G的大小和方向都不变；斜面对球体的弹力N（解法一中的N1）方向不变，大小可变，暂称为“单变力”； 挡板对球体的弹力F（解法一中的N2）方向随挡板逆时针转动而转动暂称为“双变力”，画出其矢量三角形如图所示.在这变化过程中，由图直接可以看出，N一直减小，而F先减小后增大.当F与N垂直（解法一中?=90）时，F的值最小；当F转至竖直向上（挡板水平，即解法一中?=180-?）时，N减小到零，F大小等于G。
例题18-2. 如图17-2所示，将一物体用两根等长OA、OB悬挂在半圆形架子上，B点固定不动，在悬挂点A由位置C向位置D缓慢移动的过程中，物体对OA绳的拉力变化是（ ） A.由小变大 B.由大变小 C.先减小后增大 D.先增大后减小
解析：在进行动态分析时，首先找到不变的恒力和力发生变化的临界点
悬挂点A由位置C缓慢移动的过程中，每个位置都处在平衡状态，合力为零。
以结点O为研究对象，受三个力的作用而处于平衡状态，因此三个力必构成一个闭合矢量三角形。因重力的大小和方向始终不变，BO绳的拉力方向不变，在AO绳由位
TB 置C到D移动过程中可以做出一系列的闭合的三角形，如图4所示。由图可知
TA1 OB绳的拉力由小变大，OA绳的拉力由大变小，当OA垂直于OB时绳OA的
拉力达到最小值，此时，绳OA的接力由减小到增大的临界点。则C正确。 TA2 【思维总结】作矢量图时，每个三角形所表示重力边的长度、方向都不变，TB
TA3
的方向不变，然后比较做出的各个三角形表示有哪些不同。要特别注意是否存G TA4 在极值和临界点，这是判断力变化的关键。
图4
例题19． 一个质点在F1和F2两个力的作用下，沿与F1成30°角的直线运动，已知F1＝10N，要使F2为最小值，F2应该等于多少
解析 ：物体由静止开始做直线运动，合力方向一定是物体运动方向。所以将F1正交分解成一个沿运动方向与一个垂直运动方向的力。此时，垂直运动方向的分力必须得抵消掉，即F2大于等于F1的垂直运动方向分力，所以F2最小值为5N，方向是垂直运动方向。 例题20． 证明小船渡河速度垂直于水流速度时渡河时间最短。 证明 设河宽为d，船速为v，船速与水速夹角为? 则渡河时间
00t?
dd0 显然当 ?=90时tmin? （如下图所示）
vsin?v
例题21． 证明 如果小船速度大于水流速度时，小船渡河的最短航程即为河流宽度。
解析；小船“斜逆航行”渡河，且船速逆向上行的分位移与水流引起小船漂流的分位移抵消， 即船逆向上行的分速度与水的漂流速度抵消，所以小船的合速度与河岸垂直，到达对岸时的位移即是河宽。（如下图所示）
例题22． 证明如果小船速度小于水流速度时，船速垂直于合速度时小船渡河的航程最短。
解法一（正弦函数法）；
如图所示，取水流方向为X轴正向，小船初始位置为坐标原点，设水速、船速分别为vs、vc船速与X轴负方向所夹锐角为?
河流宽度为d，渡河后到达彼岸P点，则航程s?d2?x2 而x?vs?t?vccos??t?(vs?vccos?)?d
vcsin?变形为 xvcsin??vcdcos??vsd 再变形为
x2?d2(xx2?d2sin??ddx2?d2cos?)?vsd vc令xx?d22=cos?
x?d22=sin?
（?+?）?则上式变为x?dsin22vsv1d 所以S?sd? vcvcsin(???)vsd（如下图所示） vc0显然当?+?=90（即船速垂直于合速度）时 Smin?解法二（矢量图解法）：
如图所示，船速（图中矢量圆半径）大小一定，方向可以调整变化，而水速（大小方向均一定）与船速的合速度与AB夹角越大，则渡河航程越大（即到达彼岸的位置举B点越远），只有当合速度与该矢量圆相切时航程最短。
小船渡河两类问题的三种矢量图比较
例题23． 如图所示，工人师傅想把一个重800N的油桶滚上一个台阶，他沿最省力的方向推动油桶，在图中画出这个力和它的力臂。
解析： 上滚过程必以台阶边缘O为转轴，故过O点做直径OP，过P点做OP的垂线PA。则OP为力臂，沿PA即为所加拉力方向。 例题24．甲车在平直公路上以v1匀速行驶，乙车在甲车后面距离甲车ｓ处以更大的速度v2同向匀速行驶，为确保甲乙两车不相撞，在甲车仍以v1匀速行驶的情况下，乙车做匀减速直线运动的加速度大小至少为多少。
解析：以甲车为参照物，乙车初速为v2?v1，临界状态时末速为０，匀减速运动的加速度大
(v2?v1)2小为a，位移为ｓ，则有0?(v2?v1)?2(?a)s 解得a?
2s225例题24．一列火车总质量m=500t，机车发动机的额定功率pe?6?10w，行驶时轨道对列车
的阻力f是车重的0.01倍，求（1）列车行驶的最大速度.（2）若从静止开始保持a?0.5m的加速度匀加速运动的最长时间。
解析：（1）列车加速的加速度减小至a=0时速度最大，设为vmax则pe?f?vmax
s2pe6?105??12m 所以vmax=3sf0.01?500?10?10（2）机车瞬时功率pt?F?vt?(ma?f)?at?pe
pe6?105??4s 所以t?(ma?f)?a(500?103?0.5?0.01?500?103?10)例题25． 试证明完全非弹性碰撞中的机械能损失最大。