湖南大学大学物理练习册答案(一、二两册全) 下载本文

(附:麦克斯韦速率分布律

解:

?NN?4π4π((m2kTvvp?NN?4π(m2kT)3/2exp(?mv22)v?v.exp{a}即e )

a

2kT)23/2exp?(vvpmv22kT)}2)v?v ?vvp2 ?)exp{?(.

代入 v =vp. 与v p相差不超过1%的分子是速率在vp?vp100 ?v = 0.02vp,

到vp?vp100区间的分子,故

∴ ?N / N = 1.66%.

5. 由N个分子组成的气体,其分子速率分布如图所示. N f ( v ) (1) 试用N与v0表示a的值. (2) 试求速率在1.5v0~2.0v0之间的分子数目. (3) 试求分子的平均速率.

O a v v0 2v0 解:(1) 由分布图可知: 0→v 0: N f (v) = ( a / v 0) v, f (v) = av /(N v 0). v 0→2 v 0: N f (v) = a, f (v) = a /N. 2v 0 f (v) = 0

?v02v00

由归一化条件?f(v)dv?1, 有

0?(av/Nv0)dv?v0?a/Ndv?1,

得: ( 3 /2 ) ( av 0 /N ) = 1 , ∴ a = ( 2 /3 ) ( N /v 0).

2v02v0 (2) ?N?32?v0Nf(v)dv?32?v0NaNdv?12av0,

将a代入得 ?N?12v0?2N/(3v0)?13N.

2 (3) 0→v 0: f (v) = a v /(N v 0) = (v / N v 0)32 N / (3 v 0) ?2v/(3v0).

v 0→2 v 0: f (v) = a /N = ( 1 / N )3( 2 N / 3 v 0) = 2 / (3 v 0).

?v02v020 v??vf(v)dv?0?v?2v/(3v)dv?0v0?v?2/(3v0)dv ?29v0?v0=11 v 0 /9

6. 一显像管内的空气压强约为1.0310 mmHg,设空气分子的有效直径d = 3.0310 (空气的摩尔质量28.9310?3 kg/mol, 玻尔兹曼常量k = 1.38310?23 J2K?1 760 mmHg = 1.0133105 Pa)

45

?5

?10

m,

试求27℃时显像管中单位体积的空气分子的数目、平均自由程和平均碰撞频率.

解:(1) n? (2) ??vpkT?3.22310 m

17

?3

kT2πdp2?7.8 m

(3) Z???8RT?Mmol1??60 s.

?1

四 研讨题

1. 比较在推导理想气体压强公式、内能公式、平均碰撞频率公式时所使用的理想气体分子模型有何不同?

参考解答:

推导压强公式时,用的是理想气体分子模型,将理想气体分子看作弹性自由质点;在推导内能公式时,计算每个分子所具有的平均能量,考虑了分子的自由度,除了单原子分子仍看作质点外,其他分子都看成了质点的组合;推导平均碰撞频率公式时,将气体分子看成有一定大小、有效直径为d的弹性小球。

2. 速率分布分布函数假设气体分子速率分布在0~∞范围内, 也就是说存在大于光速c的分子。然而,由爱因斯坦的狭义相对论知,任何物体的速度均不会超过光速,这岂不是矛盾? 气体中有速率为无穷大的分子吗?

参考解答:

?(1) 分布函数归一化条件:?f(v)dv?1

0?(2) 平均速率: v??vf(v)dv

0在以上积分计算中,均假定气体分子速率分布在0→∞范围内,也就是说有速率为无穷大的分子存在,而这与爱因斯坦的狭义相对论任何物体的速率均不可超过光速矛盾.历年来,学生学到这部分内容,总对上面积分中积分限的正确性提出质疑. 那么,气体中是否存在速率为无穷大的分子呢?

从麦克斯韦速率分布函数f(v)的物理意义及其数学表示式上可方便快捷地得到正确的结论. 分析如下.从物理意义上讲, f(v)代表速率v附近单位速率区间内的分子数所占的比率,要分析是否有速率为无穷大的分子存在,只需计算速率v取∞时的f(v)即可,有

3?m?2?mv2/2kT2f(v)?4?v?0 ??elimlim2?kTv??v????上式说明,速率在无穷大附近的分子数占总分子数的比率为0,即不存在速率无穷大的分子。 既然不存在速率为无穷大的分子,那么正确的积分应选为0到最大速率vmax区间. 为什

么选0→∞范围、能否得知一个热力学系统分子运动的最大速率呢?

