R2R1联立两式消去uc得到
CRdu022??ui?u0?0 2R1dtRR1对该式进行拉氏变换得
CR22sU0(s)?Ui(s)?U0(s)?0 2R1RR1故此传递函数为
U0(s)4R1 ??Ui(s)R(RCs?4)(c)Cducuc?u0uuu??c?0，且i??c，联立两式可消去uc得到 dtR1/2R1/2RR12CR1dui2u02ui????0 2RdtR1R对该式进行拉氏变换得到
CR122?sUi(s)?U0(s)?Ui(s)?0 2RR1R故此传递函数为
U0(s)R(RCs?4) ??11Ui(s)4R2-3 试求图2-T-3中以电枢电压ua为输入量，以电动机的转角?为输出量的微分方程式和传递函数。
解：设激磁磁通??Kfif恒定
Cm???s? ?60Ua?s???s?LaJs2??Laf?RaJ?s?Raf?Ce?Cm??2???2-4 一位置随动系统的原理图如图2-T-4所示。电动机通过传动链带动负载及电位器的滑动
触点一起移动，用电位器检测负载运动的位移，图中以c表示电位器滑动触点的位置。另一电位器用来给定负载运动的位移，此电位器的滑动触点的位置（图中以r表示）即为该随动系统的参考输入。两电位器滑动触点间的电压差ue即是无惯性放大器（放大系数为Ka）的输入，放大器向直流电动机M供电，电枢电压为u，电流为I。电动机的角位移为?。
解：
C?s??R?s?KACm?
60??iLaJs3?i?Laf?RaJ?s2?i?Raf?Ce?Cm??s?KACm?2???2-5 图2-T-5所示电路中，二极管是一个非线性元件，其电流id与ud间的关系为
d?0.u026??。假设电路中的R?103?，静态工作点u0?2.39V，id?10??e?1?????6i0?2.19?10?3A。试求在工作点(u0,i0)附近id?f(ud)的线性化方程。
?3解：id?2.19?10?0.084?ud?0.2?
2-6 试写出图2-T-6所示系统的微分方程，并根据力—电压的相似量画出相似电路。 解：分别对物块m1、m2受力分析可列出如下方程：
?dv1m?F(t)?k2(y2?y1)?f?k1y1??1dt ?dv2?m?k2(y2?y1)2?dt?代入v1?dy1dy、v2?2得 dtdt?d2y1m?F(t)?k2(y2?y1)?f?k1y1??1dt2 ?2?mdy2?k(y?y)2221?dt2?2-7 图2-T-7为插了一个温度计的槽。槽内温度为?i，温度计显示温度为?。试求传递函数
?(s)（考虑温度计有贮存热的热容C和限制热流的热阻R）。 ?i(s)解：根据能量守恒定律可列出如下方程：
C对上式进行拉氏变换得到
d??i??? dtR?i(s)??(s)
RCs?(s)?则传递函数为
?(s)1? ?i(s)RCs?12-8 试简化图2-T-8所示的系统框图，并求系统的传递函数
C(s)。 R(s)
G2
+ C(s) R(s) + + G1 G3 _ _
H1
a) H1 G4
R(s) + + + + G3 G1 G2 _ _ H2 H3
b)
图2-T-8
解：(a) 化简过程如下
G2
+ C(s) + R(s) G1 G3 _
+ H1 +
G1
+ C(s) R(s) G1+G2 G3 _
G1+H1
R(s) C(s) G3 G1+G2
1?G3(G1?H1)+ C(s)
传递函数为
R(s) G3(G1?G2)1?G3(G1?H1)C(s) G3(G1?G2)C(s) ?R(s)1?G3(G1?H1) (b) 化简过程如下 G2 H1 G4 _
R(s) + + G2 G1 G3 _
1/G1 H2
H3
G1R(s) + G4+G2G1?GGH 121_ 3
H3+H2/G
G1(G2G3?G4)R(s)
1?G1G2H1?(G2G3?G4)(H2?G1H3)
传递函数为
+ C(s) C(s) C(s) G1(G2G3?G4)C(s)? R(s)1?G1G2H1?(G2G3?G4)(H2?G1G3)2-9 试简化图2-T-9所示系统的框图，并求系统的传递函数
C(s)。 R(s)C(s) R(s) + _ 0.7 + _ 0.5 ?0.41?2s1 2s?0.3s?1+ + 0.4 Ks
解：化简过程如下 R(s) +
_
C(s) +
R(s)
系统的传递函数为
_ 0.7 + _ 12s?0.3s?1C(s) ?0.2 s?0.60.4 Ks s?0.6 (s2?0.3s?1)(s?0.6)?0.080.7 Ks R(s) 0.7s?0.42s3?(0.9?0.7k)s2?(1.18?0.42k)s?0.52C(s) C?s?0.7s?0.42?3 R?s?s??0.9?0.7k?s2??1.18?0.42k?s?0.522-10 绘出图2-T-10所示系统的信号流程图，并根据梅逊公式求出传递函数
C(s)。 R(s)H2 R(s) + + G1 + _ H1 G4 图2-T-10
+ G2 G3 + C(s) 系统的传递函数为
G1G2G3C?s???G4
R?s?1?G2H1?G1G2H1?G2G3H22-11 试绘出图2-T-11所示系统的信号流程图，并求传递函数
C1(s)C(s)和2（设R1(s)R2(s)R2(s)?0）。
_ R1(s) +
+
R2(s) + + +
_
解：系统信号流程图如图所示。
C1(s) G1 G2 G3 H2 G4 H1 G5 G6 C2(s) 图2-T-11
题2-11 系统信号流程图
G1G2G3C1?s??R?s?1?G1G2?G4?G1G2G4G5H1H2G1G2G4G5G6H2C2?s??R?s?1?G1G2?G4?G1G2G4G5H1H22-12 求图2-T-12所示系统的传递函数
C(s)。 R(s)解：(a) 系统只有一个回环：?L1?cdh，
在节点R(s)和C(s)之间有四条前向通道，分别为：P1?abcdef，P2?abcdi，
P4?agdi，相应的，有：?1??2??3??4?1 3?agdef，P则
C(s)1nabcdef?abcdi?agdef?agdi??Pk?k? R(s)?k?11?cdh(b) 系统共有三个回环，因此，?L1??111??， R1C1sR2C2sR1C2s两个互不接触的回环只有一组，因此，?L2??1?1?1? ????2??R1C1s?R2C2s?R1R2C1C2s1111??1??，并且有sC1R1sC2R1C1C2s2在节点R(s)和C(s)之间仅有一条前向通道：P1?1??1?1，则
