∴tan?ACP?1 3作PH?AC于H点，设P(m,0)，则AP?3?m ∴PH?AH?22(3?m)，CH?(3?m) 222(3?m)PH1∴2??tan?ACP?

CH32(3?m)23?m13? 解得m? 3?m3233∴P(,0) ∴l：y??x?

22即

2.（2019年山东省滨州市）如图①，抛物线y＝﹣

x2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于

点B，C，将直线AB绕点A逆时针旋转90°，所得直线与x轴交于点D． （1）求直线AD的函数解析式；

（2）如图②，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点 ①当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离； ②当点P到直线AD的距离为

时，求sin∠PAD的值．

【考点】待定系数法、二次函数极值问题、三角函数、分类讨论思想 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4，则点A的坐标为（0，4）， 当y＝0时，0＝﹣

x2+x+4，解得，x1＝﹣4，x2＝8，则点B的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（8，0），

∴OA＝OB＝4， ∴∠OBA＝∠OAB＝45°，

∵将直线AB绕点A逆时针旋转90°得到直线AD， ∴∠BAD＝90°， ∴OAD＝45°， ∴∠ODA＝45°， ∴OA＝OD，

∴点D的坐标为（4，0），

设直线AD的函数解析式为y＝kx+b，

，得

，

即直线AD的函数解析式为y＝﹣x+4；

（2）作PN⊥x轴交直线AD于点N，如右图①所示， 设点P的坐标为（t，﹣∴PN＝（﹣

t2+t+4），则点N的坐标为（t，﹣t+4），

t2+

t，

t2+t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣

∴PN⊥x轴， ∴PN∥y轴，

∴∠OAD＝∠PNH＝45°，

作PH⊥AD于点H，则∠PHN＝90°， ∴PH＝

＝

（﹣

t2+t）＝t＝﹣（t﹣6）2+），

，

∴当t＝6时，PH取得最大值，此时点P的坐标为（6，

即当点P到直线AD的距离最大时，点P的坐标是（6，②当点P到直线AD的距离为

时，如右图②所示，

），最大距离是；

则t＝，

解得，t1＝2，t2＝10， 则P1的坐标为（2，当P1的坐标为（2，

，

），P2的坐标为（10，﹣），则P1A＝

），

＝

∴sin∠P1AD＝＝；

当P2的坐标为（10，﹣），则P2A＝＝，

∴sin∠P2AD＝＝；

由上可得，sin∠PAD的值是或．

3. （2019年山东省菏泽市）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．

（1）求抛物线的函数表达式； （2）若点P在第二象限内，且PE＝

OD，求△PBE的面积．

（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】待定系数法、面积问题、三角函数、探究等腰三角形问题

【解答】解：（1）点A的坐标是（2，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，则点B（﹣4，0），

则函数的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+4）＝a（x2+2x﹣8）， 即：﹣8a＝﹣2，解得：a＝故抛物线的表达式为：y＝

，

x2+x﹣2；

（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得： 直线BC的表达式为：y＝﹣

x﹣2，则tan∠ABC＝

x2+

，则sin∠ABC＝，

设点D（x，0），则点P（x，∵PE＝∴PE＝（

x﹣2），点E（x，x﹣2），

OD， x2+

x﹣2﹣

x+2）＝

（﹣x），

解得：x＝0或﹣5（舍去x＝0）， 即点D（﹣5，0）

S△PBE＝

（﹣4﹣x）＝

×PE×BD＝；

（x2+x﹣2﹣x+2）

（3）由题意得：△BDM是以BD为腰的等腰三角形，只存在：BD＝BM的情况，

BD＝1＝BM，

则yM＝﹣BMsin∠ABC＝﹣1×则xM＝﹣故点M（﹣

， ，﹣

）．

＝﹣

，

4. （2019年山东省枣庄市）已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交