1.2 映射的有关概念
习题1.2
1. 分别计算?1.5?，??1?，??1.5?，?1.5?，??1?，??1.5?.
解 ?1.5??2，??1???1，??1.5???1，?1.5??1，??1???1，??1.5???2. 2.下列映射中，那些是双射? 说明理由. (1)f:Z?Z,f(x)?3x. (2)f:Z?N,f(x)?|x|?1. (3)f:R?R,f(x)?x3?1.
(4)f:N?N?N,f(x1,x2)?x1?x2?1. (5)f:N?N?N,f(x)?(x,x?1).
解 (1)对于任意对x1,x2?Z，若f(x1)?f(x2)，则3x1?3x2，于是x1?x2，所以f是单射. 由于对任意x?Z，f(x)?2?Z，因此f不是满射，进而f不是双射.
(2)由于2,?2?Z且f(2)?f(?2)?3，因此f不是单射. 又由于0?N，而任意x?Z均有f(x)?|x|?1?0，于是f不是满射. 显然，f不是双射.
(3)对于任意对x1,x2?R，若f(x1)?f(x2)，则x1?1?x2?1，于是x1?x2，所以f是单射. 对于任意y?R，取x?(y?1)，这时
1??3f(x)?x?1??(y?1)3??1?(y?1)?1?y，
??33313所以f是满射. 进而f是双射.
(4)由于(1,2),(2,1)?N?N且(1,2)?(2,1)，而f(1,2)?f(2,1)?4，因此f不是单射. 又由于0?N，而任意(x1,x2)?N?N均有f(x1,x2)?x1?x2?1?0，于是f不是满射. 显然，f就不是双射.
(5)由于x1,x2?N，若f(x1)?f(x2)，则(x1,x1?1)?(x2,x2?1)，于是
x1?x2，因此f是单射. 又由于(0,0)?N?N，而任意x?N均有
f(x)?(x,x?1)?(0,0)，于是f不是满射. 因为f不是满射，所以f不是双射.
3.对于有限集合A和B，假定f:A?B且|A|?|B|，证明: f是单射的充要条件是f是满射. 对于无限集合，上述结论成立吗？举例说明.
证(?)因为f是单射，所以|A|?|f(A)|. 由于|A|?|B|，所以|f(A)|?|B|. 又因为B有限且f(A)?B，故f(A)?B，即f是满射.
(?)若f是满射，则f(A)?B. 由于|A|?|B|，于是|A|?|f(A)|. 又因为A和B是有限集合，因此f是单射.
对于无限集合，上述结论不成立. 例如f:N?N，f(x)?2x，f是单射，但f不是满射.
4.设f:A?B,试证明: (1)f?IB?f. (2)IA?f?f.
特别地，若f:A?A，则f?IA?IA?f?f.
证 (1)对于任意x?A，由于f(x)?B，所以(f?IB)(x)?IB(f(x))?f(x)，因此f?IB?f.
(2)对于任意x?A，由于IA(x)?x，所以(IA?f)(x)?f(IA(x))?f(x)，于是有IA?f?f.
由(1)和(2)知，若f:A?A，则f?IA?IA?f?f.
5.试举出一个例子说明f?f?f成立，其中f:A?A且f?IA. 若f的逆映射存在，满足条件的f还存在吗?
解 令A?{a,b,c}，f(a)?f(b)?f(c)?a，即对于任意x?A，f(x)?a，显
然
f:A?A且
f?IA. 而对于任意
x?A，有
(f?f)(x)?f(f(x))?f(a)?a，因此f?f?f.
若f?f?f且f的逆映射f?1存在，由第3题知f?f?f?f?IA，所以
?1?1于是利用定理7有(f?f)?f?(f?f)?IA，f?1?(f?f)?f?1?(f?IA)，
进而IA?f?IA?IA，因此f?IA. 所以若f的逆映射存在，满足条件的f不存在.
6.设f:A?B,g:B?C. 若f和g是满射，则f?g是满射，试证明. 证 因为f是满射，所以f(A)?B. 又因为g是满射，所以g(B)?C. 于是
(f?g)(A)?g(f(A))?g(B)?C，因此f?g是A到C的满射.