C(s)1R2??P?? 11R(s)1??L1??L2R1R2C1C2s2?(R1C1?R2C1?R2C2)s?12-13 确定图2-T-13中系统的输出C(s)。
D1(s) R(s) + _ G1 + + + _ + D2(s) _ G2 H2 C(s) H1 + + D3(s) 图2-T-13
解：采用叠加原理，当仅有R(s)作用时，
C1(s)G1G2?， R(s)1?G2H2?G1G2H1当仅有D1(s)作用时，
C2(s)G2?， D1(s)1?G2H2?G1G2H1当仅有D2(s)作用时，
C3(s)G2?，
?D2(s)1?G2H2?G1G2H1C4(s)G1G2H1?? D3(s)1?G2H2?G1G2H1当仅有D3(s)作用时，根据叠加原理得出
C(s)?C1(s)?C2(s)?C3(s)?C4(s)?G1G2R(s)?G2D1(s)?G2D2(s)?G1G2H1D3(s)
1?G2H2?G1G2H1 第三章
3-1 设系统的传递函数为
2?nC(s) ?22R(s)s?2??ns??n求此系统的单位斜坡响应和稳态误差。 解：当输入为单位斜坡响应时，有
r(t)?t，R(s)?所以有
1 s22?n1 C(s)?2?22s?2??ns??ns分三种情况讨论 （1）当??1时，
s1,2?????2?1?n22???????1???nt?????1???nt? ???????2?1ee??c?t??t???22?2?n2?2?1?n????2?1????1?????????? （2）当0???1时，
s1,2????j1??2?nc?t??t?2????n?11???n2e???nt2?1??2sin?1???nt?2arctan????
??? （3）当??1时，
s1,2???nc(t)?t?2?n?2?ne??nt??n? ?1?t?2??设系统为单位反馈系统,有
Er?s??R?s??c?s??R?s?系统对单位斜坡输入的稳态误差为
s?s?2??n? 22s?2??n??nesr??ims?s?0s?s?2??n?12??? 222ss?2??ns??n?n3-2 试求下列单位反馈控制系统的位置、速度、加速度误差系数。系统的开环传递函数为
（1）G(s)?50K （2）G(s)?
(1?0.1s)(1?2s)s(1?0.1s)(1?0.5s)K(1?2s)(1?4s)KG(s)? （4） 222s(s?2s?10)s(s?4s?200)2s?0s?02（3）G(s)?解：（1）Kp?limG(s)?50,Kv?limsG(s)?0,Ka?limsG(s)?0；
s?0（2）Kp?limG(s)??,Kv?limsG(s)?K,Ka?limsG(s)?0；
s?0s?0s?0（3）Kp?limG(s)??,Kv?limsG(s)??,Ka?limsG(s)?s?0s?0s?02K； 10（4）Kp?limG(s)??,Kv?limsG(s)?s?0s?0K,Ka?lims2G(s)?0
s?02003-3 设单位反馈系统的开环传递函数为
G(s)?10
s(0.1s?1)若输入信号如下，求系统的给定稳态误差级数。
（1）r(t)?R0，（2）r(t)?R0?R1t，（3）r(t)?R0?R1t?解：首先求系统的给定误差传递函数
1R2t2 2?e?s??误差系数可求得如下
E(s)1s(0.1s?1)?? R(s)1?G(s)0.1s2?s?10s(0.1s?1)?020.1s?s?10d10(0.2s?1)C1?lim?e?s??lim?0.122s?0s?0ds(0.1s?s?10)C0?lim?e?s??lims?0s?0d22(0.1s2?s?10)?20(0.2s?1)2C2?lim2?e?s??lim?023s?0s?0ds(0.1s?s?10) （1）r(t)?R0，此时有rs(t)?R0,
?s(t)??rr?s(t)?0，于是稳态误差级数为
esr?t??C0rs(t)?0，t?0
（2）r(t)?R0?R1t，此时有rs(t)?R0?R1t,级数为
?s(t)?R1,?rr?s(t)?0，于是稳态误差
?s(t)?0.1R1，t?0 esr?t??C0rs(t)?C1r （3）r(t)?R0?R1t?11?s(t)?R1?R2t，R2t2，此时有rs(t)?R0?R1t?R2t2,r22?r?s(t)?R2，于是稳态误差级数为
?s(t)?esr?t??C0rs(t)?C1r3-4 设单位反馈系统的开环传递函数为
C2?r?(t)?0.1(R1?R2t)，t?0 s2!G(s)?10
s(0.1s?1)若输入为r(t)?sin5t，求此系统的给定稳态误差级数。 解：首先求系统的给定误差传递函数
?e?s??误差系数可求得如下
E(s)1s(0.1s?1)?? 2R(s)1?G(s)0.1s?s?500s(0.1s?1)?0s?0s?00.1s2?s?500d500(0.2s?1)1C1?lim?e?s??lim?s?0dss?0(0.1s2?s?500)2500C0?lim?e?s??limd2100(0.1s2?s?500)?1000(0.2s?1)298C2?lim2?e?s??lim?s?0dss?0(0.1s2?s?500)35002?以及
rs(t)?sin5t?s(t)?5cos5tr?r?s(t)??25sin5t?则稳态误差级数为
C??esr?t???C0?2?25???sin5t??C1?5???cos5t2 ????4.9?10?4???sin5t??1?102???cos5t
3-6 系统的框图如图3-T-1a所示，试计算在单位斜坡输入下的稳态误差的终值。如在输入端加入一比例微分环节（参见图3-T-1b），试证明当适当选取a值后，系统跟踪斜坡输入的稳态误差可以消除。
R(s) C(s) 2+ ?n _ s(s?2??n)
a)
R(s) C(s) + 2?n1?as
_ s(s?2??n)
b)
图3-T-1
解：系统在单位斜坡输入下的稳态误差为：esr?2??n，加入比例—微分环节后
C?s???R?s??1?as??C?s??G?s?2??1?as??n1?as?G?s?C?s??R?s??2R?s?21?G?s?s?2??ns??ns2??2??a?n??nsE?s??R?s??C?s??R?s?
