线性相关与线性无关：若存在不全为零的常数c1,c2,,cn，使

c1y1(x)?c2y2(x)??cnyn(x)?0恒成立，则称函数组y1,y2,,yn线性相关。否则，线性无关。

§2一阶方程的解法

一阶方程的基本类型：可分离变量的，一阶线性的，齐次方程，可用简单的变量替换转化为基本类型的方程，自变量与因变量互换。（重点是可分离变量的，一阶线性的）

（1）、可分离变量的方程：

（2）、一阶线性方程：

齐次方程，可用简单的变量替换转化为基本类型的方程，自变量与因变量互换

5

§3二阶方程的解法

只研究二阶线性常系数方程：齐次、非齐次

二阶线性常系数方程y???py??qy?f(x)（p,q为常数）

1、

齐次方程（f(x)?0）

特征方程?2?p??q?0，它的两个特征根为?1,?2

⑴若?1??2为实根，通解：y?c1e?1x?c2e?2x（c1,c2为任意常数）

⑵若?1??2为两个实重根，通解：y?(c1?c2x)e?1x（c1,c2为任意常数）

⑶若?1???i?,?2???i?(??0)为两个共轭复根，通解：

y?e?x(c1cos?x?c2sin?x)（c1,c2为任意常数）

2、

非齐次方程（f(x)?0）

因为非齐次方程的通解=相应齐次方程的通解+非齐次的一个特解，齐次方程的通解已经解决，下面只需研究非齐次方程的特解就可以了，求特解的关键：根据非齐次项f(x)的类型及特征根的情况确定特解的类型；其中含有若干个待定系数，代入方程使之成为恒等式，定出其中的系数——待定系数法 （1）若非齐次项的类型是f(x)?e?xpm(x)

特解形式为y*(x)?xkQm(x)e?x，其中k代表?为特征根时的重数。

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?不是特征根，取k?0，此时y*(x)?Qm(x)e?x ?是单重特征根，取k?1，此时y*(x)?xQm(x)e?x ?是二重特征根，取k?2，此时y*(x)?x2Qm(x)e?x

（2）若非齐次项的类型是f(x)?e?x(acos?x?bsin?x) 特解形式为y*(x)?xke?x(ccos?x?dsin?x)，其中c,d是待定系数，其中k代表??i?为特征根时的重数

若??i?不是特征根，取k?0，此时y*(x)?e?x(ccos?x?dsin?x) 若??i?是特征根，取k?1，此时y*(x)?xe?x(ccos?x?dsin?x)

考题类型一：

一阶可分离变量方程的通解及特解：

1、（08-2）微分方程y??2xy的通解y=( ) A Cex B ex?C C x2?C D ex?C

2、（07-7分）求微分方程xy??ylny的通解。

3、（06-2分）微分方程xdy?ylny的通解是（ ） dx22A lny?cx B y?cex C y?cx D lny?lnx?c

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4、（04-2分）微分方程secxdy?1?y2dx的通解。 5、（04-3分）下列微分方程中，可分离变量的是： A dydx?xy?1 B dydx?ex?y C dy?tdx?e?xdx D y??x?y

6、（03-2分）微分方程y??yx满足初始条件y|x?1?2的特解

7、（09-2）微分方程

dydx?e2x?y的通解是（ ） A e2x?ey?c B e2x?12ey?c

C 1e2x?ey?c D e2x2?ey?c

8、（09-2）微分方程y??2x?1y?0的通解是（ ） A y?c(1?x)2 B y?(1?x)2?c C y?(1?x)2?c D y?(1?x)2?c

9、（11-3）微分方程

dydx=ex+y的通解为（ ） A.x-y=c B.ex+ey=c C. e-x+ey=c D. ex+e-y=c

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