汽车每年交保险费800元，若出事故保险公司最多赔偿50 000元，试利用中心极限定理计算，保险公司1年赚钱不小于200 000元的概率。

解：设X为500辆参加保险的汽车中出事故的车辆数，则X服从二项分布B(500,0.006)，由题设，保险公司1年的收益为 Y?500?800?50000?X，故保险公司1年赚钱不小于200 000元的概率为

P{Y?20000?0}P从而由德莫弗－拉普拉斯定理 P{X?4}???{?500?8005?X00?00，2?P00X00?0 }4?50?00.00?6??????0.0?060.?500?994???1?9????0.5?7?2.982. 7190.9．某工厂生产的灯泡的平均寿命为2000小时，改进工艺后，平均寿命提高到2250小时，标准差仍为250小时.为鉴定此项新工艺，特规定：任意抽取若干只灯泡，若平均寿命超过2200小时，就可承认此项新工艺.工厂为使此项新工艺通过鉴定的概率不小于0.997，问至少应抽检多少只灯泡？

解：设X为改进后的灯泡的寿命，由题设，E(X)?2250, D(X)?2502，又设n为使检验通过所需抽取的灯泡数，依题意可建立如下不等式

?X?X2?P?1n??Xn??2200??0.997，

?或 P?X1?X2??Xn?2200n??0.003，

由林德贝格—列维中心极限定理知，

?n??2200n?2250n?????0.003， ???????5250n????查表可得如下不等式

?n??2.75?5n?5?2.75?13.75?n?189，

即需随机抽取189只灯泡进行寿命检验，测得的平均寿命才能以95%的概率保证超过2200小时.

10．设随机变量序列X1,X2,,Xn,?n?要互独立同分布，且E?Xn??0，求m ilP??Xi?n?。

n???i?1?11n解：设X??Xi，由题设，E(X)?nni?1?E(X)?0，从而

ii?1n?n??1n?limP??Xi?n??limP??Xi?1??limPX?1?limPX?E(X)?1， n??n???i?1?n???ni?1?n???????n?即 limP??Xi?n??limPX?E(X)?1，

n???i?1?n????由切比雪夫大数定律，知对??1?0，有

?n?limP??Xi?n??limPX?E(X)?1?1. n???i?1?n????11．设随机变量序列X1,X2,,Xn,?1?n满足条件limDX??i??0，证明

n??n2?i?1???1n?1n?limP??Xi??E(Xi)????1。 n???nni?1??i?1??1n?1n?1n?1?n?证明：因为E??Xi???E(Xi),D??Xi??D??Xi?， 2?ni?1?ni?1?ni?1?n?i?1?所以由切比雪夫不等式可得

?1n?DX??i???ni?1??1n??1n?? P??Xi?E??Xi?????1?2??ni?1????ni?1??1n?limDX??i?nnn????n1?1??i?1??1. 从而有 limP??Xi??E(Xi)????1?n???nni?1?2??i?1?