s2?2??ns??n2R?s??1s22??a?nesr?limsE?s??s?0?n可见取a?2??n，可使esr?0
3-7 单位反馈二阶系统，已知其开环传递函数为
2?n G(s)?s(s?2??n)从实验方法求得其零初始状态下的阶跃响应如图3-T-2所示。经测量知，Mp?0.096，
tp?0.2s。试确定传递函数中的参量?及?n。
解：由图可以判断出0???1，因此有
Mp?exp(?tp???1??2)?100%
?1??2?n代入Mp?0.096，tp?0.2可求出
???0.598 ???n?19.5883-8 反馈控制系统的框图如图3-T-3所示，要求
（1）由单位阶跃函数输入引起的系统稳态误差为零。 （2）整个系统的特征方程为s?4s?6s?4?0 求三阶开环传递函数G(s)，使得同时满足上述要求。 解：设开环传递函数为
32R(s+ _ G(sC(s图3-T-3
C(s)K?3 R(s)s?k1s2?k2s?k3s3?k1s2?k2s?k31根据条件（1）esr?lim?3?0可知：k3?0； 2s?01?G(s)s?k1s?k2s?k3?K根据条件（2）D(s)?s?4s?6s?4?0可知：k1?4，k2?6，K?4。 所以有
32G?s??4 2ss?4s?6??3-9 一单位反馈控制的三阶系统，其开环传递函数为G(s)，如要求 （1）由单位斜坡函数输入引起的稳态误差等于2.0。 （2）三阶系统的一对主导极点为s1,s2??1?j1。 求同时满足上述条件的系统开环传递函数G(s)。 解：按照条件（2）可写出系统的特征方程
(s?1?j)(s?1?j)(s?a)?(s2?2s?2)(s?a)?s3?(2?a)s2?(2?2a)s?2a?0
将上式与1?G(s)?0比较，可得系统的开环传递函数
G(s)?根据条件（1），可得
2a
s?s2?(2?a)s?(2?2a)?Kv?12a?0.5? esr2?2a解得a?1，于是由系统的开环传递函数为
G(s)?2
s?s2?3s?4?3-10 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为
G(s)?K
s(?s?1)试求在下列条件下系统单位阶跃响应之超调量和调整时间。 （1）K?4.5,??1s （2）K?1,??1s （3）K?0.16,??1s 解：系统单位阶跃响应的象函数为
C(s)?R(s)G(s)?K 2s(?s?1) （1）将K?4.5，??1s代入式中可求出?n?2.12rad/s，??0.24，为欠阻尼系统，因此得出
Mp?46%，ts?7.86s(2%)，5.90s(5%)
（2）将K?1，??1s代入式中可求出?n?1rad/s，??0.5，，为欠阻尼系统，因此得出
Mp?16.3%，ts?8s(2%)s，6s(5%)
（3）将K?0.16，??1s代入式中可求出?n?0.4rad/s，??1.25，过阻尼，无最大超调量。因此只有ts?15s。
3-11 系统的框图如图3-T-4所示，试求当a=0时,系统的之值。如要求，是确定a的值。 （1）当a=0时， 则系统传传递函数为G(s)?所以有??0.354。
82??n?2，，其中?n?8?22，
s2?2s?8 （2）?n不变时，系统传函数为G(s)?8，要求??0.7，则有2s?(8a?2)s?82??n?2(4a?1)，所以可求得求得a?0.25。
3-12 已知两个系统的传递函数，如果两者的参量均相等，试分析z=1的零点对系统单位脉冲响应和单位阶跃响应的影响。 1. 单位脉冲响应 (a) 无零点时
c?t??（b）有零点z??1时
?n1??2e???ntsin1??2?nt,?t?0?
c?t??1?2??n??n??n1??22e???nt2?1???n2sin?1???nt?arctg?1???n???,?t?0? ??比较上述两种情况，可见有零点z??1时，单位脉冲响应的振幅较无零点时小，而且产生
1??2?n相移，相移角为arctg。
1???n2．单位阶跃响应 (a) 无零点时
c?t??1?（b）有零点z??1时
11??2e???nt2?1??2sin?1???nt?arctg?????,?t?0? ??c?t??1?1?2??n??n1??22e???nt2?1??2sin?1???nt?arctg??n?????,?t?0? ??加了z??1的零点之后，超调量Mp和超调时间tp都小于没有零点的情况。
3-13 单位反馈控制系统的框图如图3-T-5所示。假设未加入外作用信号时，系统处于零初始状态。如果不考虑扰动，当参考输入为阶跃函数形式的速度信号时，试解释其响应为何必然存在超调现象？
单位反馈控制系统的框图如图3-T-5所示。假设未加入外作用信号时，系统中存在比例-积分环节
K1??1s?1?，当误差信号e?t??0时，由于积分作用，该环节的输出保持不变，故s系统输出继续增长，知道出现e?t??0时，比例-积分环节的输出才出现减小的趋势。因此，系统的响应必然存在超调现象。
3-14 上述系统，如在r?t?为常量时，加于系统的扰动n?t?为阶跃函数形式，是从环节及物理作用上解释，为何系统的扰动稳态误差等于零？如扰动n?t?为斜坡函数形式，为何扰动
稳态误差是与时间无关的常量？
在r?t?为常量的情况下，考虑扰动n?t?对系统的影响，可将框图重画如下
图A-3-2 题3-14系统框图等效变换
C?s??K2sN?s?
