【金版学案】2016-2017学年高中数学 第一讲 相似三角形的判定及
有关性质章末复习课 新人教A版选修4-1
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[警示·易错提醒]
1．平行线等分线段定理的易错点
定理中的“一组平行线”是指每相邻两条直线间的距离都相等的平行线，若不满足这一条件，则不能使用该定理．
2．使用平行线分线段成比例定理的两个易错点
(1)在使用定理进行证明时，容易以特殊代替一般，与平行线等分线段定理混淆而出错． (2)在利用定理时，不会应用比例的性质而出现计算错误． 3．相似三角形的两个易错点
(1)在判定两个三角形相似时，对判定定理中的“对应”二字把握不准确． (2)对相似三角形的性质理解不透而导致应用错误． 4．直角三角形的射影定理的关注点
由于射影定理得出的结论(等式)较多，在解有较复杂图形的问题时，有时因选不准题目所需的等式，使得问题复杂化．
专题一 三角形相似的判定
1．已知有一角对应相等时，可选择判定定理1或判定定理2.
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2．已知有两边对应成比例时，可选择判定定理2或判定定理3.
3．判定直角三角形相似时，首先看是否可以用判定直角三角形相似的方法来判定，如果不能，再考虑用判定一般三角形相似的方法来判定．
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[例1] 如图所示，F是平行四边形ABCD的一边AD上的一点，且AF＝FD，E为AB的
2中点，EF交AC于G点，O为AC的中点，已知AC＝10.
(1)求证△AGF∽△OGE； (2)求AG的长．
(1)证明：因为O为AC的中点，E为AB的中点， 所以OE∥BC，
又因为BC∥AD，所以OE∥AD， 所以∠FAG＝∠GOE，∠AFG＝∠GBO， 所以△AGF∽△OGE.
(2)解：由(1)知△AGF∽△OGE， 所以＝，
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又AF＝FD，所以AF＝AD，
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由题意知OE＝AD，
2
AFAGOEOGAFAG2所以＝＝.
OEOG3
所以AG＝2.
[变式训练] 已知，如图所示，D为△ABC内一点，连接BD，AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD，连接DE.
求证：△DBE∽△ABC.
证明：因为在△CBE和△ABD中， ∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD，
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所以△CBE∽△ABD. 所以＝，即＝. 又因为在△DBE和△ABC中， ∠CBE＝∠ABD，∠DBC＝∠DBC， 所以∠CBE＋∠DBC＝∠ABD＋∠DBC. 所以∠DBE＝∠ABC.
又＝，所以△DBE∽△ABC. 专题二 相似三角形性质的应用
相似三角形的性质主要有如下几方面的应用： (1)可用来证明线段成比例、角相等； (2)可间接证明线段相等；
(3)为计算线段长度及角的大小创造条件； (4)可计算周长、线段长等．
[例2] 如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC边的垂直平分线EM和AB交于点D，和CA的延长线交于点E.连接AM，求证：AM＝DM·EM.
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BCBEABBDBCABBEBDBCABBEBD
证明：因为∠BAC＝90°，M是BC的中点， 所以AM＝CM，所以∠MAC＝∠C. 因为EM⊥BC，所以∠E＋∠C＝90°. 又因为∠BAM＋∠MAC＝90°， 所以∠E＝∠BAM. 因为∠EMA＝∠AMD， 所以△AMD∽△EMA，
所以＝，所以AM＝DM·EM.
[变式训练] 如图所示，AD，CF是△ABC的两条高线，在AB上取一点P，使AP＝AD，再从点P引一条BC的平行线与AC交于点Q，求证PQ＝CF.
AMEMDMAM2
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证明：因为AD⊥BC，CF⊥AB， 所以∠ADB＝∠BFC.
又因为∠B＝∠B，所以△ABD∽△CBF， 所以＝.
又因为PQ∥BC，所以△APQ∽△ABC. 所以＝，所以＝所以＝.
又因为AD＝AP，所以PQ＝CF. 专题三 函数与方程的思想
在相似三角形中，存在多种比相等的关系，利用这些相等关系，可以构造函数的模型，利用函数的性质解决问题，也可以将相等关系转化为方程的形式，利用方程的思想解决问题．
[例3] 如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A停止，运动速度为每秒2个单位长度，过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y.
ADABCFCBPQAPBCABADAPCFPQAPAB，
PQBC
(1)求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值是多少？ 解：(1)因为DE∥BC， 所以△ADE∽△ABC，所以＝
ADAE. ABAC又因为AB＝8，AC＝6，AD＝8－2x，AE＝y， 8－2xy3所以＝.所以y＝－x＋6，
862自变量x的取值范围是[0，4]． 11?3?(2)S＝BD·AE＝×2x·?－x＋6?＝ 22?2?
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