江西财经大学学士学位毕业论文

5.4.2 VAR的三种计算方法

目前，推算组合风险因子收益分布的方法主要有三种，分别为历史模拟法(Historical Simulation Method)、蒙特卡罗模拟法(Monte Carlo Simulation)和方差-协方差法(Variance-Covariance Approach)，从而决定了三种不同类型的VAR计算方法。木文主要采用方差-协方差法计算。

(1) 历史模拟法⑥

历史模拟法假定回报分布为独立同分布，市场因子的未来波动与历史波动完全一样。其核心在于根据市场因子的历史样本变化模拟证券组合的未来损益分布，利用分位数给出一定置信水平下的VAR估计。具体来讲，它是根据每种资产的历史损益数据计算当前组合的“历史”损益数据，将这种数据从小到大排列，按照置信度1??的水平找到相应的分位点，从而计算出VAR值。该方法的主要优点在于：简单直观，易于解释；它是一种非参数方法，不需要假定回报的统计分布，因而可以较好的处理非正态分布；该方法是一种全值模拟，可有效地处理非线性组合(如包括期权的组合)。缺点在于假定回报的未来变化与历史变化完全一致，服从独立同分布，概率密度函数不随时间而变化(或明显变化)，这与实际金融市场的变化不一致，而且不能提供比样本点中最大损失还要坏的预期损失，使用者所选取的样本大小对预测结果会造成很大的影响。

(2) 蒙特卡罗模拟法

蒙特卡罗模拟法与历史模拟法类似，区别在于蒙特卡罗模拟法不是直接利用每种资产的历史数据来估计风险值，而是得到它的可能分布，并估计分布的参数。然后利用相应的“随机数发生器”产生大量的符合历史分布的可能数据，从而构造出组合的可能损益。在这样得到大量的可能损益后，按照给定的置信水平得到风险值的估计。

该法的优点在于：能产生的大量情景，比历史模拟方法更精确和可靠，是一种全值估计方法，可以处理非线性、大幅波动及厚尾问题；可模拟回报的不同行为(如白噪声、自回归和双线性等)和不同分布。其主要缺点在于：生成的数据序列是伪随机数，可能导致错误结；随机数中存在群聚效应而浪费了大量的观测值，降低了模拟效率；依赖于特定的随机过程和所选择的历史数据；计算量大、计算时间长，比分析方法和历史模拟方法更复杂。

(3) 方差-协方差法

⑥

菲利普·乔瑞（Philippe Jorion），风险价值VAR，北京：第二版北京中信出版社，2005，201-206

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方差-协方差法是VAR计算中最为常用的方法。它假定风险因子收益的变化服从特定的分布(通常是正态分布)，然后通过历史数据分析和估计该风险因子收益分布的参数值，如方差、相关系数等。

6 基于VAR约束的投资组合模型

6.1 Markowitz投资组合模型

在前两章中，我们分别讨论了如何度量证券或证券组合的VAR，以及证券组合的意义。从那里我们知道，进行多样化投资可以分散风险。然而，在一个证券组合中，如果各证券的权重一旦发生变化，证券组合的收益和风险也会随之发生变化。那么，如何确定证券组合中各证券的权重，使得证券组合能在满足一定预期收益率的条件而使风险达到最小，或者使得证券组合在所能承受的风险条件下而使预期收益率最高？为此，Harry. M. Markowitz 在 1952 年建立了如下的证券组合优化模型：

(1) 模型假设

① 投资者都规避风险(risk adverse)。规避风险是指在面对两项预期收 益相同但风险不同的投资时，投资者将选择风险较低的投资。

② 资者都追求效用最大化原则(即投资者都是非满足的)； ③ 投资者仅根据均值、方差以及协方差来选择最佳投资组合； ④ 投资期为一年；

⑤ 资金全部用于投资，但不允许卖空；

⑥ 证券间的相关系数都是-1，不存在无风险证券，即全部证券都存在风险，而且至少有两个证券的预期收益是不同的⑦。

(2) 模型的建立

?maxRp?x1R1?x2R2???xnRn?T?2????min??xx?xxx?x (6.1) ?p12n?12n?s.tx?x???x?112n??其中， RP是证券组合的预期收益率，Ri是证券i的预期收益率，xi是证

2券i在证券组合中的权重，n是证券组合中的证券数目，?p是证券组合的

方差，其开方?p是证券组合的标准差，被用来度量证券组合的风险，是这n种证券的协方差矩阵。

⑦

?王玉霞，证券投资学，东北财经大学出版社，2003，281-282

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由(6.1)得出，给定一个证券组合的预期收益率RP，可以有无穷多种证券组合方式来实现该预期收益率。同样地，对于一个给定的风险水平，也有无穷多种组合方式来实现它。将所有的证券投资组合的期望标准差为横坐标，以期望收益率为纵轴的坐标中，就会生成证券投资组合集合，基本形状如图6-1，我们称这个区域为证券组合的可行集。可行集是这n种证券所能构成的所有证券组合的集合。

期望收益率 O 标准差

图6-1证券组合的可行集

然后根据投资的风险偏好，运用系统工程里的无差异曲线的绘制，可以绘制出一系列的无差异曲线。风险偏好有三种：风险回避型、风险爱好型、风险中立型。而Markowitz模型的假设是风险规避的，所以投资者的风险无差异曲线如图6-2：

R O 标准差

图6-2 风险规避型效用函数

由图6-1和6-2可以求出两图形的交点，这就是(6.1)的解。

6.2 在VAR约束下的投资组合优化模型

Markowitz投资组合模型的矩阵形式：

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?2?mi?np?X??X?? ?maxE?rp??X?R?n?s.t.?xi?1?i?1? (6.2)

当把投资合的风险视为要超过某指定概率的最低回报率时，我们就称该方法为VAR量法，该最低回报率称为该投资组合的VAR。用数学式子表示就是：

P?rp??VaR??? (6.3)

其中?是指定的概率。

假设投资组合的分布是正态分布，由大数定理，(6.3)式可以转化为： VaR??Erp???1????p (6.4) 其中????是标准正态分布的分布函数，用(6.4)式替换Markowitz模型中的风险函数，我们就得到最优均值VAR模型：

??????minVaR??E?r????1????pp?? ?maxE?rp??X?R?n?s.t.?xi?1?i?1??? (6.5)

这是一个双目标规划问题。如果我们已知RP?Erp，则模型(6.5)就变成：

?minVaR??E?rp????1????p???E?rp??X?R ??ns.t.????xi?1??i?1????? (6.6)

这类似于Baumol模型。Baumol用Lagrange乘子法解决了类似模型。但如果投资者所能承受的风险(即VAR)是已知的，则模型(6.5)就变成：

?maxE?rp??X?R??VaR??E?rp????1????p???ns.t.????xi?1??i?1??? (6.7)

将(6.4)变形为：

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