2. 如图所示，一平面简谐波沿Ox轴的负方向传播，波速大小为u，若P处介质质点的振动方程为 yP?Acos(?t??)，求 (1) O处质点的振动方程；
(2) 该波的波动表达式；
(3) 与P处质点振动状态相同的那些点的位置．
解：(1) O处质点的振动方程为 y0?Acos?[(t? (2) 波动表达式为 y?Acos?[(t? (3) x = -L ? k
2?uLuu)??] )??]
PLOux
x?L? ( k = 1，2，3，?)
3. 如图所示，一简谐波向x轴正向传播，波速u = 500 m/s，x0 = 1 m, P点的振动方程为 y?0.03cos(500?t?12?)(SI).
y (m)uPOx0x (m)(1) 按图所示坐标系，写出相应的波的表达式； (2) 在图上画出t = 0时刻的波形曲线．
解：(1) ??u/??(500/250)m?2 m
波的表达式 y(x,t)?0.03cos[500?t?1??(x?1)2?/?]
2?0.03cos[500?t?1??(x?1)2?/2]
22y (m)0.031P-0.032x (m)u
?0.03cos(500?t?1???x) (SI)
(2) t = 0时刻的波形曲线 - 2 - 1 O y(x,0)?0.03cos(1???x)?0.03sin?x (SI)
2
4. 一微波探测器位于湖岸水面以上0.5 m处，一发射波长21 cm的单色微波的射电星从地平线上缓慢升起，探测器将相继指出信号强度的极大值和极小值．当接收到第一个极大值时，射电星位于湖面以上什么角度？
解：如图，P为探测器，射电星直接发射到P点的波①与经过湖面反射有相位突变?的波②在P点相干叠加，波程差为 ??O?P?DP?12hsin?hsin????cos2???2
25
= ?k = ? （取k = 1） h(1?cos2?)?12?sin?
①D??∵ cos2??1?2sin2? ②??Ph
∴ 2hsin??12?
O′ sin???/(4h)?0.105 ? = 6°
5. 设入射波的表达式为 y1?Acos2?(端．设反射时无能量损失，求
(1) 反射波的表达式； (2) 合成的驻波的表达式； (3) 波腹和波节的位置．
解：(1) 反射点是固定端，所以反射有相位突变?，且反射波振幅为A，因此反 射波的表达式为 y2?Acos2[?(x/??t/T)??] (2) 驻波的表达式是 y?y1?y2
(?x/?? ?2Acos212?)cos2(?t/T?12?)
x??tT)，在x = 0处发生反射，反射点为一固定
(3) 波腹位置： 2?x/?? x?12(n?12121??n?,
)?, n = 1, 2, 3, 4,?
12?
2 波节位置： 2?x/?? x?12??n??n? , n = 1, 2, 3, 4,?
?2s.6?x)cos550?t (SI)． 6. 一弦上的驻波表达式为 y?3.00?10(co1 (1) 若将此驻波看作传播方向相反的两列波叠加而成，求两波的振幅及波速；
(2) 求相邻波节之间的距离； (3) 求t = t0 = 3.00310-3 s时，位于x = x0 = 0.625 m处质点的振动速度．
解：(1) 将 y?3.00?10?2cos1.6?xcos550?t
与驻波表达式 y?2Acos(2?x/?)cos(2??t) 相对比可知： -2
A = 1.50310 m, ? = 1.25 m， ? = 275 Hz 波速 u = ?? = 343.8 m/s (2) 相邻波节点之间距离 ?x?12?= 0.625 m
26
(3) v??y?tx0,t0??46.2 m/s
7. 如图7所示，一平面简谐波沿x轴正方向传播，BC为波密媒质 B 入射 的反射面．波由P点反射，OP = 3? /4，DP = ? 6．在t = 0时，O处质点的合振动是经过平衡位置向负方向运动．求D点处入射波与反射波的合振动方程．（设入射波和反射波的振幅皆为A，频
x O D P 反射 C 图7 率为?．）
解：选O点为坐标原点，设入射波表达式为 y1?Acos2[?(?t?x/?)??] 则反射波的表达式是 y2?Acos2[?(?t?OP?DP?x
合成波表达式（驻波）为 y?2Acos(2?x/?)cos(2??t??) 在t = 0时，x = 0处的质点y0 = 0， (?y0/?t)?0， 故得 ??12?)????]
