6.袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白色球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以X，Y，Z分别表示两次去求所取得的红球、黑球与白球的个数， （1） 求PX?1Z?0；

（2） 求二维随机变量?X,Y?的概率分布。

解：（1）在没有取白球的情况下取了一次红球相当于只有1个红球，2个黑球有放回的取两次，其中摸到一个红球

1C2?24?P?X?1Z?0??11?；

C3?C39??（2）X，Y的取值范围为0,1,2，故

11C3C111P?X?0,Y?0??13?,PX?1,Y?0?,PX?2,Y?0?,????1C6C6463611P?X?0,Y?1??,P?X?1,Y?1??,P?X?2,Y?1??0,391P?X?0,Y?2??,P?X?1,Y?2??0,P?X?2,Y?2??0,9 X Y 0 1 2

0 1/4 1/3 1/9 1 1/6 1/9 0 2 1/36 0 0

§3.2 边缘分布 §3.3 条件分布

§3.4 随机变量的独立性

三、计算下列各题

1. 设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能取值，另一个随机变量Y在1~X中等可能取一个整数值，求（1）(X,Y)的联合分布律；（2）X，Y的边缘分布律。

解：由题意?X?i,Y?j?,其中i?1,2,3,4,j?i,j为整数， 则由概率的乘法公式有

P?X?i,Y?j??P?X?i?P?Y?jX?i??因此

X Y 1 1 1/4 2 1/8 3 1/12 111?,i?1,2,3,4,j?i. 4i4i4 1/16 pj 25/48 2 3 4 0 0 0 1/4 1/8 0 0 1/4 1/12 1/12 0 1/4 1/16 1/16 1/16 1/4 13/48 7/48 3/48 1

pi 2. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)?6, ???x???, ?2(4?x2)(9?y2)???y???（1）求关于X和Y的边缘概率密度. （2）问X与Y是否独立？

解 (1) fX(x)??62dy?, ???x???2?????2(4?x2)(9?y2)?(4?x)????63 fY(y)??f(x,y)dx??dx?, ???y????????2(4?x2)(9?y2)?(9?y2)??f(x,y)dy???? (2) f(x,y)?fX(x)fY(y), 所以X,Y独立.?21?x?xy,0?x?1,0?y?2,3. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f?x,y??? 3?0,其它.?求：（1）关于X和关于Y的边缘密度函数，并判断X与Y是否相互独立？ （2）P?X?Y?1?。 解：（1）

fX?x????????2?21??22??0?x?xy?dy,0?x?1?2x?x，0?x?1 f?x,y?dy?????3?3??0,其它0,其它???1?21??y1x?xydx,0?y?2???，0?y?2? f?x,y?dx???0??3???63??其它0,其它?0,?fY?y???????由于 f(x,y)?fX(x)fY(y), 所以X和Y不独立. （2）P?X?Y?1????f?x,y?dxdy?1??dx?D01?x?1065?21?x?xydy?. ??3?72??kx(x?y),0?x?2,?x?y?x,4. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)?? ?0,其它（1）求常数k； （2） 求关于X和Y的边缘概率密度， （3）问X与Y是否独立？

解 (1) ??????????f(x,y)dxdy??20?x?xkx(x?y)dxdy??20?x?x(kx2?kxy)dxdy

?1k16?8k?12x?k?1/8

(2) fX(x)?? ????11f(x,y)dy??kx(x?y)dy?2x3?x3,0?x?2,其它为0 ?x84?x3?,0?x?2 fX(x)??4即

?0,其它? y?x,0?x?2?x?y11153x?x?y?dx??y?y,?y83448211113当0?y?2时，fY?y???x?x?y?dx??y?y,y8344853?11?y?y,?2?y?0?3448?13?11则fY?y????y?y,0?y?23448?0，其它.???当?2?y?0时，fY?y???2(3)显然，f?x,y??fX?x?fY?y?，因此，X与Y不相互独立. 5. 雷达的圆形屏幕的半径为R，设目标出现点(X,Y)在屏幕上均匀分布，（1）求X,Y的边缘概率密度，（2）问X,Y是否独立？

?1/(?R2), x2?y2?R2 解 f(x,y)??

?0, 其它??(1) fX(x)??????R2?x212R2?x2?dy?, |x|?R2f(x,y)dy????R2?x2?R2?R?0, 其它??222?2R?x, |y|?R 同理 fY(y)???R??0, 其它(2) f(x,y)?fX(x)fY(y), 所以X和Y不独立.

?Ae?y， 0?x?y6. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)??，求（1）常数A（2）

?0, 其它随机变量X,Y的边缘密度，（3）概率P(X?Y?1)。

解 （1）??????????f（x,y)dxdy?A?0dx?xe?ydy?A ,得A?1 .

??????（2）x?0, fX(x)??x?e?x, x?0?ye?y, y?0 ，同理 fY(y)?? edy?e,fX(x)??0, x?00, y?0???y?x120(3) P(X?Y?1)?x?y?1??f(x,y)dxdy???1 1/4 dx?xedy?1?e?2e1?x?y?1?12.

7. 已知随机变量X,Y的概率分布： X P 0 1/2 1 1/4

Y P 0 1/2 1 1/2 且P(XY?0)?1.（1）求X,Y的联合分布，（2）问X,Y是否独立？为什么？ 解 因为 P(XY?0)?1, 所以,有 P(X??1,Y?1)?P(X?1,Y?1)?0,

（1）设X,Y的联合分布为

Y X 0 1 Pi. -1 P11 0 1/4 0 P21 P22 1/2 1 P31 0 1/4 P．j 1/2 1/2 1 则 p11?0.25,p31?0.25,p22?0.5, 由于p21?p22?0.5,故 p21?0.5?0.5?0 因此,(X,Y)的联合分布律为

Y X 0 1 -1 1/4 0 0 0 1/2 1 1/4 0

(2) 由于p21?0?0.5?0.5, 故 X与Y不相互独立.

8. 设X与Y为两个相互独立的随机变量，X在区间?0,1?上服从均匀分布，Y的概率密度为

?1?y/2?e,fY?y???2??0,y?0,y?0.，求：

（1）X与Y的联合概率密度；

2（2）设含有a的二次方程为a?2Xa?Y?0，试求a有实根的概率。

解：（1）