于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；

（2）如图1，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求点M的坐标．

【考点】待定系数法、二次函数极值问题、点的存在性问题、一元二次方程、分类讨论 【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x＝3，

∴﹣＝3，解得a＝﹣，

∴抛物线的解析式为：y＝﹣当y＝0时，﹣

x2+x+4．

x2+x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝8，

∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）． 答：抛物线的解析式为：y＝﹣0）．

（2）当x＝0时，y＝﹣

x2+x+4；点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，

x2+x+4＝4，

∴点C的坐标为（0，4）．

设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B（8，0），C（0，4）代入y＝kx+b得

，解得

∴直线BC的解析式为y＝﹣

，

x+4．

假设存在点P，使四边形PBOC的面积最大， 设点P的坐标为（x，﹣则点D的坐标为（x，﹣则PD＝﹣

x2+x+4），如图所示，过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，

x+4）， x+4）＝﹣

x2+2x，

x2+x+4﹣（﹣

∴S四边形PBOC＝S△BOC+S△PBC ＝

×8×4+

PD?OB x2+2x）

＝16+×8（﹣

＝﹣x2+8x+16 ＝﹣（x﹣4）2+32

∴当x＝4时，四边形PBOC的面积最大，最大值是32 ∵0＜x＜8，

∴存在点P（4，6），使得四边形PBOC的面积最大．

答：存在点P，使四边形PBOC的面积最大；点P的坐标为（4，6），四边形PBOC面积的最大值为32． （3）设点M的坐标为（m，﹣∴MN＝|﹣

+

+4﹣（﹣

+）|＝|﹣

+4）则点N的坐标为（m，﹣

+2m|，

），

又∵MN＝3， ∴|﹣

+2m|＝3，

当0＜m＜8时，﹣+2m﹣3＝0，解得m1＝2，m2＝6，

∴点M的坐标为（2，6）或（6，4）； 当m＜0或m＞8时，﹣∴点M的坐标为（4﹣2

，

+2m+3＝0，解得m3＝4﹣2﹣1）或（4+2

，﹣，

，m4＝4+2

，

﹣1）． ﹣1）或（4+2

，﹣

﹣1）．

答：点M的坐标为（2，6）、（6，4）、（4﹣2

5.（2019年四川省达州市）如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0）． （1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；

（2）设点D是x轴上一点，当tan（∠CAO+∠CDO）＝4时，求点D的坐标；

（3）如图2．抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交

BE于点M，交y轴于点N，△BMP和△EMN的面积分别为m、n，求m﹣n的最大值．

【考点】待定系数法、二次函数极值问题、相似三角形、分类讨论 【解答】解：（1）由题意把点（1，0），（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c， 得，

，

解得b＝﹣2，c＝3， ∴y＝﹣x2﹣2x+3 ＝﹣（x+1）2+4，

∴此抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，顶点C的坐标为（﹣1，4）； （2）∵抛物线顶点C（﹣1，4）， ∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，

设抛物线对称轴与x轴交于点H， 则H（﹣1，0），

在Rt△CHO中，CH＝4，OH＝1， ∴tan∠COH＝

＝4，

∵∠COH＝∠CAO+∠ACO， ∴当∠ACO＝∠CDO时，

tan（∠CAO+∠CDO）＝tan∠COH＝4， 如图1，当点D在对称轴左侧时， ∵∠ACO＝∠CDO，∠CAO＝∠CAO， ∴△AOC∽△ACD， ∴

＝

，

＝2

＝

，

，AO＝1，

∵AC＝∴

∴AD＝20， ∴OD＝19， ∴D（﹣19，0）；

当点D在对称轴右侧时，点D关于直线x＝1的对称点D'的坐标为（17，0）， ∴点D的坐标为（﹣19，0）或（17，0）； （3）设P（a，﹣a2﹣2a+3），

将P（a，﹣a2﹣2a+3），A（1，0）代入y＝kx+b， 得，

，