?
因此，D点处的合成振动方程是
3?/4??/6?y?2Acos(2?)cos(2??t?)?3Asin2??t
?2
8. 一弦线的左端系于音叉的一臂的A点上，右端固定在B点，并用T = 7.20 N的水平拉力将弦线拉直，音叉在垂直于弦线长度的方向上作每秒50次的简谐振动（如图）．这样，在弦线上产生了入射波和反射波，
B O 并形成了驻波．弦的线密度? = 2.0 g/m， 弦线上的质点离开
A L 其平衡位置的最大位移为4 cm．在t = 0时，O点处的质点经
过其平衡位置向下运动，O、B之间的距离为L = 2.1 m．试求：
(1) 入射波和反射波的表达式； (2) 驻波的表达式．
解：按题意，弦线上行波的频率??= 50 Hz，波速u = (T/?)1/2 = 60 m/s，波长? = u/? = 1.2 m. 取O点为x轴和y轴的原点．x轴向右，y轴向上．令入射波在B点的初相为?B?[??t?其表达式为 y1?Acos22?(x?L)??B??2] ①
2?(x?L)??B??2] ②
12?，则
?[??t?B点为固定点，则反射波的表达式为 y2?Acos2?弦线上驻波表式为 y?y1?y2?2Acos[[据此，O点振动方程为 y0?2Acos?2??2?(x?L)?L???2]cos[2??t??B] ③
]cos2[??t??B]
?2(?vt??B)?2Acos2(?vt??B??) 由L/??7/4有 y0??2Acos2 27
④
由③式可知弦线上质点的最大位移为2A，即 2A = 4 cm 再由题给条件可得④式中 ?B???由此可得：
入射波： y1?2.0?10?2cos1[00?t? 反射波： y2?2.0?10?2cos[100?t? 驻波： y?4.0?10?2cos
9．一声源S的振动频率为?S = 1000 Hz，相对于空气以vS = 30 m/s的速度向右运动，如图．在其运动方向的前方有一反射面M，它相对于空气以v = 60 m/s的速度向左运动．假设声波在空气中的传播速度为u = 330 m/s，求：
(1) 在声源S右方空气中S发射的声波的波长； (2) 每秒钟到达反射面的波的数目； (3) 反射波的波长．
解：(1) 设一接收器R静止于空气中，声源S以vS速率接近接收器R，则由多普勒效应公式可知，R接收到的声波频率 ??uu?vSSvSvM12?， 即 ?B?32?
?x0.6?x0.6???2?] (SI)
] (SI) ) (SI)
?x0.6cos(100?t?2?2?S?330330?30 Hz ?1000?1100则 ??u/??330/1100 = 0.30 m
(2) 每秒钟到达反射面处波的数目在数值上等于反射面处接收到的波的频率??．由多普勒效应公式有： ???u?vu?vS?S?330?60330?30u?1000?1300 Hz
(3) 接收器接收到反射面的反射波的频率 ?R?反射波的波长 ?R
四 研讨题
1. 波传播时，介质的质元并不随波迁移。但水面上有波形成时，可以看到漂在水面上的树叶沿水波前进的方向移动。这是为什么？ 参考解答：
如图所示，当水面上有波形成时，表面上水的质元是在平行于波传播方向的竖直平面内做圆周运动（不是上下的简谐运动）。这是因为，水波传过时，波峰处的水面比原来高了，波谷处的水面比原
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u?vuu?v330?60????0.21 m ?R??1300??