证明：设质量为m2的小球2静止于水平面上，质量为m1的小球1以速度v1与其对心碰撞，并设碰后小球1、2的速度分别为v3、v4，依据动量守恒定律有m1v1?m2?0?m1v3?m2v4 所以v4?m1(v1?v3) ……① m2该碰撞过程系统机械能损失
m111E?m1v12?m1v32?m2v42 将v4?1(v1?v3)代入并整理得
m2222m1m12v1m2E?-(m1?m2)?v3??v3?1(m2?m1)v12 显然机械能损失量E是关于v32m2m22m2的二次函数，其二次项系数小于零。所以当v3?m1v1 时E最大，代入①式知
m1?m2此时v4?m1m1(v1?v3)=v1?v3 故碰后两球等速，即合为一体。 m2m1?m2例题26． 以弹簧振子为例，分析简谐运动过程的位移、恢复力、加速度、速度、动量、动能、
势能、机械能的变化情况。
解析：简谐运动过程八个物理量变化可用如下的菱形图所示。其中A、O、C分别表示弹簧振子（泛指简谐运动）的最大位移处和平衡位置，如果振子从A向O运动，则
122kx12AB的降势反映了振子x、kx、、kx的变化趋势，
m21212AO的水平态势反映了振子机械能mv?kx守恒，
22AD的升势反映了振子v、mv、mv的变化趋势，
同理从O向C的运动过程分别用DC、BC、OC表示其变化趋势。
显然振子在平衡位置O处时速度、动量、动能最大；在A(C)处时位移、回复力、加速度、振动势能最大，振动过程机械能保持不变。
例题27．铁道上每根钢轨长12.5 m，若支持车厢的弹簧和车厢组成的系统固有周期为0. 5s，那么当列车以_________速度行驶时，车厢振动最厉害。
解析：列车行驶过程每当车轮滚动至两节钢轨缝隙处就会受到向列车后上方的冲击力，这种
T驱?冲击力的驱动作用周期
12.5v车，列车在该力作用下做受迫振动，当驱动力的周期与振动系
统的固有周期相等时就发生了共振，车厢振动得最厉害。
令
T驱=T固=0.5 所以
v车=S212.5=25（ms）0.5
例题28．在同一均匀介质中有
S1、两个波源，这两个波源的频率、振动方向均相同，且振
动步调完全一致，在该连线上除
S1、
S2之间相距8m（已知波长?=4m），O点为
S1、
S2连线的中点，求
S1、
S2两波源外振动幅度最大的点的位置？
解析：因为两个波源同相位，所以连线中点O必为振动加强点，且两边各距离中点
??2=2m4处也为振动加强点，振动幅度最大。
例题29．水平向右的匀强电场场强未知，悬点O有一长为l的细线下端系质量为m、电量为+q小球。把小球拉到水平位置A由静止释放，小球摆到C点，即由C点重新摆回。如图所示，已知OC与竖直方向成30°角，求小球在运动过程中的最大速度。
解析：分析知小球平衡位置必在?AOC平分线上，即在竖
0直线右侧30处。所以qE?mg?tg30 在该位置（图中B
0点）时小球势能最小，故动能最大。对从A到B过程依动能定理有 mglsin60?qElcos60?001mvB2?0 将qE?mg?tg300代入解得 2vB?23gl 3例题30-1．如图6所示，在边界为CD、EF的狭长区域内，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸而向里，磁场区域宽度为d，电子以不同的速率v 从边界CD的S处沿垂直磁场方向射入磁场，入射方向与CD的夹角为θ．已知电子的质量为m，带电量为e。为使电子能从另一边界EF射出，电子的速率应满足什么条件（不计重力）？
解析：由，可知当m、e、B一定时，速率v大则轨迹半径R亦大。
设当电子以速率v0射入磁场时，其运动轨迹恰好与边界EF相切，则有
……①
圆心确定：过S点做V0垂线必过圆心；做V0与EF夹角平分线必过圆心。可得圆心O，从而画出电子的轨迹（如图7所示）。
由图7，运用几何知识不难发现
②
由①、②解得
例题30-2．（2004年广东省高考试题）如图9所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B=0．60T，磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离l=16cm处，有一个点状的α放射源S，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v=3．0×106m/s，已知α粒子的电荷与质量之比q/m=5．0×107C/kg，现只考虑在图纸平面中运动的α粒子，求ab上被α粒子打中的区域的长度。
解析：α粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用R表示轨道半径，有qvB=mv2/R，
由此得 R=mv/qB，代入数值得R=10cm。
可见，2R>l>R，如图9所示，因朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S，由此可知，某一圆轨迹在图中N左侧与ab相切，则此切点P1就是α粒子能打中的左侧最远点。为定出P1点的位置，可作平行于ab的直线cd，cd到ab的距离为R，
以S为圆心，R为半径，作弧交cd于Q点，过Q作ab的垂线，它与ab的交点即为P1。
，
再考虑N的右侧。任何α粒子在运动中离S的距离不可能超过2R，以2R为半径、S为圆心作圆，交ab于N右侧的P2点，此即右侧能打到的最远点。 由图中几何关系得
，所求长度为 P1P2=NP1+NP2，代入数值得 P1P2=20cm。
点评：本题给定带电粒子在有界磁场中运动的入射速度的大小，其对应的轨迹半径也就确定了。但由于入射速度的方向发生改变，从而改变了该粒子运动轨迹图，导致粒子的出射点位置变化。在处理这类问题时重点是画出临界状态粒子运动的轨迹图（对应的临界状态的速度的方向），再利用轨迹半径与几何关系确定对应的出射范围。 例题31-1．阻性负载时电源最大输出功率的求解。
P出?IR?(2?R?r)R?2?2R(R?r)2?4Rr??2(R?r)2?4rR
解法一、电源的输出功率为
当R=r时，P出有最大值，即
Pm??24R??24r
解法二、电源输出功率为
P出?IR?(2?R?r)R?2?2r(Rr?)R?rR?r 因为RR?rr?0R?r 0
RrRr??1?R?rR?r为定值 所以当R?rR?r时 P出有最大值，
即
Pm??24r
解法三、电源输出功率为
P出?Iu?I?(??Ir)?-rI??I?02I?? 显然当
??2r??2r 时
P出有最大值，即
Pm??24r
Ir(??Ir)r
解法四、电源输出功率为
P出?Iu?I?(??Ir)?因为Ir0 (??Ir)0 Ir?(??Ir)??为定值，所以当Ir?(??Ir)时
P出有最大值，即
Pm??24r
解法五、电源输出功率为
?P出?Iu??-u1?u??u2?u?0rrr 所以当
u??r12(?)r??2 时
P出有最大值，即
Pm??24r
P出?Iu??-uru?解法六、电源输出功率为
(??u)ur 因为(??u)0 u0
(?-u)?u??为定值 所以当(??u)?u时
P出有最大值，即
Pm??24r
解法七、电源输出功率为