（Ⅲ）若f(x)的最小值为1，求a的取值范围。

a2ax2?a?220. 解（Ⅰ）f'(x)???, 22ax?1(1?x)(ax?1)(1?x)∵f(x)在x=1处取得极值，∴f'(1)?0,即a?12?a?2?0,解得a?1.

ax2?a?2（Ⅱ）f'(x)?,

(ax?1)(1?x)2∵x?0,a?0, ∴ax?1?0.

①当a?2时，在区间(0,??)上，f'(x)?0,∴f(x)的单调增区间为(0,??). ②当0?a?2时， 由f'(x)?0解得x?2?a2?a,由f'(x)?0解得x?, aa2-a2-a),单调增区间为（，??）. aa∴f(x)的单调减区间为（0，（Ⅲ）当a?2时，由（Ⅱ）①知，f(x)的最小值为f(0)?1;

当0?a?2时，由（Ⅱ）②知，f(x)在x?2?a2?a处取得最小值f()?f(0)?1, aa综上可知，若f(x)得最小值为1，则a的取值范围是[2,??).

21．（本小题满分12分）

y2x25已知双曲线C的方程为2?2?1(a?0,b?0)，离心率e?，顶点到渐近线的

ab2距离为25。 5（I）求双曲线C的方程； (II)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐

????????1近线上，且分别位于第一、二象限，若AP??PB,??[,2]，

3求?AOB面积的取值范围。

9

21．（本小题满分14分）

y2x2已知双曲线C的方程为2?2?1(a?0,b?0),

ab离心率e?525,顶点到渐近线的距离为. 25（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）如图，P是双曲线C上一点，A,B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第

????????1一，二象限.若AP??PB,??[,2],求△AOB面积的取值范围.

3解答一（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点(O,a)到渐近线ax?by?0的距离为25 ，5∴aba2?b2?25ab25,即?, 5c5?ab25?a?2,,??5??c?b?1,?y25?c?x2?1. , 得由?? ∴双曲线C的方程为

?42?ac?5,??c2?a2?b2???（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C的两条渐近线方程为y??2x.

设A(m,2m),B(?n,2n),m?0,n?0.

????????m??n2(m??n),), 由AP??PB得P点的坐标为(1??1??y2(1??n)22?x?1,化简得mn?. 将P点坐标代入44?设∠AOB?2?,?tan(?114??)?2,?tan??,sin??,sin2??. 2225?又|OA|?5m4|OB|?5n?

?S?AOB?111|OA|?|OB|?sin2??2mn?(??)?1. 22? 10

111(??)?1,??[,2], 2?3189由S'(?)?0得??1,又S(1)=2,S()?,S(2)?,

33418当??1时，△AOB的面积取得最小值2，当??时，△AOB的面积取得最大值

记S(?)?33.∴△AOB面积的取值范围是[2,83].

解答二（Ⅰ）同解答一

（Ⅱ）设直线AB的方程为y?kx?m,由题意知|k|?2,m?0.

由{y?kx?my?2x 得A点的坐标为(m2?k,2m2?k), 由{

y?kx?m?my??2x 得B点的坐标为(2?k,2m2?k). 由???AP??????PB?得P点的坐标为(m1??(12?k??2?k),2m1??(12?k??2?k)), 将P点坐标代入y244?x?1得m2(1??)224?k2??. 设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为（0，m）.

S?AOB?S?AOQ?S1?BOQ?2|OQ|?|XA|?12|OQ|?|x8|?12m?(xA?xB) =1m2m(2?k?m2?k)?14m2112?4?k2?2(???)?1. 以下同解答一.

22．（本小题满分12分）

已知数列?xn}满足， x1＝12x＝1n＋11?x,n?N*. ’n???猜想数列{xn}的单调性，并证明你的结论；

(Ⅱ)证明：|x12n?1n?1-xn|≤6(5)。 22题 证（1）由x11?2及x12513n+1?1?x得x2??x4?，x4? n3821

11

由x2?x4?x6猜想：数列?x2n?是递减数列 下面用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，已证命题成立 （2）假设当n=k时命题成立，即x2k?x2k?2 易知x11x2k?3?x2k?12k?0，那么x2k?2?x2k?4?1?x?? 2k?11?x2k?3(1?x2k?1)(1?x2k?3) =

x2k?x2k?2(1?x?0

2k)(1?x2k?1)(1?x2k?2)(1?x2k?3)即x2(k?1)?x2(k?1)?2

也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立 （2）当n=1时，xn?1?xn?x2?x11?6，结论成立 当n?2时，易知0?xn?1?1,?1?xn?1?2,xn?11?x?1

n?12?(1?xn)(1?xn?1)?(1?11?x)(1?x5n?1)?2?xn?1?

n?12?x1xn?1n?1?xxn?n?1?x?1? n1?xn?1(1?xn)(1?xn?1)?2x22x2n-1n?xn?1?（）n?1?xn?2?? 55?（5）x2?x1?12 n-16（5） 12