s2??2s?1??K1K2??1s?1?根据终值定理，可求得n?t?为单位阶跃函数时，系统的稳态误差为0，n?t?为单位斜坡函数时，系统的稳态误差为
1。 K1从系统的物理作用上看，因为在反馈回路中有一个积分环节，所以系统对阶跃函数的扰动稳态误差为零。在反馈回路中的积分环节，当输出为常量时，可以在反馈端产生一个与时间成正比的信号以和扰动信号平衡，就使斜坡函数的扰动输入时，系统扰动稳态误差与时间无关。
3-15 已知系统的特征方程如下，试用劳斯判据检验其稳定性。
s4s32（1）劳斯表有 ss1s0
183240630 则系统系统稳定。 303s4112s3（2）劳斯表有 s2s1s0240 劳斯阵列第一列符号改变两次，根据劳斯判据，?1282系统有两个极点具有正实部，系统不稳定。
s5s4s3（3）劳斯表有 2ss1s011391610 劳斯阵列第一列符号改变两次，根据劳斯判据，
?6610101210系统系统有两个极点具有正实部，系统不稳定。
s6s5s4（4）劳斯表有 s32132343459648464 系统处于稳定的临界状态，由辅助方程
812ss1s0A?s??2s4?6s2?4可求得系统的两对共轭虚数极点s1,2??j;s3,4??j2。
3-16 根据下列单位反馈系统的开环传递函数，确定使系统稳定的K值的范围。
（1）K>0时,系统稳定。 （2）K>0时，系统不稳定。 （3）0 系统的特征方程为 D(s)?2?s3?(??2)s2?(K?1)s?K?0 K(s?1)请在以K为横坐 s(?s?1)(2s?1)列写劳斯表 s3s2s1s0(??2)(K?1)?2?K?0 ??22???2(??2)(k?1)?2?k??2kk?1k ，得出系统稳定应满足的条件 由此得到和应满足的不等式和条件 0??? 2 6 3 4 4 3.3 2(K?1),K?1,??2 K?15 3 9 2.5 15 2.28 30 2.13 100 2.04 根据列表数据可绘制K为横坐标、?为纵坐标的曲线，闭环系统稳定的参数区域为图A-3-3中的阴影部分。 图A-3-3 闭环系统稳定的参数区域 3-18 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为G(s)?K(s?5)(s?40) 试求系统的3s(s?200)(s?1000)临界增益Kc之值及无阻尼振荡频率值。 根据单位反馈系统的开环传递函数得到特征方程 s5?1200s4?200000s3?ks2?45ks?200k?0 列写劳斯表 s5s4s3s2112002.4?108?k12001.7544?108k?k22.4?108?k7.787?109k2?45k3?0.96?1016k1.7544?108k?k2200k200000k5.4?10k?200k1200445k200k0 200ks1s0根据劳斯判据可得 ?2.4?108?k?0?1200??1.7544?108k?k2?0?8 ?2.4?10?k?7.787?109k2?45k3?0.96?1016k??0821.7544?10k?k???200k?0系统稳定的K值范围为 1.22?106?K?1.7535?108 8当K1?1.22?10、K2?1.7535?10时，系统有一对共轭虚数极点，此时产生等幅振荡，68因此临界增益Kc?1.22?10以及Kc?1.7535?10。 6根据劳斯表列写Kc?1.22?10时的辅助方程 61.7544?108?1.22?106?(1.22?106)22s?200?1.22?106?0 862.4?10?1.22?10解得系统的一对共轭虚数极点为s1,2??j16，系统的无阻尼振荡频率即为16rad/s。 8 Kc?1.7535?10时的辅助方程 1.7544?108?1.7535?108?(1.7535?108)22s?200?1.7535?108?0 882.4?10?1.7535?10解得系统的一对共轭虚数极点为s3,4??j338，系统的无阻尼振荡频率为338rad/s。 第四章 4-2设已知单位反馈系统的开环传递函数如下，要求绘出当开环增益K1变化时系统的根轨迹图，并加简要说明。 （1）G?s??K1 s?s?1??s?3?0?与???，3?上有根轨迹，渐近线 系统开环极点为0，—1，—3，无开环零点。实轴??1，相角?a??60?,?180?，渐近线与实轴交点?a??1.33，由 dK1?0可得出分离点为dS（?0.45,j0），与虚轴交点?j3?K1?12?。常规根轨迹如图A-4-2所示。 图A-4-2 题4-2系统（1）常规根轨迹 （2）G?s??K1 2s?s?4?s?4s?20??0?上有根轨迹，?a??45?,?135?，?a??2，分离点 方法步骤同上，实轴??4，??2,j0?与??2?j2.5?，与虚轴交点?j10?K1?260?。常规根轨迹如图A-4-3所示。 图A-4-3 题4-2系统（2）常规根轨迹 4-3设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)?K1（1)试绘制系统根轨迹的大致图形，2s(s?1)并对系统的稳定性进行分析。（2）若增加一个零点z??1，试问根轨迹图有何变化，对系统稳定性有何影响？ （1）G?s??K1 s2?s?2?dK1?0可得出分离点为dS?2?上有根轨迹，?a??60?,?a??0.67，由实轴???，?0,j0?，与虚轴交点为j0?K1?0?常规根轨迹如图A-4-4（a）所示。从根轨迹图可见，当 K1?0便有二个闭环极点位于右半s平面。所以无论K取何值，系统都不稳定。 图A-4-4 题4-3系统常规根轨迹 （2）G?s??K1?s?1? 2s?s?2??1?上有根轨迹，?a??90?,?a??0.5，分离点为?0,j0?；常规根轨迹如图实轴??2，A-4-4（b）所示。从根轨迹图看，加了零点z??1后，无论K取何值，系统都是稳定的。 