?0???drdi?0?i（显然i是大小与方向均不随时间改变的常矢量）只有在直线运动中，r??0,dtdt速度的大小才等于
drdt.对加速度的大小a?drdt22也可以用同样方法加以讨论.
第2章 质点力学的运动定律 守恒定律
一、选择题
1(C)，2(E)，3(D)，4(C)，5(C)，6(B)，7(C)，8(C)，9(B)，10(C)，11(B)，12(A)，13(D) 二、填空题
(1). ?2=12rad/s，A=0.027J (2). 290J (3). 3J (4). 18 N2s
??(5). 2t3i?2tj (SI)
3(6). 16 N2s， 176 J (7). 16 N2s ，176 J (8). l0k/M，
Ml0M?nmkM
(9). 63.2 N
(10). (2 m，6 m)； (-4 m，2 m)和(6 m，8 m)； 2 m和6 m. 三、计算题
1. 已知一质量为m的质点在x轴上运动，质点只受到指向原点的引力的作用，引力大小与质点离原点的距离x的平方成反比，即f??k/x2，k是比例常数．设质点在 x=A时的速度为零，求质点在x=A /4处的速度的大小．
解：根据牛顿第二定律 f??kx2?mdvdt2?mvdvdx?dxdtA/4?mvdvdx
∴ vdv??k
12v2dxmx?km,(4?vdv??0?Akmx2dx
A?1A)?3mAk
∴ v?6k/(mA)
2. 质量为m的子弹以速度v 0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为Ｋ，忽略子弹的重力，求：
(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式； (2) 子弹进入沙土的最大深度．
解：(1) 子弹进入沙土后受力为－Ｋv，由牛顿定律
5
?Kv?mKmdt?dvv,dvdt
t∴ ???m0Kvdt?v0?dvv
∴ v?v0e?Kt/m (2) 求最大深度 解法一：
v?dxdtt
dx?v0e?Kt/mdt
x
?0dx??0v0e?Kt/mdt
∴ x?(m/K)v0(1?e?Kt/m)
xmax?mv0/K
dvdt?m(mKdvdx)(
dxdt)?mvdvdx解法二： ?Kv?m
∴ dx??xmaxdv
0
?dx???0mKdv
v0∴ xmax?mv0/K
3. 如图，用传送带A输送煤粉，料斗口在A上方高h＝0.5 m处，煤粉自料斗口自由落在A上．设料斗口连续卸煤的流量为qm＝40 kg/s，A以v＝2.0 m/s的水平速度匀速向右移动．求装煤的过程中，煤粉对A的作用力的大小和方向．（不计相对
h A ?v 传送带静止的煤粉质重）
解：煤粉自料斗口下落，接触传送带前具有竖直向下的速度
v0?2gh
y 设煤粉与A相互作用的?t时间内，落于传送带上的煤粉质量为 ?m?qm?t
fy?t ? 设A对煤粉的平均作用力为f，由动量定理写分量式： ?f?t ??fx?t x fx?t??mv?0 fy?t?0?(??mv0)
将 ?m?qm?t代入得 fx?qmv， fy?qmv0 ∴ f?? f与x轴正向夹角为? = arctg (fx / fy ) = 57.4°
? 由牛顿第三定律煤粉对A的作用力f′= f = 149 N，方向与图中f相反．
fx?fy?149 N
22
6
4. 有一水平运动的皮带将砂子从一处运到另一处，砂子经一竖直的静止漏斗落到皮带上，皮带以恒定的速率v水平地运动．忽略机件各部位的摩擦及皮带另一端的其它影响，试问：
(1) 若每秒有质量为qm=dM/dt的砂子落到皮带上，要维持皮带以恒定速率v运动，需要多大的功率？
(2) 若qm=20 kg/s，v＝1.5 m/s，水平牵引力多大？所需功率多大？
解：(1) 设t时刻落到皮带上的砂子质量为M，速率为v，t+dt时刻，皮带上的砂子质量为M+dM，速率也是v，根据动量定理，皮带作用在砂子上的力F的冲量为：
Fdt?(M?dM)v?(Mv?dM?0)?dM?v ∴ F?vdM/dt?v?qm 由第三定律，此力等于砂子对皮带的作用力F?，即F?=F．由于皮带匀速 运动，动力源对皮带的牵引力F″=F， 因而， F? =F，F?与v同向，动力源所供给的功率为： P?F?v?v?vdM/dt?v2qm????
