这是法国人罗伯特总结出的方法，所以叫“罗伯法”．罗伯法的口诀：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．它对于构造连续自然数（以及能构成等差数列的数）幻方是最简单易行的，适用于所有奇数阶幻方．

【答案】

834159672

【例 2】 3?3的正方形格子中，在每个格子里分别填入2~10的9个数字，要求每行每列及对角线上的三个

数的和相等（请给出至少一种填法）． 【考点】构造幻方 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 第一步：求幻和：（2?3?4??9?10）?3?18．

第二步：求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，仔细观察可以发现：除了对角线外，

第二行、第二列也分别经过中心数，那么，经过中心数的四条线段上的数字总和是幻和的4倍，即18?4?72，显然，在这个总和中，中心数用了四次，其余各数正好各用一次，所以中心数应是：（72?54）?3?6．

第三步：确定四个角上的数：用尝试法，不难推知，四个角只能是奇数．

第四步：用尝试法填一个基本解，以基本解为基础，可绕中心旋转与对调得到其它各解，共8解．下图为其中一解，其余解均可由其翻转或旋转得到：

7298643105

其他方法这里不再做介绍，同学们可以自己尝试练习．

【答案】

7298643105

【例 3】 用11，13，15，17，19，21，23，25，27编制成一个三阶幻方。 【考点】构造幻方 【难度】2星 【题型】填空

【解析】 方法一：给出的九个数形成一个等差数列，1～9也是一个等差数列．不难发现：中间方格里的数

字应填等差数列的中间数，也就是第五个数，即应填19；填在四个角上方格中的数是位 于偶数项的数，即13，17，21，25，而且对角两数的和相等，即13?25?17?21；余下 各数就不难填写了(见下图)．

132321271911171525

与幻方相反的问题是反幻方．将九个数填入3?3(三行三列)的九个方格中，使得任一行、

任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同，这样填好后的图称为三阶反幻方．

方法二：用阶梯法，在三阶幻方的上下左右的中间添加一格，先将数字按从小到大的顺序，以斜行

方向从左下向右上依次填写，再把添加格内的数填到本行(或本列)中相隔两行(或两列)的方格中．

231711131519212527111315171921232527172713152519112321

27 方法三：对易法：九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出．

111723252719211315?232511171921271315?152511171913172713 23?15192325112121 方法四：用罗伯法的口诀：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排

重便在下格填，右上排重一个样．

【答案】

132321271911171525

【例 4】 如下图的3?3的阵列中填入了1~9的自然数，构成大家熟知的3阶幻方．现在另有一个3?3 的阵

列，请选择9个不同自然数填入9个方格中，使得其中最大者为20，最小者大于5，且要求横加、竖加、对角线方式相加的3个数之和都相等．

438951276【考点】构造幻方 【难度】3星 【题型】填空

【解析】 观察原表中的各数是从1～9不同的九个自然数，其中最大的数是9，最小的数是1，且横加、竖加、

对角线方式相加结果相等．根据题意，要求新制的幻方最大数为20，而9?11?20，因此，如果原表中的各数都增加11，就能符合新表中的条件了．如下图．

151419201612131817【答案】

151419201612131817

【例 5】 从1、2、3…20这20个数中选出9个不同的数放入3×3的方格表中，使得每行、每列、每条对角

线上的三个数的和都相等。这个9个数中最多有_______个质数。 【考点】幻方性质 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】走美杯，四年级，初赛，第4题 【解析】

最多有7个质数

【答案】7

【例 6】 请你将1~25这二十五个自然数填入5?5的空格内使每行、每列、每条对角线上的五数之和相等． 【考点】构造幻方 【难度】2星 【题型】填空

【解析】 ①罗伯法：教师边写边说口诀：“一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框

时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样”．见第二个图．这是法国人罗伯特总结出的“罗伯法”，它对于构造连续自然数（以及能构成等差数列的数）幻方是最简单易行的，适用于所有奇数阶幻方．

17234245617131925814202121516223910121118

②阶梯法：阶梯法也叫楼梯法，是法国数学家巴赫特创造的．这个方法十分简单而巧妙，适用于所有奇数阶幻方．这个方法把n阶方阵从四周向外扩展成阶梯状，然后把n2个自然数顺阶梯方向先码放好，再把方阵以外部分平移到方阵以内其对边部分去，即构成幻方．下面的图⑴和图⑵表示了如何用阶梯法构成5阶幻方．图⑴中顶边以上的4、5、10三个数在图⑵中被移入底边上方相应的3个原先为空的方格中，其余三侧照此处理．

5432161116217121722813182391419241015202531692215208211427251311924125186114171023

⑴ ⑵

⑵练习：大家一起来练习用罗伯法写个七阶的幻方，注意强调细节．上出框与右出框的处理有时不容易把握，老师隆重推荐大家一种方法——“卷纸筒”，即把上下边重合在一线，则上出框后往右上填的位置正好在下边的对应点上．强调这种方法适用于任意奇数阶幻方．

【答案】

17234245617131925814202121516223910121118

模块二、幻方性质

【例 7】 将九个数填入下图的九个空格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都等于定

数k，则中心方格中的数必为k?3．

【考点】幻方性质 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 略

【答案】因为每行的三数之和都等于k，共有三行，所以九个数之和等于3k．如右上图所示，经过中心方格

的有四条虚线，每条虚线上的三个数之和都等于k，四条虚线上的所有数之和等于4k，其中只有中心方格中的数是“重叠数”，九个数各被计算一次后，它又被重复计算了三次．所以有：

九数之和+中心方格中的数?3?4k， 3k?中心方格中的数?3?4k， 中心方格的数?k?3

注意：例题中对九个数及定数k都没有特殊要求．这个结论对求解3?3方格中的数阵问题很实用．

【例 8】 请编出一个三阶幻方，使其幻和为24． 【考点】幻方性质 【难度】3星 【题型】填空

【解析】 ⑴根据题意，要求其三阶幻方的幻和为24，所以中心数为24?3?8．

⑵既然8是中心数，那么与8在一条直线的各个组的其余两数的和为16，想一想哪两个数相加为16呢？1?15?16，2?14?16，3?13?16，4?12?16，5?11?16，6?10?16，7?9?16

⑶按上述条件进行估算后填出，然后再进行调整即可得正确的答案．