代数几何综合压轴题

一、选择题

1. （2019年四川省达州市）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B（2

，

2），点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC， 过点P作PD⊥PC，交x轴于点D．下列结论： ①OA＝BC＝2

；②当点D运动到OA的中点处时，PC2+PD2＝7；③在运动过程中，

，0）．其中正确

∠CDP是一个定值；④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（结论的个数是（ ）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

【考点】矩形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质

【解答】解：①∵四边形OABC是矩形，B（2∴OA＝BC＝2

；故①正确；

，2），

②∵点D为OA的中点， ∴OD＝

OA＝，

）2＝7，故②正确；

∴PC2+PD2＝CD2＝OC2+OD2＝22+（

③如图，过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E， ∴PE⊥BC，四边形OFEC是矩形，

∴EF＝OC＝2，

设PE＝a，则PF＝EF﹣PE＝2﹣a， 在Rt△BEP中，tan∠CBO＝∴BE＝

＝

＝

，

PE＝a，

﹣

∴CE＝BC﹣BE＝2∵PD⊥PC，

a＝（2﹣a），

∴∠CPE+∠FPD＝90°， ∵∠CPE+∠PCE＝90°， ∴∠FPD＝∠ECP， ∵∠CEP＝∠PFD＝90°， ∴△CEP∽△PFD， ∴∴

＝＝

，

＝

＝

，

，

，

∴FD＝

∴tan∠PDC＝

∴∠PDC＝60°，故③正确； ④∵B（2∴OA＝2

，2），四边形OABC是矩形， ，AB＝2，

＝

，

∵tan∠AOB＝∴∠AOB＝30°，

当△ODP为等腰三角形时， Ⅰ、OD＝PD，

∴∠DOP＝∠DPO＝30°， ∴∠ODP＝60°， ∴∠ODC＝60°， ∴OD＝

OC＝，

Ⅱ、OP＝OD，

∴∠ODP＝∠OPD＝75°， ∵∠COD＝∠CPD＝90°，

∴∠OCP＝105°＞90°，故不合题意舍去； Ⅲ、OP＝PD， ∴∠POD＝∠PDO＝30°，

∴∠OCP＝150°＞90°故不合题意舍去， ∴当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（故选：D． 二、解答题

1. （2019年四川省攀枝花市）已知抛物线y??x2?bx?c的对称轴为直线x=1，其图像与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C(0,3)。 （1）求b，c的值； （2）直线l与x轴交于点P。

①如图1，若l∥y轴，且与线段AC及抛物线分别相交于点E、F，点C关于直线

，0）．故④正确，

x?1的对称点为D，求四边形CEDF面积的最大值；

②如图2，若直线l与线段BC相交于点Q，当△PCQ∽△ CAP时，求直线l的表达式。

【考点】二次函数极值问题、三角函数、相似三角形 【解答】解：（1）由题可知

?b ?????2?1 解得??b?2

?c?3?c?3（2）①由题可知D(2,3)，CD?EF ∴CD?2

由（1）可知A(3,0)，B(?1,0) ∴lAC：y??x?3

设F(e,?e2?2e?3)，则E(e,?e?3) ∴EF??e2?3e

∴S1四边形CEDF?2CDEF ??e2?3e??(e?32)2?94∴当e?392时，四边形CEDF的面积最大，最大值为4②由（1）可知?OAC??OCA?45? 由?PCQ∽?CAP可得?QCP??OAC?45? ∴?QCP??OCA ∴?ACP??BCO 由B(?1,0)，C(0,3)可得tan?BCO?13