(2) 当qm＝dM/dt=20 kg/s，v＝1.5 m/s 时，水平牵引力
F?＝vqm=30 N 所需功率 P=v 2qm=45 W
5.一链条总长为l，质量为m，放在桌面上，并使其部分下垂，下垂 一段的长度为a．设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为?．令链条由静止开始运动，则
(1)到链条刚离开桌面的过程中，摩擦力对链条作了多少功？ (2)链条刚离开桌面时的速率是多少？
解：(1)建立如图坐标.
某一时刻桌面上全链条长为y,则摩擦力大小为 l?a f??m摩擦力的功 Wf? =
?mg2lylg
y a l?a a ?y0l?afdy??0l?a?mlgydy
220l?a =??mg2l(l?a)
122x 2
(2)以链条为对象，应用质点的动能定理 ∑W＝mv?12mv0
2其中 ∑W = W P＋Wf ，v0 = 0 WP =?Pdx=?allmglaxdx?mg(l?a)2l22
由上问知 Wf??所以
mg(l?a)2lgl22?mg(l?a)2l?2
2?mg2l2(l?a)?122mv
2得 v?
?(l?a)??(l?a)?12
7
6.小球A，自地球的北极点以速度v0在质量为M、半径为R的地球表面水平切向向右飞出，如图所示，地心参考系
?中轴OO＇与v0平行，小球A的运动轨道与轴OO＇相交于距O为3R的C点．不考虑空气阻力，求小球A在C点
??的速度v与v0之间的夹角?．
?AmMOR v0CO＇?? v?
解：由机械能守恒：
22 1mv0?GMm/R?1mv?GMm/(3R) ①
22根据小球绕O角动量守恒： Rmv0?3Rmvsin? ② ①、②式联立可解出． sin??9vv020
?12GM/R
7.质量为mA的粒子A受到另一重粒子B的万有引力作用，B保持
?在原点不动．起初，当A离B很远( r = ∞)时，A具有速度v0，
A v0?方向沿图中所示直线Aa，B与这直线的垂直距离为D．粒子A由
D于粒子B的作用而偏离原来的路线，沿着图中所示的轨道运动．已
知这轨道与B之间的最短距离为d，求B的质量mB．
解：A对B所在点的角动量守恒．设粒子A到达距B最短距离为d时的速度为v． DmAv0?mAvd， v?Dv0/d A、B系统机械能守恒(A在很远处时， 引力势能为零)
22 1mAv0?1mAv?GmAmB/d
adB v?
2222解得 v?v0?2GmB/d
222∴ mB?(D?d)v0/(2Gd)
???28. 一个具有单位质量的质点在随时间 t变化的力F?(3t?4t)i?(12t?6)j (SI) 作用下运动．设该质点在t = 0时位于原点，且速度为零．求t = 2秒时，该质点受到对原点的力矩和该质点对原点的角动量．
??解： 以下各式均为SI式 m = 1，F?ma，
??????22 F?(3t?4t)i?(12t?6)j， a?(3t?4t)i?(12t?6)j
???∵ a?dv/dt，t = 0时，v0?0
?∴ ?dv?0?v?a?dt?0t???[(3t?4t)i?(12t?6)j]dt
20t???322 v?(t?2t)i?(6t?6t)j
???∵ v?dr/dt， t = 0时， r0?0
t??1423??32∴ r??vdt?(t?t)i?(2t?3t)j
430????????F?4i?18j r??4i/3?4jv?12j当t = 2 s时 ，,
8