4-4 设系统的开环传递函数为G(s)H(s)?根轨迹（1）a=1 (2) a=1.185 (3) a=3 K1(s?2)试绘制下列条件下系统的常规2s(s?2s?a)0?上有根轨迹，?a??90?，?a?0，分离点为??0.38，0?，常 （1）a=1时，实轴??2，规根轨迹如图图A-4-5（1） Root Locus321Imaginary Axis0-1-2-3-2-1.8-1.6-1.4-1.2-1Real Axis-0.8-0.6-0.4-0.20 图A-4-5（1） 0?上有根轨迹，?a??90?，?a?0，根轨迹与虚轴的交点为（2）a=1.185时，实轴??2，?0，?j?，常规根轨迹如图图A-4-5（2） Root Locus4321Imaginary Axis0-1-2-3-4-2-1.8-1.6-1.4-1.2-1Real Axis-0.8-0.6-0.4-0.20 图A-4-5（2） 0?上有根轨迹，?j?，（3）a=3时，实轴??2，根轨迹与虚轴的交点为?0，?a?0，?a??90?， 常规根轨迹如图图A-4-5（3） Root Locus642Imaginary Axis0-2-4-6-2-1.8-1.6-1.4-1.2-1Real Axis-0.8-0.6-0.4-0.20 图A-4-5（3） 4-5 求开环传递函数为G(s)H(s)?a=9（3）a=8 (4)a=3 K1(s?1)的系统在下列条件下的根轨迹（1）a=10（2）2s(s?a)?1?上有根轨迹，?a??90?,?a??4.5，分离点为?0，j0?，与虚轴交点为（1）实轴??10，j0?K1?0?。常规根轨迹大致图形如图A-4-6（1） Root Locus10864Imaginary Axis20-2-4-6-8-10-10-9-8-7-6-5Real Axis-4-3-2-10 图A-4-6（1） ?1?上有根轨迹，?a??90?,?a??4，分离点为?0，j0?，与虚轴交点为（2）实轴??9，j0?K1?0?。常规根轨迹大致图形如图A-4-6（2） Root Locus8642Imaginary Axis0-2-4-6-8-9-8-7-6-5-4-3-2-10 Real Axis 图A-4-6（2） ?1?上有根轨迹，?a??90?,?a??3.5，分离点为?0，j0?，与虚轴交点为（3）实轴??8，j0?K1?0?。常规根轨迹大致图形如图A-4-6（3） Root Locus8642Imaginary Axis0-2-4-6-8-8-7-6-5-4Real Axis-3-2-10 图A-4-6（3） ?1?上有根轨迹，?a??90?,?a??1，分离点为?0，j0?，与虚轴交点为（4）实轴??3，j0?K1?0?。常规根轨迹大致图形如图A-4-6（4） Root Locus321Imaginary Axis0-1-2-3-3-2.5-2-1.5Real Axis-1-0.50 图A-4-6（4） 4-7 设系统的框图如图4-T-2所示，试绘制以a为变量的根轨迹，并要求：（1）求无局部反 馈时系统单位斜坡响应的稳态误差，阻尼比及调整时间。（2）讨论a=2时局部反馈对系性 能的影响。(3)确定临界阻尼时的a值。 系统特征方程为 s2??1???s?1?0 以?为可变参数，可将特征方程改写为 1?从而得到等效开环传递函数 ?ss?s?12?0 Geq(s)??ss2?s?1 0?上有根轨迹?a??180?,?a??1，分 根据绘制常规根轨迹的方法，可求得实轴???，离点为??1,j0?，出射角为?P??150?。参数根轨迹如图A-4-7所示。 图A-4-7 题4-7系统参数根轨迹 （1） 无局部反馈时???0?，单位速度输入信号作用下的稳态误差为esr?1；阻尼比为 ??0.5；调节时间为ts?6s?5%? （2） ??0.2时，esr?1.2，??0.6，ts?5s(5%) 比较可见，当加入局部反馈之后，阻尼比变大，调节时间减小，但稳态误差加大。 （3） 当??1时，系统处于临界阻尼状态，此时系统有二重闭环极点s1,2??1。 4-8 根据下列正反馈回路的开环传递函数，绘制其根轨迹的大致图形。 0?，与?2????1，???有根轨迹，?a??90?,?a??1.5，分离点为??1.5，（1）实轴???，虚轴交点为j0?K1?3?。常规根轨迹大致图形如图A-4-8（1） ??????2，?1?有根轨迹，?a?0?，0?，（2）实轴?0，?120?,?a??2，分离点为??1.57，与虚轴交点为j0?K1?3?。常规根轨迹大致图形如图A-4-8（2） ??????2，?1????4，?3?有根轨迹，?a?0?，（3）实轴?0，?120?,?a??2，虚轴交点为 ?0，j0.91??K1?5.375?。常规根轨迹大致图形如图A-4-8（3） 4-9 绘出图4-T-3所示滞后系统的主根轨迹，并确定能使系统稳定的K值范围。 主根轨迹如图A-4-9所示。系统稳定的K值范围是0?K?14.38。 图A-4-9 题4-9系统主根轨迹 Ke??s4-10 若已知一个滞后系统的开环传递函数为G?s?H?s??，试绘制此系统的主根轨 s迹。 Ke??s 由G?s?H?s??知 sK1?0时系统的根轨迹从开环极点p1?0和????出发，实轴???，0?上有根轨迹，主根 轨迹分离点?????1?，临界K值。主根轨迹如图A-4-10所示。 ,j0?；与虚轴交点?j?2?2??? 图A-4-10 4-11上题中的开环传递函数可用下列近似公式表示(1) G?s?H?s??K?1??s? (2) s???K?1?s?K2? (3) G?s?H?s??试绘制以上三种情况的根迹，并和题G?s?H?s???s????s??s?1??1?2s??4-10的根轨迹进行比较，讨论采用近似式的可能性。 （1）G?s?H?s??K?1??s?s的根轨迹如图A-4-11（1）所示。 