?1?y/2?1,0?x?1?e,fX?x???,fY?y???2其它?0,??0,?1?y/2?e,0?x?1,y?0,?f?x,y???2?其它.?0,（2）含有

y?0,y?0.

a的二次方程为a2?2Xa?Y?0有实根的充要条件为

??4X2?4Y?0，即X2?Y.

.

而

2P?X?Y??四、证明题

x2?y??f?x,y?dxdy??dx?01x201?y/2edy?1?2?????1????0????0.1445. 2??1?e?ax?y,x?0,0?y?1,???axx?0,y?1,a?0， 设随机变量?X,Y?具有分布函数F?x,y???1?e,?0,其它.??证明：X与Y相互独立。

证明：

?1?e?ax,x?0,FX?x??F?x,???? a?0,0,其它.??y,0?y?1,?FY?y??F??,y???1,y?1,a?0.

?0,其它.??F?x,y??FX?x?FY?y??X与Y相互独立.

§3.5 两个随机变量函数的分布

三、计算下列各题

1. 设两个独立随机变量X与Y的分布律为P(X?1)?0.3,P(X?3)?0.7,P(Y?2)?0.6, P(X?4)?0.4,求（1）Z?X?Y的分布律，（2）W?X?Y的分布律.

解 由独立性可得

（X,Y） （1，2） （1，4） （3，2） （3，4） P(X?x,Y?y) 0.18 0.12 0.42 0.28

X?Y X?Y 3 5 5 7 –1 –3 1 –1 57?1??3??3?1??W?X?Y所以 Z?X?Y的分布律为?,的分布律为?0.180.540.28??0.120.460.42??

????2. 设X,Y独立, X~N(?,?2),Y在[??，?]服从均匀分布, Z?X?Y，求Z的概率密度.(用标准正态分布函数?(x)表示)。

解 由已知X的密度函数为 fX(x)?12??e?(x??)22?2, ???x???

?1?, ???y??Y在[-π,π]服从均匀分布, 则fY(y)??2?, X和Y独立, 由公式

?0, 其它?f（??f（Zz）Xz?y）f（Yy）dy?????????12??e2（z?y??）?22??z?y??1dy，令t?2???12??z?????z?????12?e?t22dt?12?[?（z????z????）??（）]??2

3．设随机变量X,Y相互独立，且X~N(?1,?1),Y度。

解 ∵X,Y独立，

2N(?2,?2)求X?Y的概率密

∴f(x,y)?12??1?22e1?(x??1)2(y??2)2?????22??22???1?

又∵X~N(?1,?1),Y令Z2??X?Y~N????,?2??2?， N(?2,?2)=> Z1212?|，则 ?X?Y?|Z??z?F??z??F???z?,当z?0时，FZ?z??P?Z?z??PZZZ(?z??1??2)??(z??21??22)?2??1??2?2??12??22?1?fZ?z??fZ??z??fZ???z??e?e22?2???1??2???当z?0时，fZ?z??0.2(?z??1??2)2????(z??21??22)?221??e2??1??2??e2??1??2??，z?0,??即fZ?z???2???2??2??12??????0,z?0.?22????.???

1?2(x2?y2)e4. 已知随机变量(X,Y)服从二维正态分布, 其联合密度为f（x,y)?, 2?1???x???, ???y???, 求随机变量Z?(X2?Y2)的概率密度函数。

3?1? 解 FZ(z)?P?(X2?Y2)?z????f(x,y)dxdy?3?1(X2?Y2)?z31?z3z?r212?22当 z?0时, FZ(z)?0, 当z?0时, FZ(z)?d?erdr?1?e,??00 2??0, z?0?所以 fZ(z)??3?3z2?e, z?0?2

135. 已知随机变量X与Y相互独立，且都服从?0,a?区间上的均匀分布，求Z?X率密度函数。

解：∵X与Y相互独立，且X,Y~U?0,a?，

Y的概

?1?,0?x?a,0?y?a?f?x,y??fX?x?fY?y???a2?其它.?0,?X? ?FZ?z??P??z????f?x,y?dxdyY??x?zy当z?0时,FZ?z??0,ax111当z?1时，FZ?z???dx?2dy??dx?x2dy?1?,0xa02zzaazy1z当0?z?1时,FZ?z???dy?2dx?.00a2

??0,z?0??1?fZ?z???,0?z?12??1?2z,z?1.??2aa 0?x?1, 0?y?x?3x，??6. 设随机变量(X,Y)的联合概率密度f（x，y）, 0, 其它?求Z?X?Y的概率密度。

?0, z?0?zx1x31? 解 FZ(z)?P(X?Y?z)???dx?3xdy??dx?3xdy?z?z3, 0 ?z?1

00zx?z22? 1??1, z ??332??z, 0?z?1. 所以, Z的密度函数为 fZ(z)??22? 其它?0, 7. 设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P?X?i??1?i??1,0,1?，Y的概3?10?y?1率密度为fY?y???，记Z?X?Y

?0其它（1）求P?Z???1?X?0? 2?（2）求Z的概率密度。

1P(X?0,Y?)111112?P(Y?)??21dy? 解：(I) P(Z?X?0)?P(X?Y?X?0)?022P(X?0)22(II) FZ(z)?P{Z?z}?P{X?Y?z}

?P{X?Y?z,X??1}?P{X?Y?z,X?0}?P{X?Y?z,X?1} ?P{Y?z?1,X??1}?P{Y?z,X?0}?P{Y?z?1,X?1} ?P{Y?z?1}P{X??1}?P{Y?z}P{X?0}?P{Y?z?1}P{X?1}

1?P{Y?z?1}?P{Y?z}?P{Y?z?1}? 31??FY(z?1)?FY(z)?FY(z?1)? 3??11?,?1?z?2所以 fZ(z)??fY(z?1)?fY(z)?fY(z?1)???3

3??0,其它8. 设二维变量(x,y)的概率密度为 f(x,y)??0?x?1,?0y?1?2?x?y

其他?0(I)求P{X?2Y}；