?2?X?E(X)??Y?E(Y)??2?Y?E(Y)??Z?E(Z)??2?X?E(X)??Z?E(Z)??

?D(X)?D(Y)?D(Z)?2cov(X,Y)?2cov(Y,Z)?2cov(Z,X)

?3?211?1?1?1?21?1?2???1?1?4。 22?2?9. 若随机变量X、Y相互独立同分布，均服从N(?,?2)，令???X??Y，???X??Y（?,?为不相等的常数），求随机变量?与?的相关系数???，并说明当?,?满足什么条件时，?,?不相关。

解：（1）依题意，有 E(X)?E(Y)??,D(X)?D(Y)??2，且Cov(X,Y)?0． 因为 ????co?v?(,)E???(E?)E?(， )()?D(?)D?()D?()?D()而 E(?) ??E?(X??Y)??E(X?)?E(?Y)??(，? E(?) ??E?(X??Y)??E(X?)?E(?Y)??(．? E(??)?E(?X?由方差公式可求出

2 E(X)??Y)(?X??Y?)22E(?X?22?Y?)22?E(?X)2，? E(Y)D(?X)222 ??，E(??X)??， 同理可得 E(Y2)??2所以 E(??)??2(?2??2)??2(?2??2)?(?2??2)(?2??2)． 又 D(?)?D?(X??Y)?2?D(X?)2?综合上述结果，可得 ????2，同理有D(?Y)?(?2??)D(?)?(?2??2)?2，

(?2??22)?(???2)??(???)??(?2(?2??2)?(??2?)?22?)??2(?2?2)?? 2?2?2(???)?2??2?22（2）若?,?不相关，则????0，因此?2??2?0，又???，则????时?,?不相关。

四、证明题

设X,Y是随机变量，U?aX?b,V?cY?d.其中a,b,c,d为常数，且a,c同号.证明：??XY

?UV证 ?UV?Cov(aX?b,cY?d)acCov(X,Y)???XY.D(aX?b)D(cY?d)acD(X)D(Y)

第五章 大数定律与中心极限定理

§5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理

三、计算题

1. 设在每次实验中事件A以概率0.5发生.是否可以用大于0.97的概率确信：在1000次实验中，事件A出现的次数在400与600范围内？ 解： 设X表示1000次试验中A出现的次数，

则 X~B(1000, 0.5), E(X)?500, D(X)?250，由切比雪夫不等式有

P{400?X?600}?P{|X?500|?100}?1?250?0.975 2100所以可以用大于0.97的概率确信：在1000次实验中，事件A出现的次数在400与600范围内.

2. 将一颗骰子连续掷四次，其点数之和记为X，估计概率P{10?X?18}。 解：设Xi为掷一次骰子出现的点数，则其分布律为：?所以 E(Xi)?23456??Xi1?，

?P1/61/61/61/61/61/6?121(1?2?3?4?5?6)?， 66191E(Xi2)?(1?4?9?16?25?36)?，

66291?21?35D(Xi)?E(Xi2)?E2(Xi)?????；

6?6?12依题意 X??i?14Xi,?7E(X)?4?2?14,DX(?)35?41235?，所以 3P{10?X?18}?P{10?14?X?14?18?14}

?P{|X?14|?4}?1?3. 设Xi(i?1,2,5035/3?0.271. 42,50)是相互独立的随机变量, 且服从参数??0.03的泊松分布,记

Z??Xi，利用中心极限定理，求P{Z?3}。

i?1解：

P??3??????Z?5?????5??????????. Z14．设某部件由10个部分组成，每部分的长度Xi为随机变量，X1,X2,,X10相互独立同

分布，E(Xi)?2毫米，D(Xi)?0.5毫米，若规定总长度为（20±1）毫米是合格产品，求产品合格的概率。 解：设总长度为T?10?Xi，

i?11010则 E(T)??E(Xi)?2?10?20，D(T)??D(Xi)?(0.5)2?10?2.5，

i?1i?1由林德贝格—列维中心极限定理，知 T近似 N(20,2.，所以合格的概率为：50?1T? P{2??20?1P}?T?{21?20P2?1T}??{19?}?2.5?1920() 2.5()?2?(1)?1?2?(0.63)?1?2?0.7357?1?0.4714. 2.55．有100道单项选择题，每个题中有4个备选答案，且其中只有一个答案是正确的，规定选择正确得1分，选择错误得0分，假设无知者对于每一个题都是从4个备选答案中随机地选答，并且没有不选的情况，计算他能够超过35分的概率。

解：设Xi为选择第i题所得到的分数，由题设，Xi服从分布

?Xi??P另

01??,(i?1,2,3/41/4?设

总

得

分

,100)，

为

X，则

X? 1X? 2X?)?X且，

25, X~B(1140EX0?,D X ?475)， , (由德莫弗–拉普拉斯定理

?X?2535?25?近似?20?P?X?35??1?P?X?35??1?P??????1????，

75/4??75/4?75?查正态分布表可得

P?X?35????1???2.13??1?0.9896?0.0104.

6.（1）一个复杂系统由100个相互独立的元件组成，系统运行期间每个元件损坏的概率为0.1，又知系统运行至少需要85个元件正常工作，求系统可靠度（即正常工作的概率）；（2）上述系统假如由n个相互独立的元件组成，至少80%的元件正常工作，才能使系统正常运行，问n至少多大才能保证系统可靠度为0.95？ 解：（1）设X为系统中正常运行完好的元件数，

则X~B(100, 0.9), E(X)?90, D(X)?9，由德莫弗—拉普拉斯定理，

近似5?X?9085?90?P{X?85}?1?P{X?85}?1?P???1??(?)?0.952. ?39??9（2）已知 P(X?0.8n)?0.95，求满足条件的n， 其中 X~B(n,0.9),E X ?( P?X?0.8?n??1?PX?)n0.9D?,X ，同（(n1）解法，

n0.n?80.n9n?X?0.9? 950.?n?1?P???(?)，0.?8?390.n09?0.0n?查正态分布表可得： n?1.65, ? n?24.5，取n?25即可. 37. 某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20 %，以X表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数。 （1） 写出X的概率分布；

（2） 用德莫弗–拉普拉斯定理，求被盗索赔户不少于14户不多于30户的概率的近似值. 解：（1）X服从二项分布，参数：n?100,p?0.2，即X~B(100,0.2)，其概率分布为

P(X?k)?C1000.20.8kk100?k, k?0,1,,100；

（2）E(X)?np?20, D(X)?np(1?p)?16， 根据德莫弗–拉普拉斯定理 P?14?X?30??P?X?20?14?20X?2030?20??????P?1.5??2.5??? 4444??????(2.5)??(?1.5)??(2.5)?[1??(1.5)] ??(2.5)??(1.5)?1?0.994?0.933?1?0.927.

8．某运输公司有500辆汽车参加保险，在1年里汽车出事故的概率为0.006，参加保险的