图A-4-11（1） G?s?H?s??K?1??s?s根轨迹 K??（2）G?s?H?s???1???2s?? s???1??2s??? 分离点???2?1?2??21???,j0??；会合点???2??????,j0????；与虚轴交点?j2??界稳定K值为 2?。根轨迹如图A-4-11（2）所示。 ；临 图A-4-11（2） G?s?H?s??K?1?(?/2)s?根轨迹 s?1?(?/2)s?（3）G?s?H?s??K s??s?1?分离点????1???，根轨迹如图A-4-11（3）所示。 2?,j0?? 图A-4-11（3） G?s?H?s??K根轨迹 s??s?1?K。若?较大，取上述近似 s??s?1?讨论：当?较小时，且K在某一范围内时，可取近似式 ???K?1?s??2?式误差就大，此时应取近似式。9 ???s?1?s??2?4-12 已知控制系统的框图如图4-T-4所示，图中G1(s)?试绘制闭环系统特征方程的根轨迹，并加简要说明。 系统的根轨迹如图A-4-12所示。 K1s?2，G2(s)?。 (s?5)(s?5)s 图A-4-12 4-13 设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)?有0,1,2个分离点，画出这三种情况根轨迹图。 当0?a?K1(s?a),确定a的值，使根轨迹图分别具2s(s?a)111时，有两个分离点，当a?时，有一个分离点，当a?时，没有分离点。999系统的根轨迹族如图A-4-13所示。 图A-4-13 第五章 5-1 已知单位反馈系统的开环传递函数，试绘制其开环频率特性的极坐标图 (1)G?s??1 s?s?1?解：幅频特性： A(?)?1?1??02 g 相频特性： ?(?)??90?arct?列表取点并计算。 ? A(?) 0.5 1.79 -116.6 ?1.0 0.707 -135 ?1.5 0.37 -146.3 ?2.0 0.224 -153.4 ?5.0 0.039 -168.7 ?10.0 0.0095 -174.2 ??(?) 系统的极坐标图如下： (2) G?s??1 ?1?s??1?2s?解：幅频特性： A(?)?11??21?4?2 相频特性： ?(?)??arctg??arctg2? 列表取点并计算。 ? A(?) 0 1 0 ?0.2 0.91 -15.6 ?0.5 0.63 -71.6 ?0.8 0.414 -96.7 ?1.0 0.317 -108.4 ?2.0 0.172 -139.4 ?5.0 0.0195 -162.96 ??(?) 系统的极坐标图如下： (3) G?s??1 s?s?1??2s?1?1 解：幅频特性： A(?)??1??021?4?2相频特性： ?(?)??90?arctg??arctg2? 列表取点并计算。 ? A(?) 0.2 4.55 -105.6 ?0.3 2.74 -137.6 ?0.5 1.27 -161 ?1 0.317 -198.4 ?2 0.054 -229.4 ?5 0.0039 -253 ??(?) 系统的极坐标图如下： (4) G?s??1 s2?1?s??1?2s?解：幅频特性：A(?)?1?21??21?4?2 相频特性：?(?)??180?arctg??arctg2? 列表取点并计算。 0? A(?) 0.2 22.75 ?0.25 13.8 ?0.3 7.86 -227.6 ?0.5 2.52 -251.6 ?0.6 0.53 -261.6 ?0.8 0.65 -276.7 ?1 0.317 -288.4 ??(?) -195.6 -220.6 系统的极坐标图如下： 5-2 试绘制上题中各系统的开环对数频率特性（伯德图）。 (1)G?s??1 s?s?1??1解：系统为Ⅰ型，伯德图起始斜率为－20dB/dec，在??1s处与L(?)=20lgK=0相交。 1?1环节的交接频率?1?1s，斜率下降20dB/dec，变为-40dB/dec。 ?s?1?系统的伯德图如图所示: (2) G?s??1 ?1?s??1?2s?解：伯德图起始为0dB线， 11?1的交接频率?1?s，斜率下降20dB/dec，变为－20dB/dec。 1?2s21?1的交接频率?2?1s，斜率下降20dB/dec，变为－40dB/dec。 1?s系统的伯德图如图所示。 （3）G?s??1 s?s?1??2s?1?解：系统为Ⅰ型，伯德图起始斜率为－20dB/dec，其延长线在?=1处与L(?)=20lgK=0相交。 11?1的交接频率?1?s，斜率下降20dB/dec，变为－40dB/dec。 1?2s21?1的交接频率?2?1s，斜率下降20dB/dec，变为－60dB/dec。 1?s系统的伯德图如图所示。 (4) G?s??1 2????s1?s1?2s解：系统为错误！未找到引用源。型，伯德图起始斜率为－40dB/dec，其延长线在?=1处与L(?)=20lgK=0相交； 11?1的交接频率?1?s，斜率下降20dB/dec，变为－60dB/dec。 1?2s21?1的交接频率?2?1s，斜率下降20dB/dec，变为－80dB/dec。 1?s系统的伯德图如图所示。 5-3设单位反馈系统的开环传递函数为 G?s??10 s?0.1s?1??0.5s?1?试绘制系统的内奎斯特图和伯德图，并求相角裕度和增益裕度。 解：幅频特性： A(?)?10?1?(0.1?)021?(0.5?)2 相频特性 ?(?)??90?arctg0.1??arctg0.5? ? A(?) 0.5 17.3 ?1.0 8.9 ?1.5 5.3 -135.4 ?2.0 3.5 -146.3 ?3.0 1.77 -163 ?5.0 0.67 ?10.0 0.24 ??(?) -106.89 -122.3 -184.76 -213.7 错误！未找到引用源。系统的极坐标图如图所示。 