导数

1.【2015高考福建，文12】“对任意x?(0,?2)，ksinxcosx?x”是“k?1”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B

【解析】当k?1时，ksinxcosx?kksin2x，构造函数f(x)?sin2x?x，则22???f'(x)?kcos2x?1?0．故f(x)在x?(0,)单调递增，故f(x)?f()???0，则

2221ksinxcosx?x； 当k?1时，不等式ksinxcosx?x等价于sin2x?x，构造函数

21?g(x)?sin2x?x，则g'(x)?cos2x?1?0，故g(x)在x?(0,)递增，故

22???g(x)?g()???0，则sinxcosx?x．综上所述，“对任意x?(0,)，

222ksinxcosx?x”是“k?1”的必要不充分条件，选B．

【考点定位】导数的应用．

【名师点睛】本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用，根据已知条件构造函数，进而研究其图象与性质，是函数思想的体现，属于难题． 2.【2015高考湖南，文8】设函数f(x)?ln(1?x)?ln(1?x)，则f(x)是( ) A、奇函数，且在（0,1）上是增函数 B、奇函数，且在（0,1）上是减函数 C、偶函数，且在（0,1）上是增函数 D、偶函数，且在（0,1）上是减函数 【答案】A 【解析】 函数

f(x)?ln(1?x)?ln(1?x)，函数的定义域为（-1，1），函数

f(?x)?ln(1?x)?ln(1?x)??f(x)所以函数是奇函数．f'?x??在（0,1）上f'?x??0 ，所以f(x)在(0,1)上单调递增，故选A. 【考点定位】利用导数研究函数的性质

111 ，??21?x1?x1?x【名师点睛】利用导数研究函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤：(1)求f'?x?；(2)确认

f'?x?在(a，b)内的符号；(3)作出结论：f'?x??0时为增函数；f'?x??0时为减函数．研

究函数性质时，首先要明确函数定义域.

3.【2015高考北京，文8】某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．

加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米） 2015年5月1日 2015年5月15日 12 35000 35600 48 注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）

A．6升 B．8升 C．10升 D．12升 【答案】B

【解析】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量

V?48升. 而这段时间内行驶的里程数S?35600?35000?600千米. 所以这段时间内，

该车每100千米平均耗油量为【考点定位】平均变化率.

【名师点晴】本题主要考查的是平均变化率，属于中档题．解题时一定要抓住重要字眼“每100千米”和“平均”，否则很容易出现错误．解此类应用题时一定要万分小心，除了提取必要的信息外，还要运用所学的数学知识进行分析和解决问题．

4.【2015高考新课标1，文14】已知函数f?x??ax?x?1的图像在点1,f?1?的处的切线

348?100?8升，故选B. 600??过点?2,7?，则 a? . 【答案】1 【解析】

2试题分析：∵f?(x)?3ax?1，∴f?(1)?3a?1，即切线斜率k?3a?1，

又∵f(1)?a?2，∴切点为（1，a?2），∵切线过（2,7），∴

a?2?7?3a?1，解得a?1.

1?2考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数；

【名师点睛】对求过某点的切线问题，常设出切点，利用导数求出切线方程，将已知点代入切线方程得到关于切点横坐标的方程，解出切点的横坐标，即可求出切线方程，思路明确，关键是运算要细心.

5.【2015高考天津，文11】已知函数f?x??axlnx,x??0,??? ,其中a为实数,f??x?为

f?x?的导函数,若f??1??3 ,则a的值为 ．

【答案】3

【解析】因为f??x??a?1?lnx? ,所以f??1??a?3. 【考点定位】本题主要考查导数的运算法则.

【名师点睛】本题考查内容单一,求出f??x??a?1?lnx?由,再由f??1??3可直接求得a的值,因此可以说本题是一道基础题,但要注意运算的准确性,由于填空题没有中间分,一步出错,就得零分,故运算要特别细心.

6.【2015高考陕西，文15】函数y?xe在其极值点处的切线方程为____________. 【答案】y??x1 exx【解析】y?f(x)?xe?f?(x)?(1?x)e，令f?(x)?0?x??1，此时f(?1)??函数y?xe在其极值点处的切线方程为y??【考点定位】：导数的几何意义.

x1 e1 e【名师点睛】1.本题考查导数的几何意义，利用导数研究曲线上某点处切线方程等基础知识，

1切点在考查运算求解能力.2.解决导数几何意义的问题时要注意抓住切点的三重作用：○2切点在切线上；○3切点处导函数值等于切线斜率. 曲线上；○

7.【2015高考安徽，文21】已知函数f(x)?ax(a?0,r?0) 2(x?r)（Ⅰ）求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性； （Ⅱ）若

a?400，求f(x)在(0,??)内的极值. r【答案】（Ⅰ）递增区间是（-r,r）;递减区间为（-∞，-r）和（r，+∞）；（Ⅱ）极大值为100；无极小值.

?r?【解析】（Ⅰ）由题意可知x??r 所求的定义域为???，f(x)?axax?，

(x?r)2x2?2xr?r2???. ??r，a(x2?2xr?r2)?ax(2x?2r)a(r?x)(x?r)f?(x)?? 2224(x?2xr?r)(x?r)所以当x??r或x?r时，f?(x)?0，当?r?x?r时，f?(x)?0

因此，f(x)单调递减区间为(??,?r),(r,??)；f(x)的单调递增区间为??r,r?. （Ⅱ）由（Ⅰ）的解答可知f'(r)?0 f(x)在?0,r?上单调递增，在?r,???上单调递减. 因此x?r是f(x)的极大值点，所以f(x)在(0,??)内的极大值为

f(r)?ara400内无极小值； ???100，f(x)在（0,??）2?2r?4r4综上，f(x)在（0,??）内极大值为100，无极小值.

【考点定位】本题主要考查了函数的定义域、利用导数求函数的单调性，以及求函数的极值等基础知识.

【名师点睛】本题在利用导数求函数的单调性时要注意，求导后的分子是一个二次项系数为负数的一元二次式，在求f?(x)?0和f?(x)?0时要注意，本题主要考查考生对基本概念的掌握情况和基本运算能力.

x28.【2015高考北京，文19】（本小题满分13分）设函数f?x???klnx，k?0．

2（I）求f?x?的单调区间和极值；

（II）证明：若f?x?存在零点，则f?x?在区间1,e?上仅有一个零点．

??【答案】（I）单调递减区间是(0,k)，单调递增区间是(k,??)；极小值

f(k)?k(1?lnk)；（II）证明详见解析. 2