2019年全国中考数学真题分类汇编3:代数几何综合压轴题 下载本文

代数几何综合压轴题

一、选择题

1. (2019年四川省达州市)矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,已知B(2

2),点A在x轴上,点C在y轴上,P是对角线OB上一动点(不与原点重合),连接PC, 过点P作PD⊥PC,交x轴于点D.下列结论: ①OA=BC=2

;②当点D运动到OA的中点处时,PC2+PD2=7;③在运动过程中,

,0).其中正确

∠CDP是一个定值;④当△ODP为等腰三角形时,点D的坐标为(结论的个数是( )

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

【考点】矩形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质

【解答】解:①∵四边形OABC是矩形,B(2∴OA=BC=2

;故①正确;

,2),

②∵点D为OA的中点, ∴OD=

OA=,

)2=7,故②正确;

∴PC2+PD2=CD2=OC2+OD2=22+(

③如图,过点P作PF⊥OA于F,FP的延长线交BC于E, ∴PE⊥BC,四边形OFEC是矩形,

∴EF=OC=2,

设PE=a,则PF=EF﹣PE=2﹣a, 在Rt△BEP中,tan∠CBO=∴BE=

PE=a,

∴CE=BC﹣BE=2∵PD⊥PC,

a=(2﹣a),

∴∠CPE+∠FPD=90°, ∵∠CPE+∠PCE=90°, ∴∠FPD=∠ECP, ∵∠CEP=∠PFD=90°, ∴△CEP∽△PFD, ∴∴

==

∴FD=

∴tan∠PDC=

∴∠PDC=60°,故③正确; ④∵B(2∴OA=2

,2),四边形OABC是矩形, ,AB=2,

∵tan∠AOB=∴∠AOB=30°,

当△ODP为等腰三角形时, Ⅰ、OD=PD,

∴∠DOP=∠DPO=30°, ∴∠ODP=60°, ∴∠ODC=60°, ∴OD=

OC=,

Ⅱ、OP=OD,

∴∠ODP=∠OPD=75°, ∵∠COD=∠CPD=90°,

∴∠OCP=105°>90°,故不合题意舍去; Ⅲ、OP=PD, ∴∠POD=∠PDO=30°,

∴∠OCP=150°>90°故不合题意舍去, ∴当△ODP为等腰三角形时,点D的坐标为(故选:D. 二、解答题

1. (2019年四川省攀枝花市)已知抛物线y??x2?bx?c的对称轴为直线x=1,其图像与x轴相交于A、B两点,与y轴交于点C(0,3)。 (1)求b,c的值; (2)直线l与x轴交于点P。

①如图1,若l∥y轴,且与线段AC及抛物线分别相交于点E、F,点C关于直线

,0).故④正确,

x?1的对称点为D,求四边形CEDF面积的最大值;

②如图2,若直线l与线段BC相交于点Q,当△PCQ∽△ CAP时,求直线l的表达式。

【考点】二次函数极值问题、三角函数、相似三角形 【解答】解:(1)由题可知

?b ?????2?1 解得??b?2

?c?3?c?3(2)①由题可知D(2,3),CD?EF ∴CD?2

由(1)可知A(3,0),B(?1,0) ∴lAC:y??x?3

设F(e,?e2?2e?3),则E(e,?e?3) ∴EF??e2?3e

∴S1四边形CEDF?2CDEF ??e2?3e??(e?32)2?94∴当e?392时,四边形CEDF的面积最大,最大值为4②由(1)可知?OAC??OCA?45? 由?PCQ∽?CAP可得?QCP??OAC?45? ∴?QCP??OCA ∴?ACP??BCO 由B(?1,0),C(0,3)可得tan?BCO?13