0?1令??????180，解得?g?4.47s。 Kg?1?1.2，增益裕度： GM=20lgKg?1.58dB。 A（?g）?1错误！未找到引用源。伯德图起始斜率为-20dB/dec,经过点??1s,L(?)?20lgK?20。 ??1s?1处斜率下降为-40 dB/dec，??10s?1处斜率下将为-60dB/dec。 系统的伯德图如下图所示。 ?1令A(?)=1得剪切频率 ?c?4.08s,相角裕度PM=3.94deg。 5-5 已知单位反馈系统的开环传递函数为 G(s)?1 2s(1?s)用MATLAB绘制系统的伯德图，确定L(?)?0的频率?c，和对应的相角?(?c)。 解：命令如下： >> s=tf('s'); >> G=1/((s*(1+s)^2)); >> margin(G2); 程序执行结果如上，可从图中直接读出所求值。 5-6 根据下列开环频率特性，用MATLAB绘制系统的伯德图，并用奈氏稳定判据判断系统的稳定性。 （1）G(j?)H(j?)?10 (j?)(0.1j??1)(0.2j??1)解：命令如下： >> s=tf('s'); >> G=10/(s*(0.1*s+1)*(0.2*s+1)); >> margin(G); 如图，相角裕度和增益裕度都为正，系统稳定。 （2）G(j?)H(j?)?2 2(j?)(0.1j??1)(10j??1)解：命令如下： >> s=tf('s'); >> G=2/((s^2)*(0.1*s+1)*(10*s+1)); >> margin(G); 如图，增益裕度无穷大，相角裕度-83，系统不稳定。 5-7 已知最小相位系统的开环对数幅频特性的渐近线如图所示，试写出系统的开环传递函数，并汇出对应的对数相频曲线的大致图形。 （a） 解：低频段由20lgK?10得，K?10 ?1 ?=2s处，斜率下降20dB/dec,对应惯性环节 1。 0.5s?1由上可得，传递函数G?s??10。 0.5s?1相频特性?(?)??arctg0.5?。 汇出系统的相频特性曲线如下图所示。 （b） 解：低频段斜率为-20dB/dec,对应积分环节。 1s?=2 s?1处，斜率下降20dB/dec,对应惯性环节 1。 0.5s?1?1在剪切频率?c?2.8s处， K?c1?0.5?c22?1，解得K?4.8 传递函数为：G(s)?4.8 s(0.5s?1)（c） 低频段斜率为-40dB/dec,为两个积分环节的叠加 1； 2s?1?0.5s?1处，斜率上升20dB/dec,对应一阶微分环节2s?1； ?2?2s?1处，斜率下降20dB/dec,对应一阶惯性环节 传递函数形式为：G(s)?1 0.5s?1K(2s?1) s2(0.5s?1)22图中所示Bode图的低频段可用传递函数为K/s来描述，则其幅频特性为K/?。取对数，得L1(?)?20lgK?20lg?。 同理，Bode图中斜率为-20dB/dec的中频段可用K1/s来描述，则其对数幅频特性为 2L2(?)?20lgK1?20lg?。由图有，L2(?c)?0dB,则有K1??c。 再看图，由L1(?1)?L2(?1)可解得K??1??c?0.5 综上，系统开环传递函数为G(s)?（参考李友善做法） 系统相频特性：?(?)??180?arctg2??arctg0.5? 曲线如下： 0.5(2s?1) s2(0.5s?1) 5-8 设系统开环频率特性的极坐标图如图5-T-2所示，试判断闭环系统的稳定性。 (a) 解：系统开环稳定，奈氏图包围（-1，0j）点一次，P≠0，所以闭环系统不稳定。 (b) 解：正负穿越各一次，P=2（N+-N-）=0，闭环系统稳定。 (c) 闭环系统稳定。 (d) 闭环系统稳定。 2e??s?5-9根据系统的开环传递函数G(s)H(s）绘制系统的伯德图，并确s(1?s)(1?0.5s)定能使系统稳定之最大?值范围。 解：??0时，经误差修正后的伯德图如图所示。从伯德图可见系统的剪切频率 ?c?1.15s?1，在剪切频率处系统的相角为 ?(?c)??90??arctg?c?arctg0.5?c??168.9? 由上式，滞后环节在剪切频频处最大率可有11.1的相角滞后，即 ?180????11.1? 解得??0.1686s。因此使系统稳定的最大?值范围为0???0.1686s。 5-10 已知系统的开环传递函数为 G(s)H(s）?K s(1?s)(1?3s)试用伯德图方法确定系统稳定的临界增益K值。 解：由G?s?H?s??K1知两个转折频率?1?rad/s,?2?1rad/s。令 s?1?s??1?3s?3K?1，可绘制系统伯德图如图所示。 确定?(?)??180所对应的角频率?g。由相频特性表达式 ??(?g)??90??arctg0.33?g?arctg?g??180? 可得 arctg1.33?g1?0.33?g2?90? 解出 ?g?3?1.732rad/s 在伯德图中找到L(?g)??2.5dB，也即对数幅频特性提高2.5dB，系统将处于稳定的临界状态。因此 20lgK?2.5dB?K?4为闭环系统稳定的临界增益值。 35-11 根据图5-T-3中G(j?)的伯德图求传递函数G(s)。 解：由L(0.1)?0dB知K?1； 由L(1)??3dB知??1是惯性环节由 1的转折频率； s?1? 从1增大到10，L(?)下降约23dB，可确定斜率为?20dB/dec，知系统无其他 惯性环节、或微分环节和振荡环节。 由?(0.1)?0和?(1)??83知系统有一串联纯滞后环节e????s。系统的开环传递函数为 e??sG?s?H?s?? ?s?1?由?(1)?arctg1?180??????83?解得??0.66s。可确定系统的传递函数为 e?0.66sG?s?H?s?? ?s?1?第六章 6-1 试求图6-T-1所示超前网络和滞后网络的传递函数和伯德图。 解：（a），超前网络的传递函数为G?s??RCs，伯德图如图所示。 