由微观粒子的波粒二象性及不确定关系可知:分子最大速率的准确值实际上是不可知的。

46

而从数学上讲,对某个区间的积分运算可以分段进行,或者说加上一个被积函数为0的任意区间的积分,并不影响原积分结果。

3. 试用气体的分子热运动说明为什么大气中氢的含量极少?

参考解答:

气体的算术平均速率公式: v?8RTπ??1.60RT?,

在空气中有O2,N2,Ar,H2,CO2等分子,其中以H2的摩尔质量最小.从上式可知,在同一温度下H2的v的较大,而在大气中分子速度大于第二宇宙速度11.2公里/秒时,分子就有可能摆脱地球的引力作用离开大气层.H2摩尔质量? 最小,其速度达到11.2公里/秒的分子数就比O2、Ar、CO2达到这一速度的分子数多。H2逃逸地球引力作用的几率最大,离开大气层的氢气最多.所以H2在大气中的含量最少.

4. 测定气体分子速率分布实验为什么要求在高度真空的容器内进行?假若真空度较差,问容器内允许的气体压强受到什么限制?

参考解答:

如果不是高度真空,容器内有杂质粒子,分子与杂质粒子碰撞会改变速率分布,使得测到的分布不准。假若真空度较差,只要分子的平均自由程?大于容器的线度L,即?>L,那么可以认为分子在前进过程中基本不受杂质粒子的影响。由于平均自由程与压强的关系为:

??kT2?dP2, 所以要求

kT2?dP2?L, 即 P?kT2?dL2.

这就是对于容器内压强的限制条件。

第11章 热力学基本原理

一、选择题

1(B),2(C),3(A),4(B),5(A),6(C),7(D),8(C),9(D),10(A) 二、填空题

(1). 等于,大于,大于. (2). 不变,增加

(3). 在等压升温过程中,气体要膨胀而对外作功,所以要比气体等体升温过程多吸收一部分热量.

(4). ?|W1|,?|W2| (5). >0,>0

(6). AM, AM、BM (7). ??1w?1 (或w?1??1)

(8). 500,100

47

(9). 功变热,热传递

(10). 从几率较小的状态到几率较大的状态 ,状态的几率增大 (或熵值增加). 三、计算题

1. 一定量的单原子分子理想气体,从初态A出发,沿图示直线过程变到另一状态B,又经过等容、等压两过程回到状态A.

(1) 求A→B,B→C,C→A各过程中系统对外所作的功

1 p (10 Pa) B 53 2 A W,内能的增量?E以及所吸收的热量Q. ?33V (10 m) (2) 整个循环过程中系统对外所作的总功以及从外界吸O 1 2 收的总热量(过程吸热的代数和).

解:(1) A→B: W1?12(pB?pA)(VB?VA)=200 J.

C  ΔE1=??CV (TB-TA)=3(pBVB-pAVA) /2=750 J

Q=W1+ΔE1=950 J.

B→C: W2 =0

ΔE2 =??CV (TC-TB)=3( pCVC-pBVB ) /2 =-600 J.

Q2 =W2+ΔE2=-600 J.

C→A : W3 = pA (VA-VC)=-100 J.  ?E3??CV(TA?TC)?32(pAVA?pCVC)??150 J.

Q3 =W3+ΔE3=-250 J (2) W= W1 +W2 +W3=100 J. Q= Q1 +Q2 +Q3 =100 J

2. 汽缸内有2 mol氦气,初始温度为27℃,体积为20 L(升),先将氦气等压膨胀,直至体 (1) 在p―V图上大致画出气体的状态变化过程.

(2) 在这过程中氦气吸热多少?

(3) 氦气的内能变化多少?

(4) 氦气所作的总功是多少?(普适气体常量R=8.31 J?mol

?1积加倍,然后绝热膨涨,直至回复初温为止.把氦气视为理想气体.试求:

?K?1)

p解:(1) p-V图如图.

(2) T1=(273+27) K=300 K 1 2 据 V1/T1=V2/T2, 得 T2 = V2T1/V1=600 K 3 Q =??Cp(T2?T1)

= 1.253104 J

OV1V2 (3) ?E=0

(4) 据 Q = W + ?E ∴ W=Q=1.253104 J

V

48