当x?(0,a)时，f(0)?2a?4 ，f(a)?a?a，而y??当x?a时，y??224在x?(0,a)上单调递增， x442.下面比较f(a)?a?a与?的大小 aa4?(a3?a2?4)?(a?2)(a2?a?2)因为a?a?(?)???0

aaa所以f(a)?a?a2??4 a

结合图象不难得当a?2时，y?f(x)与y??综上所述，当a?2时，f?x??4有两个交点. x44有一个零点x?2；当a?2时，f?x??有两个零点. xx考点：1、绝对值不等式；2、函数的单调性；3、函数的最值；4、函数的零点.

【名师点晴】本题主要考查的是绝对值不等式、函数的单调性、函数的最值和函数的零点，属于难题．零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间，去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每段结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．判断函数的单调性的方法：①基本初等函数的单调性；②导数法．判断函数零点的个数的方法：①解方程法；②图象法．

11.【2015高考湖北，文21】设函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，

f(x)?g(x)?ex，其中e为自然对数的底数.

（Ⅰ）求f(x)，g(x)的解析式，并证明：当x?0时，f(x)?0，g(x)?1； （Ⅱ）设a?0，b?1，证明：当x?0时，ag(x)?(1?a)?f(x)?bg(x)?(1?b). x11【答案】（Ⅰ）f(x)?(ex?e?x)，g(x)?(ex?e?x).证明：当x?0时，ex?1，0?e?x?1，

22故f(x)?0.

1又由基本不等式，有g(x)?(ex?e?x)?exe?x?1，即g(x)?1. （Ⅱ）由（Ⅰ）得

21x11xex1f?(x)?(e?x)??(e?2x)?(ex?e?x)?g(x)2e2e21x11xex1g?(x)?(e?x)??(e?2x)?(ex?e?x)?f(x)⑥

2e2e2当x?0时，

⑤

f(x)f(x)?ag(x)?(1?a)等价于f(x)?axg(x)?(1?a)x ⑦ ?bg(x)?(1?b)等价xx于f(x)?bxg(x)?(1?b)x. ⑧于是设函数 h(x)?f(x)?cxg(x)?(1?c)x，由⑤⑥，有（1）若c?0，由③④，h?(x)?g(x)?cg(x)?cxf(x)?(1?c)?(1?c)[g(x)?1]?cxf(x). 当x?0时，

得h?(x)?0，故h(x)在[0,??)上为增函数，从而h(x)?h(0)?0，即f(x)?cxg(x)?(1?c)x，故⑦成立.（2）若c?1，由③④，得h?(x)?0，故h(x)在[0,??)上为减函数，从而h(x)?h(0)?0，即f(x)?cxg(x)?(1?c)x，故⑧成立.综合⑦⑧，得 ag(x)?(1?a)?f(x)?bg(x)?(1?b). x【考点定位】本题考查函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用，属高档题.

【名师点睛】将函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用联系在一起，重点考查函数的综合性，体现了函数在高中数学的重要地位，其解题的关键是第一问需运用奇函数与偶函数的定义及性质建立方程组进行求解；第二问属于函数的恒成立问题，需借助导数求解函数最值来解决.

x212.【2015高考山东，文20】设函数f(x)?(x?a)lnx，g(x)?x. 已知曲线y?f(x)e在点(1，f(1))处的切线与直线2x?y?0平行. (I) 求a的值；

(II) 是否存在自然数k，使得方程f(x)?g(x)在(k，k?1)内存在唯一的根？如果存

在，

求出k；如果不存在，请说明理由；

(III) 设函数m(x)?min{f(x)，，求m(x)的 g(x)}（min{p，q}表示p，q中的较小值）最大值.

【答案】（I）a?1 ；(II) k?1 ；(III) 【解析】

（I）由题意知，曲线又f'(x)?lnx?在点(1,f(1))处的切线斜率为2，所以f'(1)?2，

4. e2a?1,所以a?1. x（II）k?1时，方程f(x)?g(x)在(1,2)内存在唯一的根.

x2设h(x)?f(x)?g(x)?(x?1)lnx?x,

e当x?(0,1]时，h(x)?0. 又h(2)?3ln2?44?ln8??1?1?0, e2e2所以存在x0?(1,2)，使h(x0)?0. 因为h'(x)?lnx?1x(x?2)1所以当时，当x?(2,??)时，?1?,h'(x)?1??0，x?(1,2)xxeeh'(x)?0，

所以当x?(1,??)时，h(x)单调递增.

所以k?1时，方程f(x)?g(x)在(k,k?1)内存在唯一的根.

（III）由（II）知，方程f(x)?g(x)在(1,2)内存在唯一的根x0，且x?(0,x0)时，

?(x?1)lnx,x?(0,x0]?. f(x)?g(x)，x?(x0,??)时，f(x)?g(x)，所以m(x)??x2,x?(x0,??)??ex当x?(0,x0)时，若x?(0,1],m(x)?0;

1?1?0,可知0?m(x)?m(x0);故m(x)?m(x0). xx(2?x)当x?(x0,??)时，由m'(x)?,可得x?(x0,2)时，m'(x)?0,m(x)单调递增；xe若x?(1,x0),由m'(x)?lnx?x?(2,??)时，m'(x)?0,m(x)单调递减；

4,且m(x0)?m(2). e24综上可得函数m(x)的最大值为2.

e可知m(x)?m(2)?【考点定位】1.导数的几何意义；2.应用导数研究函数的单调性、最值；3.函数零点存在性定理.

【名师点睛】本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的性质、函数零点存在性定理等，解答本题的主要困难是（II）(III)两小题，首先是通过构造函数，利用函数零点存在性定理，作出判断，并进一步证明函数在给定区间的单调性，明确方程f(x)?g(x)在(k,k?1)内存在唯一的根.其次是根据（II）的结论，确定得到m(x)的表达式，并进一步利用分类讨论思想，应用导数研究函数的单调性、最值.

本题是一道能力题，属于难题.在考查导数的几何意义、应用导数研究函数的性质、函数零点存在性定理等基础知识的同时，考查考生的计算能力、应用数学知识分析问题解决问题的能力及分类讨论思想.本题是教辅材料的常见题型，有利于优生正常发挥. 13.【2015高考四川，文21】已知函数f(x)＝－2lnx＋x－2ax＋a，其中a>0. (Ⅰ)设g(x)为f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；

(Ⅱ)证明：存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解. 【解析】(Ⅰ)由已知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)

2

2

g(x)＝f '(x)＝2(x－1－lnx－a)

所以g'(x)＝2－

22(x?1)? xx