RCs?1 题6-1超前网络伯德图 （b），滞后网络的传递函数为G?s??1，伯德图如图所示。 RCs?1 题6-1滞后网络伯德图 6-2 试回答下列问题，着重从物理概念说明： （1）有源校正装置与无源校正装置有何不同特点，在实现校正规律时他们的作用是否相同？ （2）如果错误！未找到引用源。型系统经校正后希望成为错误！未找到引用源。型系统，应采用哪种校正规律才能满足要求，并保证系统稳定? （3）串联超前校正为什么可以改善系统的暂态性能？ （4）在什么情况下加串联滞后校正可以提高系统的稳定程度？ （5）若从抑制扰动对系统影响的角度考虑，最好采用哪种校正形式？ 解： （1）无源校正装置的特点是简单，但要达到理想的校正效果，必须满足其输入阻抗为零，输出阻抗为无限大的条件，否则很难实现预期效果。且无源校正装置都有衰减性。而有源装置多是由直流运算放大器和无源网络构成，能够达到较理想的校正效果。 （2）采用比例-积分校正可使系统由I型转变为II型。 （3）利用串联超前校正装置在剪切频率附近提供的相位超前角，可增大系统的相角裕度 ，从而改善系统的暂态性能。 （4）当?减小，相频特性?(?)朝0方向变化且斜率较大时，加串联滞后校正可以提 ?高系统的稳定程度。 （5）可根据扰动的性质，采用带有积分作用的串联校正，或采用复合校正。 6-3 某单位反馈系统的开环传递函数为 G(s)?18 2s?4s?6（1）计算校正前系统的剪切频率和相角裕度。 （2）串联传递函数为Gc(s)?和相角裕度。 （3）串联传递函数为Gc(s)?0.4s?1的超前校正装置，求校正后系统的剪切频率 0.125s?110s?1的滞后校正装置，求校正后系统的剪切频率和 100s?1相角裕度。 （4）讨论串联超前校正、串联滞后校正的不同作用。 ?解： (1) 用MATLAB求得校正前??59.7(?c?3.88rad/s) ?（2）串联超前校正后??70.1(?c?5.89rad/s) ?（3）串联滞后校正后??124(?c?0.0296rad/s) （4）串联超前校正装置使系统的相角裕度增大，从而降低了系统响应的超调量。与此同时，增加了系统的带宽，使系统的响应速度加快。 在本题中，串联滞后校正的作用是利用其低通滤波器特性，通过减小系统的剪切频率，提高系统的相角稳定裕度，以改善系统的稳定性和某些暂态性能。 6-4 设控制系统的开环传递函数为 G(s）?10 s(0.5s?1)(0.1s?1)（1）绘制系统的伯德图，并求相角裕度。 （2）采用传递函数为Gc(s)?0.33s?1的串联超前校正装置。试求校正后系统的相 0.033s?1, 角裕度，并讨论校正后系统的性能有何改进。 ?解：（1）校正前??3.94(?c?4.47rad/s)0.33s?1 （2）加串联超前校正装置Gc(s)?0.033s?1后，??39.8?(?c?16.2rad/s)经超前校正，提高了系统的稳定裕度。 题6-4系统校正前、后伯德图 6-5 单位反馈系统的开环传递函数为 G(s)?4s(2s?1) 设计一串联滞后网络，使系统的相角裕度??40?，并保持原有的开环增益。 解：原系统的相角裕度为??20?。 计 算 未 校 正 系 统 中 对 应 相 角 裕 度 ??2?????180??90?arctg2??40??15??55?时的频率?c2。 解得 ??c2?0.35s1。 当??0.35s?1时，令未校正系统的开环增益为20lg?，故有 20lg?0.35?1.37??20， 于是选， ??10 选定 ?2?1?c??4?0.088 则 ?11????0.0088。 于是，滞后校正网的开环传递函数为G1s?0.088c(s)?10（s?0.0088)?11.4s?1114s?1。 校 验 校 正 后 系 统 的 相 角 裕 度 ??42? 为 为 6-7 单位反馈系统如图6-T-2所示。系统的输入和输出均为转角，单位是（）。对系统进行超前校正，使满足相角裕度大于45，在单位斜坡输入（单位是（）s） ???1?1??1下的稳态误差为，剪切频率小于7.5s。 15解：Go?s??Ks?1，超前校正装置Gc?s??，校正后系统的开环增益为 s?s?1?s?5.7K?3.02?21，??62?(?c?3.02s?1),满足设计要求。 s 6-8 单位反馈系统的开环传递函数为 G(s)?设设计滞后校正装置以满足下列要求： （1）系统开环增益K?8； （2）相角裕度??40。 ?K s(s?1)(0.2s?1)解：当K?8时，画出未校正系统的伯德图。由于伯德曲线自??1rad/s开始以-40dB/dec的斜率与零分贝线交与?c1，故存在下述关系： 20lg8?40 lg?c1/1故 ?c1?8rad/s?2.83s?1。 于是未校正系统的相角裕度为 ??180??90??arctg??arctg0.2???10? 说明未校正系统是不稳定的。 计算未校正系统相频特性中对应于相角裕度为?2?????40?15?55时的频率?c2。 由于 ????2?180??90??artg?c2?arctg0.2?c2?55? 得?c2?0.55s。 当?c2?0.55s时，令未校正系统的开环增益为20lg?，从而求出串联滞后校正装置的系数?。有： ?1?120lg??20lg8?20 lg1/0.55于是选： ??选定： 8?14.5?15 0.551?2?则： ???c4?0.11s?1 ?1?于是滞后网络的传递函数为 1???0.007s?1 Gc(s)?s?0.119s?1? s?0.007136s?1 6-9 设控制系统如图6-T-3所示，系统采用反馈校正。试用MATLAB比较校正前后系统的相角裕度和带宽。 ??17.9，解：未采用反馈校正时，带宽为4.826rad/s。采用反馈校正后，调整KA?2.5， 使K?10，此时??27。带宽为7.426rad/s。可见，采用反馈校正，可提高系统的稳定裕度，并可使带宽增大。系统反馈校正前、后伯德图如图所示。 ??