目 录

第一章 绪 论............................................................................................................ 2

1.1 随机振动的基本概念和特征 ....................................................................... 2 1.2 随机振动研究的内容和意义 ....................................................................... 3 第二章 随机振动的数学描述.................................................................................... 5

2.1 随机过程的基本概念和特征 ......................................................................... 5 2.2 随机过程的数学描述 ..................................................................................... 6

2.2.1 随机变量定义........................................................................................ 6 2.2.2一维随机变量的概率分布函数与概率密度函数................................. 7 2.2.3多维随机变量......................................................................................... 8 2.2.4随机变量的数字特征........................................................................... 10 2.2.5随机变量的分布以及运算................................................................... 14 2.3 随机过程的幅域描述 ................................................................................... 14

2.3.1 随机过程概率统计特征量.................................................................. 14 2.3.2 平稳随机过程...................................................................................... 16 2.4 随机过程的时域描述 ................................................................................... 17

2.4.1 各态历经随机过程.............................................................................. 18 2.4.2 平稳随机过程的自相关函数.............................................................. 18 2.4.3互相关函数........................................................................................... 19 2.5随机过程的频域描述： ................................................................................ 20

2.5.1 典型函数的傅里叶变换...................................................................... 20 2.5.2功率谱密度函数................................................................................... 22 2.5.3 平稳随机过程的谱分类：.................................................................. 25 2.5.4 随机过程的分布.................................................................................. 27 2.6随机过程的运算 ............................................................................................ 28

2.6.1微分运算............................................................................................... 28 2.6.2积分运算............................................................................................... 28 2.6.3随机振动位移、速度和加速度的相关函数和谱密度函数关系....... 29

第三章 SDOF系统的随机响应 .......................................................................... 32

3.1 系统的脉冲响应函数和频率响应函数描述 ............................................... 32 3.2 单自由度系统随机响应分析 ....................................................................... 33 第四章 多自由度系统的随机响应分析.................................................................... 41

4.1 多自由度系统的脉冲响应函数、频率响应函数 ....................................... 41 4.2单输入问题的MDOF系统的随机响应 ....................................................... 43 4.3多输入问题的MDOF系统的随机响应 ....................................................... 45 4.4 MDOF系统随机响应分析的模态方法 ........................................................ 52 4.5 随机响应分析的虚拟激励方法 ................................................................... 55 第五章 连续系统的随机响应分析............................................................................ 62 参考文献...................................................................................................................... 68

1

第一章 绪 论

1.1 随机振动的基本概念和特征

前面研究的振动问题都属于确定性振动(deterministic vibration)，所谓的确定性就是指振动是有一定规律的，或者可以用一个确定的函数来描述，或者可以用若干离散的值来描述，而且这个规律是可以重复的，可以预先估计的。例如，无阻尼自由振动问题：

x0 (1-1) mx?k? x(0)?x0 x(0)?v0 在确定的初始条件作用下，系统的振动响应规律为：

x(t)?Asi??n?t?? (1-2) 其中，??km，是由表征系统特性的物理参数确定的，A和?由初始条件确定。只要已知初始时刻的振动值x0，v0，就可以预知之后任意时刻的振动值。该系统在另外一次相同的初始激励下，系统振动规律理论上会得到完全的重复。再看一个有外激励力作用的系统的振动规律：

mx?kx?f(x) (1-3)

? 0 x(0)? 0 x(0)这个系统的振动规律为：

x(t)??t??f???h?t???d? (1-4)

其中，f为任意的外激励，h为系统的脉冲响应函数。这个杜哈梅积分如果可以精确积分，振动规律可以表示成一个确定的函数表达式，如果不能，需要利用数值积分，得到的振动规律是一组给定的离散时刻的确定的数值。同样，在下一次相同的外激励作用下，振动规律还可以得到完全的重复。

在自然界和工程实际中还存在另外一种截然不同的现象，其变化是高度不规则，无规律的，不可预估也不可重复，物理现象的这种变化规律称为随机的。例

2

如，海浪，地震，阵风（湍流），火箭的喷气噪声以及不平路面。在随机现象作用下，系统产生的振动规律也同样有随机的特征，振动过程是不确定的，这样振动称为随机振动。工程中有很多这样的实际例子：

在海浪作用下，海洋平台结构、水面舰船、出入水的导弹的振动 在湍流作用下，飞行器结构的振动 在阵风作用下，高耸建筑物、桥梁的振动 在地震作用下，所有地面建筑结构的振动

在发动机喷气噪声以及大气气动噪声的作用下，火箭、导弹等飞行器结构的振动

在不平路面的作用下，各种车辆的振动。

这些振动都是确定的工程结构在随机的外激励力或运动激励作用下产生的，激励和响应都不能用时间的确定函数来描述； 对于某一特定时刻取值不确定；

对于单个试验记录，从当前时刻的值无法预估之后时刻的值；

两次相同条件的试验结果不可能重复，但多次的试验结果放在一起却可以发现现象的某些统计规律。

就是说振动运动是随机的，所以在任一给定时刻t?t0时x的精确值不可能精确预计，我们最多只能求出在时刻t0，x取值于某一区间的可能性或概率，给出在某一时刻的统计规律，而且统计规律也可能是随时间变化的。 都是随机振动。上述例子共同的特征是：

1.2 随机振动研究的内容和意义

随机问题，主要分为两大类： 1） 系统是确定性的，激励是随机的

前面所列举的例子都属于这一类。确定性的系统在随机的激励作用下，系统的响应也是随机的。在这类问题中，主要研究激励以及由其引起的随机振动响应的统计规律，研究这些规律与系统特性之间的关系。通常的随机振动研究主要属于这一类。

2） 系统是随机的，激励或确定，或随机

自然界和工程中也有这样的问题，例如，雨天，输电线的振动问题，这里，输电线的质量是随机变化的，也就是系统的特性是随机的。这类问题，同样也是研究随机现象的统计规律以及它们之间的相互关系。 当然，随机振动也有其它的分类，

3

按系统自由度可分为：单自由度随机振动；多自由度随机振动；无限多自由按振动微分方程的特点可分为：线性随机振动；非线性随机振动。 按随机振动频带宽窄可分为：宽带随机振动，窄带随机振动。

按振动的特性随时间变化情况可分为：平稳随机振动；非平稳随机振动。

度随机振动。

我们主要研究线性单、多自由度、连续体系统在单个和多个平稳随机激励作用下的响应分析。

实际工程中，随机振动现象是十分普遍的，严格地说，一切实际系统的振动都是随机的，只不过有些振动随机的成分很小，可以忽略，当作确定性系统来研究。但是对于象湍流引起的飞机、火箭的振动、海浪导致出入水的导弹的振动，以及前面介绍的其它例子，都必须考虑振动的随机性，用随机振动的研究方法进行研究，才能得出更符合实际情况的结论。

4