讲义 常微分方程

2012年11月

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第四讲、常微分方程

真题分析: 共 个 共 分 年一阶方程 二阶方程 题目数 份 及分值 可分离变量方程的通解及特解 一阶线性方程的通解及特解 常系数方程的通解及特解 11 数一3 数二4 数三3 10 数一 数二1-3 数三1-3 09 数一 数二1-2 数三1-2 08 数一 数二 数三1-2 07 数二1- 7 06 数三1-2 05 数一 数二3 数三 数一 数二1-3 数三 数一1-7 数二1-4 数三1-7 数二1-7 数三1-7 数一1-7 数三1-4 数三1-8 数一1-3 数二1-3 数三1-3 数一2-13 数一1-2 数一1-2 数一1-3 数一1-3 数二2-7 数三1-3 数一2-13 数二2-6 数三1-3 数一2-9 数二2-6 数三2-9 数一1-2 数二1-7 数三2-9 数一2-10 数二1-7 数三1-4 数一1-3 数三2-10 数一2-5 数二2-5 数三2-5 数一1-3 数一1-2 数二1-2 数三1-2 04 数一2-4 数一3-14 数二2-2-3 数二1-10 数一1-10 数二3-15 03 1-2 1-2 1-3 2-5 02 1-2 01 1-10 1-10 注：04年以前不分数一、数二、数三 数一：理工类 数二：财经类 数三：管理、农学类

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常微分方程

§1 微分方程基本概念与线性方程解的性质 1、基本概念

微分方程：未知量是未知函数，施加于未知函数的运算是导数或微分运算，微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数之间的关系式。

微分方程分为常微分方程和偏微分方程。 eg

常微分方程的阶：未知函数的导数的最高阶数 常微分方程的解：

一般的，n阶微分方程的隐式形式为F(x,y,y?,y??,,y(n))?0 ,y(n?1)) ,?(n))?0

显式形式为y(n)?f(x,y,y?,若存在函数y??(x)具有n阶导数，使得F(x,?,??,???,恒成立，则称函数y??(x)是微分方程的一个解。

常微分方程的通解：n阶微分方程中，含有n个独立的任意常数的解

常微分方程的特解：通过初始条件，确定了通解中的常数的解。

线性与非线性：未知函数及其各阶导数作为整体是一次的方程叫线性方程，否则为非线性方程。

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?F(x,y,y?,y??,,y(n))?0??y(x0)?y0?初值问题：n阶方程的初值问题的提法?y?(x0)?y1

??(n?1)?y(x0)?yn?1?2、线性方程解的性质

一阶线性方程： dydy?p(x)y?Q(x) 相应的齐次方程?p(x)y?0 dxdx二阶线性方程：

d2ydy?p(x)?q(x)y?f(x)2dxdxd2y?p(d2xx)d?d相应的齐次方程

yq( （其中系数与非齐次项均为连续函数）x?)y0 x解的迭加原理

①线性齐次方程的解的线性组合仍是线性齐次方程的解。即

y1,y2,则c1y1?c2y2?yn是线性齐次方程的解，?cnyn仍是线性

齐次方程的解。

②线性非齐次方程的两个解之差是相应的齐次方程的解。

③线性非齐次方程的解+相应的齐次方程的解=线性非齐次方程的解

线性方程组解的结构

（1）一阶线性方程的通解：y?cy0(x)?y*(x)，其中y0(x)是相应

的齐次方程的一个非零解；y(x)是非齐次方程的一个特解。

*（2）二阶线性方程的通解：y?c1y1(x)?c2y2(x)?y*(x)，其中

y1(x)、y2(x)是相应的齐次方程的两个线性无关解， y*(x)是非齐次方

程的一个特解。

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