另证 对于任意z?C，因为g是满射，于是存在y?B使得g(y)?z. 又因为f是满射，存在x?A使得f(x)?y. 因此，(f?g)(x)?g(f(x))?g(y)?z，所以f?g是A到C的满射.
7.设f:A?B,g:B?C. 试证明: 若f?g是单射，则f是单射. 试举例说明，这时g不一定是单射.
证 对于任意x1,x2?A，假定f(x1)?f(x2)，则显然g(f(x1))?g(f(x2))，即(f?g)(x1)?(f?g)(x2). 因为f?g是单射，所以x1?x2，于是f是单射.
例如A?{a,b}，B?{1,2,3}，C?{?,?,?,?}，令f(a)?1,f(b)?2，
g(1)??,g(2)??,g(3)??，则显然有(f?g)(a)?g(f(a))?g(1)??, (f?g)(b)?g(f(b))?g(2)??, 于是f?g是A到C的单射，但g显然不是单
射.
8.设f:A?B,若存在g:B?A，使得f?g?IA且g?f?IB，试证明: f是双射且f?1?g.
证 因为f?g?IA，而IA是单射，所以f是单射. 又因为g?f?IB，而IB是满射，所以f是满射. 因此f是双射.
由于f是双射，所以f而(f?1?1存在. 因为f?g?IA，于是f?1?(f?g)?f?1?IA.
?f)?g?f?1?IA且IB?g?f?1，所以有f?1?g.
9.设f:A?B,g:B?C.若f和g是双射，则f?g是双射且
(f?g)?1?g?1?f?1.
?1?1证 根据定理4(1)(2)知，f?g是双射. 下证(f?g)?g?f?1. 因为
(f?g)?(g?1?f?1)?f?(g?g?1)?f?1?f?IB?f?1?f?f?1?IA，
(g?1?f?1)?(f?g)?g?1?(f?1?f)?g?g?1?IB?g?g?1?g?IC，
在上面的推导中多次利用了定理7. 由第7题知，(f?g)?1?g?1?f10.设G是集合A到A的所有双射组成的集合，证明 (1)任意f,g?G，有f?g?G.
(2)对于任意f,g,h?G，有(f?g)?h?f?(g?h). (3)IA?G且对于任意f?G，有IA?f?f?IA?f. (4)对于任意f?G，有f?1?1.
?G且f?f?1?f?1?f?IA.
证 (1)由定理5. (2)由定理7. (3)由第3题. (4)由定理4.
11.若A = {a, b, c}, B = {1, 2}, 问A到B的满射、单射、双射各有多少个? 试推广你的结论.
解 将A中的3个元素对应到B中的2个元素，相当于将3个元素分成2部分，共有3种分法; 在计算A到B的满射个数时还需要将B中元素进行排列，共有2种排列方式，于是A到B的满射共有3?2?6个(请自己分别写出A到B的6个满射).
由于|A|?3,|B|?2，所以A到B的单射没有，进而A到B的双射也没有. 假设|A|?m,|B|?n.
(1) A到B的满射 若m?n，不存在满射；若m?n，先将m个元素划分成n个块(参见1.5节)，共有S(m,n)种方式；再将B中元素进行全排列，共有n!种方式，于是A到B的满射共有S(m,n)?n!个.
(2) A到B的单射 若m?n，不存在单射；若m?n，由于B中任意选取m个
m元素，再将其进行全排列都得到A到B的单射，故A到B的单射共有Cn?m!个.
(3)A到B的双射 若m?n，不存在双射；若m?n，此时B中元素的任意一个排列均可得到一个A到B的双射，因此A到B的双射共有m!个.
12.设A, B, C, D是任意集合，f是A到B的双射， g是C到D的双射，令
h:A?C?B?D，对任意(a,c)?A?C,h(a,c)?(f(a),g(c)). 证明:h是双射.
证 对于任意(a1,c1)?A?C，(a2,c2)?A?C，假定h(a1,c1)?h(a2,c2)，即(f(a1),g(c1))?(f(a2),g(c2))，于是f(a1)?f(a2)且g(c1)?g(c2)，根据