22? ?D(X)E(Y2)?E2(X)??E(Y)?E(Y)?22??D(X)E2(Y)?E2(X)D(Y) ?D(X)?E(Y)?E(Y)???D(X)D(Y)?E2(X)D(Y)?E2(Y)D(X)。

§4.3 协方差和相关系数 §4.4 原点矩与中心矩

.

三、计算下列各题

1. 若随机变量?X,Y?在区域D上服从均匀分布D???x,y?0?x?1,0?y?x?, 求随机变量X,Y的相关系数。

解 A???dxdy??dx?dy?D001x1x1,2?2,(x,y)?D f(x,y)??0,(x,y)?D?E(x)?2?xdx?dy?001x1x2112,Ex2?2?x2dx?dy?,D(x)?Ex2??E(x)??003218????1x111?1?1E(y)?2?dx?ydy?,Ey2?2?dx?y2dy?,D(y)?????,0000366?3?181x11211E?xy??2?xdx?ydy?,Cov(x,y)?E(xy)?E(x)E(y)????.004433361cov(x,y)136?XY???。

1/181/182D(x)D(y)??2

2. 设随机变量(X,Y)的密度函数为 f(x,y)?Asin(x?y) 0?x??? , 0?y? 22求：（1）系数A;(2)E(x),E(y),D(x),D(y);（3）协方差及相关系数。

解 (1)??f?x,y?dxdy?A??????????20dx?sinx(?y)dy?2A?1,A?0.5；

0?211?(2)E(x)??2dx?2xsin?x?y?dy??2x?cosx?sinx?dx?020204???12122?2?222 E(x)??dx?xsin?x?y?dy??x?cosx?sinx?dx???20202082 2??2 D(x)?E(x2)??E?x?????2;162??2?由X与Y的对称关系,知E(Y)?,D(Y)???2.41621?(3)E?xy???2dx?2xysin?x?y?dy??10202??2 于是cov?x,y??E?xy??E?x?E?y???1?, ?xy?216?????cov?x,y?D?x??2?8??16??2.??8??32D?y?

3. 设随机变量X的概率密度为f?x??1?xe,???x???.求： 2（1）E?X?,D?X?；（2）X与X的协方差，并问X与X是否不相关； （3）问X与X是否独立？为什么？

??11xxedx??xe?xdx?0， 解：（1）E?X?????202??x2EX?edx?2,DX?2?0?2. ?????x212??1?x（2）令Y?X,则EY??xedx?1.

??20E?XY??E?X?X?0 ?Cov,?Y?0?0? 0?X?X与Y不相关.（3）对于任意实数a?0，0?P?X?a??1a?xedx?1有 ???2P?X?a,X?a??P?X?a??P?X?a?P?X?a?

?X与X不相互独立.

4. 设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)??相关系数。

解 E(X)??dx?x(2?x?y)dy?00111151, E(X2)??dx?x2(2?x?y)dy?

001240?x?1, 0?y?1?2?x?y, , 求X,Y的

0, 其它?1?5?11511D(X)?????, 由对称性 E(Y)?, D(Y)?,41214412144?? 1111E(XY)??dx?xy(2?x?y)dy?, Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)??006144所以 X和Y的相关系数为:?XY?Cov(X,Y)DXDY??1 11。

25. 设随机变量X服从[??,?]上的均匀分布，令Y?sinX,Z?cosX，求?YZ。 ?解 X的密度函数为 f??1?2?, ???x??X(x)??0, 其它 E(Y)????1??2?sinxdx?0, E(Z)????1??2?cosxdx?0,E(YZ)????1??2?sinxcosxdx?0, cov(Y,Z)? E(YZ)?E(Y)E(Z)?0,

所以 ?covY,Z)YZ?D(Y)D(Z)?0. 6.二维随机变量(X,Y)的分布律为

X Y -1 0 1 -1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 a b 问a,b取何值时，X与Y不相关？此时X与Y是否独立？

解 （1）

68?a?b?1?a?b?28?14， E(Y)??1?38?28?0?18?a?b?a?b?28， E(X)??1?38?0?(18?a)?1?(218?b)?b?8，

E(XY)?1218?b?8?b?8 ，

若X与Y不相关，则b?18?(b?18)(a?b?28)?b?18,a?18; （2）P?X?1,Y?1??91?P?X?1?P?Y?1??不独立。

6487. 已知随机变量X与Y分别服从正态分布N(1,32),N(0,42), 且X与Y的相关系数

?XY??．设Z?12XY?， 求（１）Z的数学期望E(Z)和方差D(Z)；（２）X与Z32的相关系数?XZ；（３）问X与Z是否相互独立？为什么？

XYE(X)E(Y)101?)?????， 3232323XYXYD(X)D(Y)1??cov(X,Y) D(Z)?D()?D()?2cov(,)?3232943解：(1) E(Z)?E(324211?1?????XY?D(X)?D(Y)?1?4???3?4?3， 94332 由于X与Y分别服从正态分布，所以Z也服从正态分布N(,3)；

131X2XY(2) 因为E(X)?1,E(Z)?,E(XZ)?E(?)，注意到

332E(X2)?D(X)?E2(X)?32?12?10，且

cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)??XY?D(X)?D(Y)，

E(XY)??XY?D(X)?D(Y)?E(X)E(Y)??所以 E(XZ)?3?4?1?0??6， 2111061E(X2)?E(XY)???， 3232311由协方差定义：cov(X,Z)?E(XZ)?E(X)E(Z)??1??0,??XZ?0；

3312(3)由于X与Z均服从正态分布N(1,3),N(,3)，故“相关系数为零”等价于“相

3互独立”，因此X与Z相互独立。

8. 设E(X)?E(Y)?1,E(Z)??1,D(X)?D(Y)?D(Z)?1，?XY=求E(X?Y?Z)和D(X?Y?Z)。

解：E(X?Y?Z)?E(X)?E(Y)?E(Z)?1?1?1?1；

D(X? ?E111，?XZ=?，?YZ=，222Y?)Z??E(2X??Y)Z?(E?X)? ?Y222Z??X?E(X)???Y?E(Y)???Z?E(Z)?